2024-2025学年新疆喀什地区英吉沙县高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年新疆喀什地区英吉沙县高二（上）期中数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知∠BAC=30°，AB//A′B′，AC//A′C′，则∠B′A′C′=( )
A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 大小无法确定
2.某个家庭中有两个小孩，生男生女为等可能，两个都是男孩的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 18
3.为了了解学生们的视力状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取60人进行视力检测.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为( )
A. 25B. 24C. 21D. 15
4.有4张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
5.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值为( )
A. 1
B. 32
C. 22
D. 33
6.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是( )
A. 86，84B. 84.5，85C. 85，84D. 86.5，84
7.已知某圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为( )
A. 2 2πB. 4πC. 4 2πD. 8π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若a//b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线
B. 若α//β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
C. 若α//β，a⊂α，则a//β
D. 若α∩β=b，a⊂α，则a，b一定相交
9.下面四个结论正确的是( )
A. 已知向量a=(9,4,−4)，b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(1,2,2)
B. 若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
C. 已知{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c，则{a,b,m}也是空间的一组基底
D. 若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量n=(−2,0,23)，则直线l⊥α
10.下列事件中，是必然事件的是( )
A. 明天北京市不下雨B. 在标准大气压下，水在4℃时结冰
C. 早晨太阳从东方升起D. x∈R，则|x|的值不小于0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知向量a=(2,−3,1)，b=(m−1,2,1)，且a⊥b，则m= ______．
12.有40个数据，其中最大值为35，最小值为14，若取组距为4，则分成的组数是______．
13.已知二面角α−l−β的大小为60°，若直线a⊥α，直线b⊥β，则异面直线a，b所成的角是______．
四、解答题：本题共5小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各向量表达式：
(1)AB+BC+AD；
(2)AD−12(AB+AC)
15.(本小题12分)
如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD−A′B′C′D′，AB=1，BC=2，AA′=3.求：
(1)向量AC′，BD′，AD′的坐标；
(2)AC′+2BD′，AC′+BD′−2AD′的坐标．
16.(本小题15分)
在棱长为1的正方体上，用过同一顶点的三条棱中点的平面分别截该正方体，截去1个三棱锥.求剩下的几何体的体积．
17.(本小题17分)
甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．
(1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；
(2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．
18.(本小题12分)
从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数．
(2)这50名学生的平均成绩．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.C
5.C
6.D
7.B
8.AC
9.ABC
10.CD
11.72
12.6
13.60°
14.解：(1)因为G是CD的中点，所以AC+AD=2AG，
所以AB+BC+AD=AC+AD=2AG；
(2)因为M是BC的中点，所以AB+AC=2AM，
所以AD−12(AB+AC)=AD−AM=MD．
15.解：(1)由题意可知，A(0,0,0)，C′(1,2,3)，B(1,0,0)，D′(0,2,3)，
∴AC′=(1,2,3)，BD′=(−1,2,3)，AD′=(0,2,3)；
(2)∵AC′=(1,2,3)，BD′=(−1,2,3)，AD′=(0,2,3)，
∴AC′+2BD′=(1,2,3)+2(−1,2,3)=(−1,6,9)，
AC′+BD′−2AD′=(1,2,3)+(−1,2,3)−2(0,2,3)=(0,4,6)−(0,4,6)=(0,0,0)．
16.解：设剩下的几何体的体积为V，
则V=V正方体−V三棱锥=1−13×12×12×12×12=4748，
即剩下的几何体的体积为4748．
17.解：(1)用A表示甲获胜，B表示和棋，C表示甲不输．
因为甲不输是指甲获胜或者和棋，所以C=A∪B．
因为和棋与获胜是互斥的，
所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)，
因为P(C)=0.9，P(A)=0.4，
所以P(B)=0.9−0.4=0.5；
(2)甲、乙两人下一盘棋，甲不获胜的概率为1−0.4=0.6，
则甲、乙两人连下两盘棋，甲都不获胜的概率为0.6×0.6=0.36，
所以甲至少获胜一盘的概率为1−0.36=0.64．
18.解：(1)由频率分布直方图，得：
数学竞赛成绩在[70,80)的小矩形最高，
∴众数为：70+802=75．
∵数学竞赛成绩在[40,70)的频率为：(0.004+0.006+0.02)×10=0.3，
数学竞赛成绩在[70,80)的频率为：0.03×10=0.3，
∴中位数为：70+0.5−0.30.3×10=2303．
(2)这50名学生的平均成绩：
x=0.004×45×10+0.006×55×10+0.02×65×10+0.03×75×10+0.021×85×10+0.016×95×10=73.65．