福建省福州市福九联盟2025届高三上学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份福建省福州市福九联盟2025届高三上学期期中联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=−2,−1,0,1,2，B={x|123n”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若复数z满足i(z−i)=2+i，则|z|=( )
A. 2 B. 2C. 5 D. 10
4.若直线y=ax与曲线y=e2x相切，则a=
A. 2B. eC. 2eD. e2
5.已知α，β均为锐角，若sinα+β=13，sinα−β=14，则
A. tanαtanβ=17 B. tanαtanβ=7
C. tanαtanβ=17 D. tanαtanβ=7
6.已知x，y均为正实数，若x+y=1，则2x−y+2xy的最小值为
A. 4B. 9C. 12D. 14
7.已知平面向量a，b，c，若a=b=a−b=c−2a=1，则b⋅c的最大值为( )
A. 32 B. 1C. 3 D. 2
8.已知函数fx=x2−aexlnx+1的图象经过四个象限，则a的取值范围为( )
A. (0,e)B. (0,e−1)C. (4e−2,e)D. (0,4e−2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10=9，S20=200，则( )
A. a1=1B. {an}是递增数列
C. 当n=4时，Sn取得最小值D. 若Sn>0，则n的最小值为11
10.已知函数f(x)=sin2x+acs2x满足f(x)≤f(π8)，则( )
A. a=1
B. 点(−9π8,0)是曲线y=f(x)的对称中心
C. f(x)在区间(π8,3π4)上单调递减
D. 若函数f(λx)(λ>0)在区间(0,π)上恰有两个极值点，则λ∈(58,98]
11.已知函数f(x)的定义域为R，满足fx+y=fxf1−y+fyf1−x，f(1)=1，则
A. f(0)=0B. f(x)=f(2−x)C. f(x)是偶函数D. 2025k=1 f(k)=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}为等比数列，若a1=1，a2=−12，则数列{|an|}的前6项和为 ．
13.已知函数fx=x−a3lnx+bx的图象关于直线x=1对称，则a+b=________．
14.在平面四边形ABCD中，若AB=AD=1，BC=2BD，BD⊥BC，则AC的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F(1,0)，离心率为 22．
(1)求C的方程；
(2)已知点M0,13，直线l过F且与C交于A，B两点，若|MA|=|MB|，求l的方程．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b−2csAa=2csCc．
(1)求c；
(2)若BA⋅BC=2CA⋅CB，求△ABC面积的最大值．
17.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，点A1在底面ABC的射影为O，AB⊥AC，A1A=A1B=4，AC=3，A1O=2 3，E是A1B的中点．
(1)证明：OE //平面AA1C1C；
(2)若直线AB与平面EAC所成角的正弦值为 105，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．
18.(本小题17分)
已知函数fx=aex−a−lnx−1，a≥0．
(1)当a=0时，求函数F(x)=f(x)+x的最小值；
(2)若f(x)≥0，求a；
(3)证明：f(x)+|x−a|≥0．
19.(本小题17分)
若有穷数列An:a1,a2,⋯,ann∈N∗,n≥2满足：①a1=1；②ak+1−ak=qk，则称An为Eq数列．
(1)已知A4是E1数列，写出a4的所有可能值；
(2)已知An是E2数列，对任意给定的n，将an的所有可能取值从小到大排列构成一个新的数列{cm}.
(i)证明：当n≥3时，{cm}是等差数列；
(ii)求{cm}中所有项的和．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.D
6.B
7.D
8.D
9.BD
10.ABD
11.ABD
12.6332
13.−1
14.2+ 5
15.解：(1)
右焦点为F1,0，离心率为 22，
由椭圆的性质知，焦距2c=2，因此c=1；
离心率公式为e=ca= 22，解得a= 2；
再根据椭圆的定义b2=a2−c2，代入a和c的值，可以求得b2=1．
因此，椭圆C的方程为x22+y2=1．
(2)
当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线l的斜率存在时，
①当斜率为0时，过F1,0的直线l的方程为y=0，此时MA=MB，符合题意；
②当斜率不为0时，设直线l的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1),B(x2,y2)，
联立x22+y2=1，消去y，整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，
所以x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，
设线段AB的中点为N(x0,y0)，
则x0=x1+x22=2k21+2k2，
y0=k(x0−1)=−k1+2k2，
因为|MA|=|MB|，而kMN=−k1+2k2−132k21+2k2−0=−3k−1−2k26k2，
所以MN⊥AB，所以kMN⋅kAB=−1，
即−2k2−3k−16k=−1，解得k=12或1，
所以直线l的方程为x−y−1=0或x+y−1=0．
综上所述，直线l的方程为y=0或x−y−1=0或x−2y−1=0

16.(1)
由b−2csAa=2csCc可得：bc−2ccsA=2acsC，
由正弦定理可得：csinB−2sinCcsA=2sinAcsC，
所以csinB=2sinAcsC+2sinCcsA=2sinB，
因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，
所以c=2．
(2)
由BA⋅BC=2CA⋅CB可得：accsB=2abcsC，
所以ccsB=2bcsC，由正弦定理可得：sinCcsB=2sinBcsC，
所以3sinCcsB=2sinBcsC+2sinCcsB=2sinB+C=2sinA，
由正弦定理可得：3ccsB=2a，又因为c=2，
所以3csB=a，
所以▵ABC面积为：S=12acsinB=3csBsinB=32sin2B≤32，
当sin2B=1即B=π4时取等．
所以▵ABC面积的最大值为32．

17.(1)证明：连接BO并延长交AC于D，连接OA,DA1，
由题意OA1⊥平面ABC，AO,BO⊂平面ABC，
所以A1O⊥AO,A1O⊥BO，
又A1A=A1B=4，所以▵A1OA与▵A1OB全等，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，
又AB⊥AC，即∠BAC=90∘，所以∠OAB+∠OAD=90∘，∠ODA+∠OBA=90°，
所以∠ODA=∠OAD，
所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O为BD的中点，
又E是A1B的中点，所以OE//A1D，
又OE⊄平面AA1C1C，A1D⊂平面AA1C1C，
所以OE//平面AA1C1C．
(2)过点A作Az//OA1，如图建立空间直角坐标系A−xyz，
OB=OA= AA12−A1O2=2，
设AB=2a,AD=2b，则有a2+b2=4，
Oa,b,0,B2a,0,0,A1a,b,2 3,C0,3,0,E3a2,b2, 3，
则AE=3a2,b2, 3,AB=2a,0,0,AC=0,3,0，
设平面AEC的法向量为n=x,y,z，
则n⋅AE=3a2x+b2y+ 3z=0n⋅AC=3y=0，令x=2，则n=2,0,− 3a，
所以cs< n,AB>=|n⋅AB||n||AB|=4a2a 4+3a2= 105，解得a= 2，即AB=2 2，
所以三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V=A1OS▵ABC=2 3×12×3×2 2=6 6．

18.解：(1)当a=0时，fx=−lnx−1，Fx=fx+x=−lnx+x−1，x∈(0,+∞)，
F′x=−1x+1=x−1x，当01时，nx0时，当x≥a时，fx+x−a=aex−a−lnx+x−a−1=aex−a−1+x−lnx−1，
由(1)知，x≥lnx+1，则fx+x−a≥aex−a−1≥0；
当x0，
综上所述，fx+x−a≥0．

19.解：(1)
ak+1−ak=1，设ak+1−ak=ek，ek∈−1,1，
故a4=a1+a2−a1+⋯+a4−a3=1+e1+e2+e3，
因为ek=−1或ek=1，故a4∈−2,0,2,4．
(2)
(i)|ak+1−ak|=2k，设ak+1−ak=bk2k,bk∈−1,1，
所以an=a1+a2−a1+⋯+an−an−1=1+b121+b222+⋯+bn−12n−1，
不妨设aMi,aMj是aM中所有可能中的任意两个，
假设aMi=1+bi121+bi122+⋯+biM−12M−1，aMj=1+bj121+bj222+⋯+bjM−12M−1，
不妨设biM−1=bjM−1，biM−2=bjM−2，…，bik=bjk，bik−1≠bjk−1，
所以aMi−aMj=1+bi121+bi122+⋯+bik−12k−1−1+bj121+bj122+⋯+bjk−12k−1，
不妨设bik−1=1,bjk−1=−1，则
aMi−aMj≥1−21−22−⋯−2k−2+2k−1−1+21+22+...+2k−2−2k−1
=−2k−1+3+2k−1−2k−1−1−2k−1=4，
即am=1+b121+b222+⋯+bm−12m−1中的2m−1种表示中，其取值互不相等，
即数列cm中共有2n−1项，易得c1=1−2−22−⋯−2n−1=−2n+3，
c2n−1=1+2+22+⋯+2n−1=2n−1，故c2n−1−c1=2n+1−4；
又c2n−1−c1=c2n−1−c2n−1−1+c2n−1−1−c2n−1−2+...+c2−c1
≥4+4+...+4=2n+1−4，故cm中ci+1−ci=4恒成立，
故cm是以等差数列c1=−2n+3为首项，4为公差的等差数列；
(ii)当n=2时，cn只有两项，分别为−1,3，故和为2，
当n≥3，由(i)可得，因为cm是等差数列，共有2n−1项，
故其所有和为2n−1c1+c2n−12=2n−1−2n+3+2n−12=2n−1，
综上，cm中所有项的和为2n−1．