2024-2025学年福建省福州市屏东中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市屏东中学高三（上）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={1,2,3,4,5,9}，B={x|x2−6x+8≤0}，则∁A(A∩B)=( )
A. {1,5,9}B. {1,2,9}C. {3,4,5}D. {2,3,4}
2.已知复数z=2i(1−i)+1，则|z|=( )
A. 5B. 13C. 5D. 13
3.已知平面上三个单位向量a，b，c满足c=2(a+b)，则a⋅c=( )
A. 12B. 32C. 14D. 34
4.已知00,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若PF1⋅PF2=0，且3|PD‖PE|=S△PF1F2，则双曲线C的离心率为______．
14.已知函数f(x)=ex|x|，若函数g(x)=[f(x)]2+2af(x)−e2−ae恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且b2+c2=5a2．
(1)若sinB= 62sinC，求csA；
(2)若AB⋅AC=8，求△ABC的面积的最大值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，
AB=1，AD=2，AC=CD= 5．
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+ax−1．
(1)当a=1时，证明：f(x)≥0；
(2)若函数f(x)有极小值，且f(x)的极小值小于a−a2，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，长轴长为4 2，直线PF2的倾斜角为135°．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若椭圆C上的两动点A，B均在x轴上方，且AF1//BF2，求证：1|AF1|+1|BF2|的值为定值．
(3)在(2)的条件下求四边形的ABF2F1的面积S的取值范围．
19.(本小题17分)
设任意一个无穷数列{an}的前n项之积为Tn，若∀n∈N∗，Tn∈{an}，则称{an}是T数列．
(1)若{an}是首项为−2，公差为1的等差数列，请判断{an}是否为T数列？并说明理由；
(2)证明：若{an}的通项公式为an=n⋅2n，则{an}不是T数列；
(3)设{an}是无穷等比数列，其首项a1=5，公比为q(q>0)，若{an}是T数列，求q的值．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.D
5.A
6.A
7.D
8.C
9.ACD
10.ABD
11.ACD
12.230
13. 3
14.(−∞,−e)
15.解：(1)由sinB= 62sinC及正弦定理得：b= 62c，即 2b= 3c，
又因为b2+c2=5a2，所以b= 3a，c= 2a，
从而csA=b2+c2−a22bc=5a2−a22 3a⋅ 2a= 63．
(2)由余弦定理可知，b2+c2−2bccsA=a2，
因为b2+c2=5a2，所以bccsA=2a2，
又因为AB⋅AC=bccsA=8，所以a=2，
所以b2+c2=20，所以2bc≤20，即bc≤10，
所以S△ABC=12bcsinA=12 b2c2−(bccsA)2=12 b2c2−64≤3，
当b=c= 10时取等号，即△ABC的面积的最大值为3．
16.(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，
∴PD⊥平面PAB；
(2)解：取AD中点为O，连接CO，PO，
∵CD=AC= 5，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,−1,0)，C(2,0,0)，
则PB=(1,1,−1),PD=(0,−1,−1)，PC=(2,0,−1)，
设n=(x0,y0,z0)为平面PCD的法向量，
则由n⋅PD=0n⋅PC=0，得−y0−z0=02x0−z0=0，令z0=1，则n=(12,−1,1)．
设PB与平面PCD的夹角为θ，则
sinθ=|cs|=|n⋅PB|n||PB||=|12−1−1 14+1+1× 3|= 33；
(3)解：假设存在M点使得BM/​/平面PCD，设AMAP=λ∈(0,1)，M(0,y1,z1)，
由(2)知，A(0,1,0)，P(0,0,1)，AP=(0,−1,1)，B(1,1,0)，AM=(0,y1−1,z1)，
则有AM=λAP，可得M(0,1−λ,λ)，
∴BM=(−1,−λ,λ)，
∵BM/​/平面PCD，n=(12,−1,1)为平面PCD的法向量，
∴BM⋅n=0，即−12+λ+λ=0，解得λ=14．
综上，存在点M，即当AMAP=14时，M点即为所求．
17.解：(1)证明：要证f(x)≥0，
需证f(x)min≥0．
当a=1时，f(x)=lnx+1x−1，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=1x−1x2=x−1x2，
当00，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当a>0时，
当0