2024-2025学年北京市顺义区牛栏山第一中学高一上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市顺义区牛栏山第一中学高一上学期期中考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A=1,2,3，B=2,3,4，则A∪B=( )
A. 1,2,3,4B. 1,4C. 2,3D. ⌀
2.如果b>0>a，那么下列不等式中正确的是( )
A. −ab0且a≠1)的图象必过定点的坐标是 ．
15.设函数fx=x2+4x+3,x≤0−1x,x>0.给出下列四个结论：
①函数fx的值域是R；
②∀x1,x2∈(−2,+∞)x1≠x2，有fx1−fx2x1−x2>0；
③∃x0>0，使得f−x0=fx0；
④若互不相等的实数x1,x2,x3满足fx1=fx2=fx3，则x1+x2+x3的取值范围是−3,+∞．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知集合A=x|x>4，集合B=x|x2−6x+5>0，集合M=x|m≤x≤2m−2．
(1)求A∩∁RB；
(2)若A∪M=A，求m的取值范围．
17.(本小题12分)
某公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18−180x+10，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=x5(注：利润与投资金额单位：万元).现在该公司有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中且均有投，其中x万元资金投入A产品．
(1)请把A，B两种产品利润总和y表示为x的函数，并直接写出定义域；
(2)在(1)的条件下，当x取何值时才能使公司获得最大利润？
18.(本小题12分)
已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，fx=x2+2x．
(1)已知函数fx的部分图象如图所示，
请根据条件将图象补充完整，并写出函数fx的解析式和单调递减区间；
(2)若关于x的方程fx=t有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．(只需写出结论)
(3)写出解不等式xfx≥0的解集．
19.(本小题12分)
已知fx=x2−a+1x+4
(1)若当x∈2,4时，fx>−1恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求关于x的不等式fx+1−1ax−3f1−x的解集．
21.(本小题12分)
已知集合A=xx=m2−n2,m,n∈Z
(1)分别判断−1、0、1是否属于集合A；
(2)写出所有满足集合A的不超过15的正偶数；
(3)已知集合B=xx=2k+1,k∈Z，证明：“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件．
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.D
5.B
6.C
7.A
8.D
9.B
10.D
11.[−3,5)∪(5,+∞)
12.107,+∞
13.2
14.12,32
15.①③④
16.(1)因为x2−6x+5>0⇔x−1x−5>0，解得x>5或x4，所以A∩∁RB=x42m−2，即m4，解得m>4，
综上所述，m的取值范围是mm4．

17.(1)由题意，x万元投入A产品，则100−x万元投入B产品，则
y=y1+y2=18−180x+10+15100−x=38−180x+10−15x，x∈0,100．
(2)由(1)得，y=38−180x+10−15x=40−180x+10+x+105
≤40−2 180x+10×x+105=28，
当且仅当180x+10=x+105，即x=20时等号成立，
所以当x=20时，公司利润最大．

18.(1)解：因为fx是定义在R上的奇函数，其图象关于原点对称，则补充图象如图，

结合图象可知，函数fx的单调递减区间为−∞,−1和(1,+∞)．
因为当x≤0时，fx=x2+2x，
所以当x>0时，−x0时，fx=−f−x=−x2+2x，
故fx的解析式为fx=−x2+2x,x>0x2+2x,x≤0．
(2)解：因为fx=t有3个不相等的实数根，等价于y=f(x)与y=t的图象有3个交点，
结合(1)中y=f(x)的图象可知，当t∈−1,1时，y=f(x)与y=t的图象有3个交点，
所以t∈−1,1．
(3)解：当x≥0时，可得fx≥0，结合图象可得0≤x≤2；
当xa+1恒成立，
所以x∈[2,4]时，a+1