2024-2025学年广东省惠州一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省惠州一中高二（上）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l经过点A(1, 3)和B(0,2 33)两点，则直线l的倾斜角是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
2.直线l1：(a2−4)x+y−1=0，直线l2：x+(a−2)y+3=0，则直线l1⊥l2是a=−3的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知两个非零向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)，它们平行的充要条件是( )
A. 1|a|a=1|b|bB. a1b1=a2b2=a3b3
C. a1b1+a2b2+a3b3=0D. 存在非零实数k，使a=kb
4.如图，四棱锥P−OABC的底面是矩形，设OA=a，OC=b，OP=c，E是棱PC上一点，且PE=2EC，则BE=( )
A. −13a−13b+13c
B. −a−13b+13c
C. −a+13b+13c
D. −a−13b−13c
5.已知椭圆C：x225+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，若△ABF2内切圆的面积为π，则|y1−y2|=( )
A. 54B. 2C. 52D. 3
6.已知圆C1：x2+y2−2mx+m2−1=0和圆C2：x2+y2−2ny+n2−9=0恰有三条公共切线，则(m−6)2+(n−8)2的最小值为( )
A. 6B. 36C. 10D. 10
7.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A−BD−C的平面角的大小为π3，若点E，F分别是线段AC和BD上的动点，则BE⋅CF的取值范围为( )
A. [−1,0]B. [−1,14]C. [−12,0]D. [−12,14]
8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若|PB||PA|=λ(λ>0且λ≠1)，则点P的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆(简称“阿氏圆”).在平面直角坐标系中，已知O(0,0)，Q(0, 2)，直线l1：kx−y+k+3=0，直线l2：x+ky+3k+1=0，若P为l1，l2的交点，则3|PO|+|PQ|的最小值为( )
A. 66B. 13−3 2C. 14−3 2D. 70
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知椭圆x2m+y22=1，c=1，则ca(2a为椭圆上的点到两焦点的距离之和，2c为两焦点之间的距离)为( )
A. 13B. 33C. 22D. 3
10.已知点P(−2,−1)到直线l：(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d，则d的可能取值是( )
A. 0B. 1C. 13D. 4
11.如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E在同一个平面内.若点M在四边形BCDE内(包含边界)运动，N为AE的中点，则( )
A. 当M为DE的中点时，异面直线MN与CF所成角为π3
B. 当MN//平面ACD时，点M的轨迹长度为2 2
C. 当MA⊥ME时，点M到BC的距离可能为 3
D. 存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入Ω内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且AA1=3，则AC1的长为______．
13.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为 32.若A，B分别是椭圆的上、下顶点，F1，F2分别为椭圆的上、下焦点，P为椭圆上任意一点，且PA⋅PB=−12，则△PF1F2的面积为______．
14.在平面直角坐标系xOy中，点A(−4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆(x−1)2+(y+1)2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D，则直线CD过定点，定点坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知A(1,1)，B(2,3)，C(4,0).求：
(1)BC边上的中线所在的直线方程；
(2)AB边垂直平分线方程．
16.(本小题15分)
著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式S=abπ，(a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长)为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：x218+y29=1．
(1)求C的面积；
(2)若直线l：x+2y−3=0交C于A，B两点，求|AB|．
17.(本小题15分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=2，AE=BC=3，CF=1．
(1)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
(2)求平面BDE与平面BDF的夹角．
18.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为 3的直线l过椭圆的焦点以及点(0,−2 3).点P是椭圆C上与左、右顶点不重合的点，且△PF1F2的面积最大值2 2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点E(−2,0)的直线m交椭圆C于点M、N，且满足OM⋅ON=4 63⋅1tan∠MON(O为坐标原点)，求直线m的方程．
19.(本小题17分)
蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆M的方程为x2+(y−b)2=r2，直线x=my与圆M交于C(x1,y1)，D(x2,y2)，直线x=ny与圆M交于E(x3,y3)，F(x4,y4).原点O在圆M内.设CF交x轴于点P，ED交x轴于点Q．
(1)当b=0，r= 5，m=−12，n=2时，分别求线段OP和OQ的长度；
(2)①求证：y1+y2y1y2=y3+y4y3y4．
②猜想|OP|和|OQ|的大小关系，并证明．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.C
6.B
7.B
8.A
9.BC
10.AB
11.ACD
12. 17
13. 22
14.(13,−13)
15.解：A(1,1)，B(2,3)，C(4,0)．
(1)BC中点坐标为E(3,32)，直线AE的斜率kAE=1−321−3=14，
所以BC边上的中线所在的直线方程为y−32=14(x−3)，即x−4y+3=0；
(2)AB中点坐标为(32,2)，
直线AB的斜率kAB=3−12−1=2，
所以，AB边垂直平分线的斜率k=−12且过(32,2)，
故AB边垂直平分线方程为y−2=−12(x−32)，整理得2x+4y−11=0．
16.解：(1)椭圆C的方程为x218+y29=1，
∴a2=18，b2=9，
∴a=3 2，b=3，
∵椭圆C的面积S=πab=9 2π．
(2)联立x218+y29=1x+2y−3=0，得2y2−4y−3=0，
Δ=16+24=40>0，
∴y1+y2=2，y1y2=−32，
|AB|= 1+1k2× (y1+y2)2−4y1y2= 5× 4+6=5 2．
17.解：(1)以A为原点，AB，AD，AE分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,3)，C(2,3,0)，F(2,3,1)，
(1)设平面BDE法向量m=(x,y,z)，BD=(−2,2,0)，BE=(−2,0,3)，
则−2x+2y=0−2x+3z=0，令z=2，则x=3，y=3，所以m=(3,3,2)，
因为CE=(−2,−3,3)，设直线CE与平面BDE所成角为θ，
则sinθ=|cs〈CE,m〉|=|CE⋅m|CE||m||=|−6−9+6 22× 22|=922，
所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值922．
(2)设平面BDF法向量n=(x,y,z)，BD=(−2,2,0)，BF=(0,3,1)，
则−2x+2y=03y+z=0，
令x=1，则y=1，z=−3，所以n=(1,1,−3)，
由(1)知m=(3,3,2)，
设平面BDE与平面BDF的夹角为α，
所以csα=|cs〈m,n〉|=|m⋅n|m||n||=|3+3−6 22× 11|=0，
因为0°≤α≤90°，
所以平面BDE与平面BDF的夹角为90°．
18.解：(1)直线l：y= 3x−2 3，∵直线l过椭圆焦点，所以，该焦点坐标为(2,0)，
则c=2，又△PF1F2的面积最大值2 2，则bc=2 2，
所以b= 2，a2=6，b2=2，
故椭圆C的方程为x26+y22=1. (∗)
(2)①当直线m的斜率存在时，设m：y=k(x+2)，
代入(∗)整理得(3k2+1)x2+12k2x+12k2−6=0，
设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则x1+x2=−12k23k2+1，x1⋅x2=12k2−63k2+1，
所以，|MN|= 1+k2⋅|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2=2 6(1+k2)3k2+1，
点O到直线m的距离d=|2k| 1+k2，
因为OM⋅ON=43 61tan∠MON，即|OM|⋅|ON|cs∠MON=43 6⋅cs∠MONsin∠MON，
又由OM⋅ON≠0，得cs∠MON≠0，
所以，|OM|⋅|ON|sin∠MON=43 6⇒S△OMN=23 6，
而S△OMN=12|MN|⋅d，∴|MN|⋅d=43 6，即2 6(1+k2)3k2+1⋅|2k| 1+k2=43 6，
解得k=± 33，此时m：y=± 33(x+2)；
②当直线m的斜率不存在时，m：x=−2，直线m交椭圆于点M(−2, 63)、N(−2,− 63)，
也有S△OMN=12×2×2 63=23 6，经检验，上述直线m均满足OM⋅ON≠0，
综上：直线m的方程为x± 3y+2=0或x=−2．
19.解：(1)当b=0，r= 5，m=−12，n=2时，
圆M：x2+y2=5，
直线CD：x=−12y，由x2+y2=5x=−12y⇒x=−1y=2或x=1y=−2，故C(−1,2)，D(1,−2)；
直线EF：x=2y，由x2+y2=5x=2y⇒x=−2y=−1或x=2y=1，故E(2,1)，F(−2,−1)．
所以直线CF：y+12+1=x+2−1+2，令y=0，得x=−53，即P(−53,0)；
直线ED：y−1−2−1=x−21−2，令y=0，得x=53，即Q(53,0)．
所以|OP|=|OQ|=53．
(2)①证明：由题意：b2