2024-2025学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若zz−1=1+i，则z−=( )
A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i
2.已知半径为2的圆O上有两点C，D，∠COD=2π3，设向量a=OC+2OD，b=OC+mOD，若a⋅b=6，则实数m的值为( )
A. 6B. 3C. 1D. −1
3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
B. 若α⊥β，m//α，n//β，则m⊥n
C. 若m⊥α，n⊥β，m//n，则α⊥β
D. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
4.若函数f(x)=ln(ex+1)−ax是偶函数，则曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为( )
A. −12B. 0C. 12D. 32
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，C1D1的中点，则异面直线EF与B1C所成角的余弦值是( )
A. 33B. 63C. 36D. 66
6.已知函数f(x)=sin2x+acs2x的图象关于点(−π8,0)对称，若f(x1)f(x2)=−2，则a|x1−x2|的最小值为( )
A. 3π2B. πC. 3π4D. π2
7.已知数列{an}满足a1=13，an+1n+1=anan+n，若a1+a1a2+a1a2a3+⋯+a1a2⋯an≤34成立，则n的最大值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
8.在体积为32的三棱锥A−BCD中，AC⊥AD，BC⊥BD，平面ACD⊥平面BCD，∠ACD=π6，∠BCD=π4，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的表面积为( )
A. 12πB. 16πC. 32πD. 48π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是( )
A. 在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B
B. 若B=π3，b=2，c= 3，则△ABC有两个解
C. 若acsA=bcsB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形
D. 若(a2+c2−b2)tanB= 3ac，则角B=π3
10.已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+( 2)n+1,n为奇数2an,n为偶数，设bn=a2n，记数列{an}的前2n项和为S2n，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A. a3=4B. bn=n⋅2n
C. Tn=n⋅2n+1−2D. S2n=(2n−3)⋅2n+1+6
11.如图，棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形CDD1C1内一个动点(包括边界)，且B1F/​/平面A1BE，则下列说法正确的有( )
A. 动点F轨迹的长度为2 2
B. 平面A1BE截正方体所得的截面图形的面积为9
C. 存在F点，使得B1F⊥A1B
D. 若P为CD的中点，以点P为球心， 6为半径的球面与四边形ACC1A1的交线长为32π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的底面半径为1，侧面积为2π，则此圆锥的体积是______．
13.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1a5=4，则lg2a1+lg2a2+⋯+lg2a5= ______．
14.已知正四面体ABCD中，AB=1，P1，P2，…，Pn在线段AB上，且|AP1|=|P1P2|=⋯=|Pn−1Pn|=|PnB|，过点P1作平行于直线AC和BD的平面，该平面截正四面体ABCD的截面面积为an，则an= ______；若bn=(n+1)2(6n−5)n⋅2n，则数列{anbn}的最大项为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，点M是PC的中点．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(2)求平面MBD与平面PBD夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sinxcsx+ 3cs2x，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(C2)= 3．
(1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域；
(2)求角C；
(3)若3a2+b2−ab=csC+csAcsB，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=xex−aex，a∈R．
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间和极值；
(2)若∀x∈R，f(x)≤ex−1，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是CD的中点，如图所示，沿BE将△BCE翻折至△BFE，使得平面△BFE⊥平面ABCD．
(1)证明：BF⊥AE；
(2)已知在线段BD上存在点P(点P与点B，D均不重合)，使得PF与平面DEF所成的角的正弦值是 63．
①求DPDB的值；
②求点P到平面DEF的距离．
19.(本小题17分)
我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对(a1,a2)表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组(a1,a2,⋯an)称为n维向量，它是二维向量的推广，类似于二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度(模)等：设a=(a1,a2,⋯an),b=(b1,b2,⋯bn)，则a⋅b=(a1,a2,⋯an)⋅(b1,b2,⋯bn)=a1b1+a2b2+⋯+anbn；|a|= a12+a22+⋯+an2.已知向量a=(a1,a2,⋯an)满足an=n，向量b=(b1,b2,⋯bn)满足bn=2n．
(1)求a⋅b的值；
(2)若c=(c1,c2,⋯cn)，其中cn=lnan+1an．
(i)求证：cn>1n+1；
(ii)当n⩾2且n∈N∗时，证明：|c|> n2n+4．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.C
6.D
7.B
8.A
9.AC
10.ABD
11.ACD
12. 33π
13.5
14.4n(n+1)2 7
15.解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又OP⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴OP⊥AC，又∵BD∩OP=O，BD，OP⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，又AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
(2)由(1)易知OA，OB，OP两两垂直，
以直线OA为x轴，直线OB为y轴，直线OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，

根据题可知OA=4，OB=3，OP=4，且M为PC中点，
∴A(4,0,0)，B(0,3,0)，D(0,−3,0)，P(0,0,4)，C(−4,0,0)，M(−2,0,2)，
BM=(−2,−3,2)，BD=(0,−6,0)，
设平面BDM的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BM=0n⋅BD=0，∴−2x−3y+2z=0−6y=0，
∴y=0，令x=1，则z=1，
∴n= (1,0,1)，
易知平面PBD的法向量为m=(1,0,0)，
设平面MBD与平面PBD夹角为θ，
则csθ=|cs|=|m⋅n||m||n|=1 2= 22．
16.解：(1)根据题意，可得f(x)=12sin2x+ 32(1+cs2x)=sin(2x+π3)+ 32，
当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，
可得f(x)的最小值为f(π2)=sin4π3+ 32=0，最大值f(π12)=sinπ2+ 32=1+ 32，
所以函数f(x)在区间[0,π2]上的值域为[0,1+ 32]；
(2)由(1)得f(C2)=sin(C+π3)+ 32= 3，即sin(C+π3)= 32．
因为C∈(0,π)，C+π3∈(π3,4π3)，所以C+π3=2π3，可得C=π3；
(3)由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=a2+b2−ab，
若3a2+b2−ab=csC+csAcsB，则3c2=csC+csAcsB，
因为csC=−cs(A+B)=sinAsinB−csAcsB，
所以csC+csAcsB=sinAsinB，可得3c2=sinAsinB，即c2sinAsinB=3．
由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得csinA=asinC，csinB=bsinC，
所以c2sinAsinB=absin2C=3，结合sinC= 32，可得ab=4．
所以△ABC的面积S=12absinC=12×4× 32= 3．
17.解：(1)当a=1时，f(x)=xe−x−ex，
f′(x)=(1−x)e−x−ex=1−x−e2xex，
令g(x)=1−x−e2x，则g′(x)=−1−2e2x0，m(x)单调递增，
当x∈(12,+∞)，m′(x)0，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，即当n∈N∗时，f(1n)>f(0)=0，
即ln(1+1n)−1n1+1n=ln(1+1n)−1n+1>0，
故ln(1+1n)>1n+1，n∈N∗．
(ii)∵1(n+1)2>1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
∴ln2(1+11)+ln2(1+12)+⋯+ln2(1+1n)>122+132+⋯+1(n+1)2
>(12−13)+(13−14)+⋯+(1n+1−1n+2)=12−1n+2=n2n+4，
∴|c|> n2n+4．
综上可得，当n≥2且n∈N∗时，|c|> n2n+4． x
(−∞,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
−
f(x)
单调递增
极大值
单调递减