2024-2025学年福建省百校联考高三（上）月考数学试卷（11月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省百校联考高三（上）月考数学试卷（11月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|y= x−1}，则(∁RB)∩A=( )
A. [−1,1]B. [−1,1)C. [−3,1]D. [−3,1)
2.若复数z满足1−z=2i+iz，则复数z在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.若a和b是两个互不相等的正实数，则“a+b=2”是“lgab1)
10.已知函数f(x)=2sin(2ωx+π6)(ω>0)，则下列说法正确的是( )
A. 当ω=1时，f(x)的最小正周期为2π
B. 函数f(x)过定点(0,1)
C. 将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数ℎ(x)的图象，若函数ℎ(x)是偶函数，则ω的最小值为12
D. 函数g(x)=f(x)− 3在区间[0,π]上恰有5个零点，则ω的取值范围为[94,3712)
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是A1D1，DD1，C1D1的中点，点P为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是( )
A. △EFG的面积为 32
B. 三棱锥P−EFG体积的最大值为34
C. 若A1P//平面EFG，则点P的轨迹长度为6 2
D. 当点P为BC的中点时，P到直线A1C1的距离为3 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=2x,x≤1x2−7x+13,x>1，则f(f(f(1)))= ______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A=sinC，a=2，c=1，则b= ______．
14.记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，函数f(x)=x22+lnx−(an+2)x均存在两个极值点xn1，xn2，且满足|xn2−xn1|=(n+1)an，则Sn= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6−a3=9，S5=15．
(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(2)若bn=2an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
如图所示，C，D分别为半圆锥PAB的底面半圆弧上的两个三等分点，O为AB中点，E为母线PB的中点．
(1)证明：DE//平面PAC；
(2)若△PAB为等边三角形，求平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
函数f(x)=(1−x)eax−x−1，其中a为整数．
(1)当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；
(2)当x∈(0,+∞)时，f(x)|DE|．
①将不等关系|CE|>|DE|转化为对应的不等式；
②证明：当x，y∈(0,2)时，(x+1x)(y+1y)≥(x+y2+2x+y)2恒成立．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.C
5.B
6.C
7.B
8.D
9.BCD
10.BC
11.ACD
12.1
13.2
14.3−2n+1−2n+2
15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由2a6−a3=9，S5=15，
得2a1+10d−a1−2d=a1+8d=9，且5a1+10d=15，
联立解得a1=d=1，故an=1+n−1=n；
Sn=n+n(n−1)2=n2+n2；
(2)由(1)可知an=n，且bn=2an⋅an+1，
则bn=(n+1)⋅2n，
故Tn=2×2+3×22+4×23+⋯+(n+1)⋅2n，
则2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+(n+1)⋅2n+1，
两式作差可得−Tn=4+22+23+⋯+2n−(n+1)⋅2n+1=4+4−2n+11−2−(n+1)⋅2n+1
=−n⋅2n+1，
∴Tn=n⋅2n+1．
16.解：(1)证明：根据C，D分别为底面半圆弧上的两个三等分点，可知CD/​/AB且CD=12AB，
如果F是PA中点，E为母线PB的中点，那么易知EF=12AB且EF/​/AB，
因此EF//CD且EF=CD，那么EFCD为平行四边形，所以CF/​/DE，
根据DE⊄面PAC，CF⊂面PAC，所以DE/​/平面PAC．

(2)作DH⊥PA，DG⊥AB，连接HG，如上图所示，
根据题意，面PAB⊥面ABDC，PO⊂面PAB，PO⊥AB，面PAB∩面ABDC=AB，
因此PO⊥面ABDC，又因为DG⊂面ABDC，所以PO⊥DG，
又因为PO∩AB=O都在面PAB内，那么DG⊥面PAB，又因为PA⊂面PAB，
因此DG⊥PA，又由于DG∩DH=D都在面DHG内，所以PA⊥面DHG，
根据GH⊂面DHG，那么PA⊥GH，并根据DH⊥PA，且DH⊂面PAD，GH⊂面PAB，
因此平面PAD与平面PAB的夹角为∠DHG或其补角，
设△PAB的边长为2，那么PA=2，根据题设易知∠BAD=30°，所以DG= 32，AD= 3，
在三角形PAD中AD上的高ℎ= 4−34= 132，那么DH=ℎ⋅ADPA= 132× 32= 394，
因此sin∠DHG=DGDH=2 1313，所以cs∠DHG=3 1313，
因此平面PAB与平面PAD的夹角余弦值为3 1313．
17.解：(1)当a=1时，函数f(x)=(1−x)ex−x−1，所以f(1)=−2，
而导函数f′(x)=−ex+(1−x)ex−1=−xex−1，那么f′(1)=−e−1，
因此f(x)在x=1处的切线方程为y+2=(−e−1)(x−1)，
所以(e+1)x+y+1−e=0．
(2)当x∈[1,+∞)时，(1−x)eax≤0，那么f(x)