中考数学一轮复习重点考向练习专题02 整式与因式分解（2份，原卷版+解析版）

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1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．
2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用．
3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．
4、同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．
5、了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．
6、会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.
1.以考查整式的加减、乘除、乘法公式、幂的运算、因式分解、探究规律为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为12分左右。
2.预计2024年各地中考还将继续考查幂的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值、探究规律，为避免丢分，学生应扎实掌握.
►考向一 整式的加减与化简求值
1．（2023•德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+nB．mC．n﹣mD．2n
【思路点拨】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出现2025个整式，结合2025÷6＝337…3，从而可以得解．
【规范解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……
第 2023次操作后得到 的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025个整式；
归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，
∵2025÷6＝337…3，
∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可．
∴这个和为m+n+（n﹣m）＝2n．
故选：D．
【真题剖析】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．
2．（2023•重庆）（定义新运算）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【思路点拨】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【规范解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确．
无论怎加绝对值，运算结果中都不会出现﹣x+y+z+m+n，因此不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
【真题剖析】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
3．（2023•沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为 2 ．
【思路点拨】先将原式去括号，然后合并同类项可得﹣a﹣b+5，再把前两项提取﹣1，然后把a+b的值代入可得结果．
【规范解答】解：2（a+2b）﹣（3a+5b）+5
＝2a+4b﹣3a﹣5b+5
＝﹣a﹣b+5
＝﹣（a+b）+5
当a+b＝3时，原式＝﹣3+5＝2．
故答案为：2．
【真题剖析】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键．
4．（2023•泰州）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为 ﹣6 ．
【思路点拨】直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．
【规范解答】解：2（2a+b）﹣4b
＝4a+2b﹣4b
＝4a﹣2b
＝2（2a﹣b），
∵2a﹣b+3＝0，
∴2a﹣b＝﹣3，
∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【真题剖析】此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键．
►考向二 单项式与多项式的乘法
5．（2023•泸州）下列运算正确的是（ ）
A．m3﹣m2＝mB．3m2•2m3＝6m5
C．3m2+2m3＝5m5D．（2m2）3＝8m5
【思路点拨】各式计算得到结果，即可作出判断．
【规范解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝6m5，符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式＝8m6，不符合题意．
故选：B．
【真题剖析】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（ ）
A．2B．a2C．a2+2aD．a2﹣2a
【思路点拨】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案．
【规范解答】解：原式＝a2+2a﹣2a
＝a2．
故选：B．
【真题剖析】此题主要考查了单项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【思路点拨】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案．
【规范解答】解：∵（3a+b）（2a+2b）
＝6a2+6ab+2ab+2b2
＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张．
故选：C．
【真题剖析】本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
►考向三 完全平方公式
8．（2023•赤峰）下列运算正确的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6B．3ab﹣2ab＝1
C．（﹣a）3•a＝a4D．（a+b）2＝a2+b2
【思路点拨】利用积的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂乘法法则，完全平方公式将各项计算后进行判断即可．
【规范解答】解：A．（a2b3）2
＝（a2）2•（b3）2
＝a4b6，
则A符合题意；
B．3ab﹣2ab＝ab，
则B不符合题意；
C．（﹣a）3•a
＝﹣a3•a
＝﹣a4，
则C不符合题意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，
则D不符合题意；
故选：A．
【真题剖析】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．（2023•大庆）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和为 128 ．
【思路点拨】根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可．
【规范解答】解：∵（a+b）0＝1，系数之和是20＝1；
（a+b）1＝a+b，系数之和是21＝2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，系数之和是22；
……
（a+b）n，展开各项系数之和是2n．
∴（a+b）7展开各项的系数之和为27＝128．
故答案为：128．
【真题剖析】本题考查了完全平方公式的延伸应用，属于规律性探究题型，从特殊到一般规律的推出是数学探究的常用方法．
10．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【规范解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：D．
【真题剖析】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同
一个图形的面积．
►考向四 平方差公式
10．（2023•东营）下列运算结果正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9B．2x3+3x3＝5x6
C．（2x2）3＝6x6D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
【思路点拨】利用同底数幂乘法法则，合并同类项法则，积的乘方法则及平方差公式将各项计算后进行判断即可．
【规范解答】解：A．x3•x3＝x6，
则A不符合题意；
B．2x3+3x3＝5x3，
则B不符合题意；
C．（2x2）3＝8x6，
则C不符合题意；
D．（2+3x）（2﹣3x）
＝22﹣（3x）2
＝4﹣9x2，
则D符合题意；
故选：D．
【真题剖析】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11．（2023•湖州）计算：（a+1）（a﹣1）＝ a2﹣1 ．
【思路点拨】直接利用平方差公式进行计算即可．
【规范解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，
故答案为：a2﹣1．
【真题剖析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式．
12．（2023•无锡）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；
（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
【思路点拨】（1）根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）利用平方差公式和单项式乘以多项式进行计算即可．
【规范解答】解：（1）原式＝9﹣5+4＝8；
（2）原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．
【真题剖析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
►考向五 整式的混合运算
13．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 25 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
【思路点拨】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2＝，再结合（m+n）2＝10可求得mn＝，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn＝．
【规范解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案为：25；
（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2＝，
∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，
整理得：2mn＝，
即mn＝，
∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：＝m，＝n，
故阴影部分的面积为：×m×n＝mn＝，
故答案为：．
【真题剖析】本题考查整式运算的实际应用，（2）中将题干中的两个等式分别平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解题的关键．
14．（2023•宿迁）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝ ﹣1012 ．
【思路点拨】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab即可得答案．
【规范解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，
[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），
（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，
故答案为：﹣1012．
【真题剖析】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式的变形是解题关键．
15.（2023•凉山州）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．
【思路点拨】利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【规范解答】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y）
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2
＝2xy，
当x＝（）2023，y＝22022时，
原式＝2×（）2023×22022
＝2××（）2022×22022
＝2××（×2）2022
＝2××12022
＝2×
＝1．
【真题剖析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
►考向六 因式分解
16．（2023•黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝ （y﹣1）（x﹣4） ．
【思路点拨】将整式x（y﹣1）+4（1﹣y）变形含有公因式（y﹣1），提取即可．
【规范解答】解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝（y﹣1）（x﹣4）．
【真题剖析】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，找到公因式是本题分解因式的关键．
17．（2023•益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2
B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）
D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
【思路点拨】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
【规范解答】解：A选项，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故该选项符合题意；
B选项，a2+ab+a＝a（a+b+1），故该选项不符合题意；
C选项，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故该选项不符合题意；
D选项，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故该选项不符合题意．
故选：A．
【真题剖析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
18．（2023•绥化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝ （x+y）（x﹣z） ．
【思路点拨】利用分组分解法及提公因式法因式分解即可．
【规范解答】解：原式＝（x2+xy）﹣z（x+y）
＝x（x+y）﹣z（x+y）
＝（x+y）（x﹣z），
故答案为：（x+y）（x﹣z）．
19．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【思路点拨】本题考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相关知识．
【规范解答】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故选项B错误，
C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故选项C正确，
D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故选项D错误．
故答案为：C．
【真题剖析】本题考查因式分解，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
►考向七 因式分解的应用
20．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式： x2﹣1（答案不唯一）． ．
【思路点拨】根据题意，可以写出分解因式中含有（x+1）的一个多项式，本题答案不唯一，符合题意即可．
【规范解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
∴符合条件的一个多项式是x2﹣1，
故答案为：x2﹣1（答案不唯一）．
【真题剖析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的一个多项式．
21．（2023•凉山州）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于 2023 ．
【思路点拨】由x2﹣2x﹣1＝0，得x2﹣2x＝1，将所求式子变形为3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027，再整体代入计算即可．
【规范解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴3x3﹣10x2+5x+2027
＝3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027
＝3x×1﹣4×1﹣3x+2027
＝3x﹣4﹣3x+2027
＝2023，
故答案为：2023．
【真题剖析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是整体代入思想的应用．
1．（2023•重庆）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 6200 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 9313 ．
【思路点拨】它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．分为两部分：第一部分千位数和个位数之间的关系，第二部分百位数和十位数之前的关系．
【规范解答】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0．
先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十位数为最小的自然数0时．百位数是2；则最小的“天真数”为6200．
故答案为：6200．
一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．
由“天真数”的定义得a＝d+6，所以6≤a≤9，b＝c+2，所以0≤c≤7，
又P（M）＝3（a+b）+c+d＝3（a+c+2）+c+a﹣6＝4a+4c；
Q（M）＝a﹣5.＝若能被10整除当a取最大值9时，
即当a＝9时，满足能被10整除，则c＝1，“天真数”M为9313．
故答案为：9313．
【真题剖析】新定义题型，各数字的取值范围，最值：最小自然数0．
2．（2023•陕西）计算：＝（ ）
A．3x4y5B．﹣3x4y5C．3x3y6D．﹣3x3y6
【思路点拨】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【规范解答】解：
＝6×（﹣）x1+3y2+3
＝﹣3x4y5．
故选：B．
【真题剖析】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2023•扬州）若（ ）•2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是（ ）
A．aB．2aC．abD．2ab
【思路点拨】根据单项式乘单项式法则（或根据单项式除以单项式法则）求出答案即可．
【规范解答】解：2a3b÷2a2b＝a，
即括号内应填的单项式是a，
故选：A．
【真题剖析】本题考查了单项式乘单项式法则，能熟记掌握单项式乘单项式法则是解此题的关键．
4．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．
表2
表3
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．
【思路点拨】（1）根据图形，利用长方形的面积公式计算即可；
（2）利用作差法比较即可．
【规范解答】解：（1）由图可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，
当a＝2时，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；
（2）S1＞S2，
理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
又∵a＞1，
∴（a﹣1）2＞0，
∴S1＞S2．
【真题剖析】本题考查了多项式乘多项式，关键是能列出整式或算式表示几何图形的面积．
5．（2023•浙江）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1．
（2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．
【思路点拨】（1）根据解一元一次不等式的步骤进行计算即可；
（2）将原代数式化简整理后结合已知条件即可求得答案．
【规范解答】解：（1）2x﹣3＞x+1，
移项得：2x﹣x＞1+3，
合并同类项得：x＞4；
（2）∵a2+3ab＝5，
∴（a+b）（a+2b）﹣2b2
＝a2+2ab+ab+2b2﹣2b2
＝a2+3ab
＝5．
【真题剖析】本题考查解一元一次不等式和整式的化简求值，解不等式的步骤及整式的运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（2023•台州）下列运算正确的是（ ）
A．2（a﹣1）＝2a﹣2B．（a+b）2＝a2+b2
C．3a+2a＝5a2D．（ab）2＝ab2
【思路点拨】根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．
【规范解答】解：A．2（a﹣1）
＝2a﹣2×1
＝2a﹣2，
则A符合题意；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，
则B不符合题意；
C．3a+2a
＝（3+2）a
＝5a，
则C不符合题意；
D．（ab）2＝a2b2，
则D不符合题意；
故选：A．
【真题剖析】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023•日照）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2D．2ab+3a2b＝5a3b2
【思路点拨】分别根据同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算可得结果．
【规范解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，所以A运算错误；
B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3m6＝﹣8m6，所以B运算正确；
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以C运算错误；
D．2ab与3a2b不是同类项，所以不能合并计算，所以D运算错误．
故选：B．
【真题剖析】此题主要是考查了同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则，能够熟练运用各种法则是解答此题的关键．
8．（2023•淄博）下列计算结果正确的是（ ）
A．3a+2a＝5aB．3a﹣2a＝1
C．3a•2a＝6aD．（3a）÷（2a）＝a
【思路点拨】根据整式的加减和整式的乘除解答即可．
【规范解答】解：A、3a+2a＝5a，计算正确，符合题意；
B、3a﹣2a＝a，计算错误，不符合题意；
C、3a•2a＝6a2，计算错误，不符合题意；
D，（3a）÷（2a）＝，计算错误，不符合题意；
故选：A．
【真题剖析】此题考查整式的混合计算，关键是根据整式的加减和整式的乘除解答．
9．（2023•金华）如图是一块矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面积为s（m2），现将边AB增加1m．
（1）如图1，若a＝5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 6 ．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s（m2），则s的值是 6+4 ．
【思路点拨】（1）根据边AD减少1m，得到的矩形面积不变，得5b＝（5+1）×（b﹣1），可解得答案；
（2）由边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），知（a+1）（b+2）＝2s，故（a+1）（+2）＝2s，2a2+（2﹣s）a+s＝0，又有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，可得（2﹣s）2﹣8s＝0，可解得答案．
【规范解答】解：（1）∵边AD减少1m，得到的矩形面积不变，
∴5b＝（5+1）×（b﹣1），
解得：b＝6，
故答案为：6；
（2）根据题意知b＝，
∵边AB增加1m，边AD增加2m，得到的矩形面积为2s（m2），
∴（a+1）（b+2）＝2s，
∴（a+1）（+2）＝2s，
整理得：2a++2﹣s＝0，
∴2a2+（2﹣s）a+s＝0，
∵有且只有一个a的值使得到的矩形面积为2s，
∴Δ＝0，即（2﹣s）2﹣8s＝0，
解得s＝6﹣4（不符合题意舍去）或s＝6+4，
故答案为：6+4．
【真题剖析】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式等，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s列出关于s的方程．
10．（2023•内蒙古）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．
【思路点拨】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
【规范解答】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy，
当x＝﹣1，y＝﹣1时，原式＝9（﹣1）（+1）＝9×（6﹣1）＝45．
【真题剖析】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
11．（2023•内蒙古）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b） 其中a＝﹣1，b＝．
【思路点拨】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．
【规范解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2
＝2a2+4ab，
当a＝﹣1，b＝时，
原式＝2×（﹣1）2+4×（﹣1）×
＝2﹣1
＝1．
【真题剖析】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键．
12．（2023•广西）分解因式：a2+5a＝ a（a+5） ．
【思路点拨】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出结论．
【规范解答】解：∵a2+5a公有因式为a，
∴原式＝a（a+5），
故答案为：a（a+5）．
【真题剖析】本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．
13．（2023•杭州）分解因式：4a2﹣1＝（ ）
A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）
【思路点拨】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【规范解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12
＝（2a﹣1）（2a+1）．
故选：A．
【真题剖析】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
14．（2023•辽宁）分解因式：2m2﹣18＝ 2（m+3）（m﹣3） ．
【思路点拨】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【规范解答】解：原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
【真题剖析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【真题剖析】本题考查因式分解，将原式分组为（x2+xy）﹣z（x+y）是解题的关键．
15．（2023•攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1）B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
【思路点拨】利用平方差公式，x2﹣1还可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．
【规范解答】解：（A）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）；
故A不正确，不符合题意．
（B）m3+m＝m（m2+1）；
故B正确，符合题意．
（C）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
故CD不正确，不符合题意．
故选：B．
【真题剖析】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
16．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 15 ；第23个智慧优数是 57 ．
【思路点拨】根据新定义m2﹣n2，可以分别列出m2和n2的值，进而即可求解．
【规范解答】解：注意到m﹣n＞1，知m﹣n≥2，∴m≥n+2．当m＝n+2时，由 （n+2）2﹣n2＝4+4n产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，……当m＝n+3时，由 （n+3）2﹣n2＝9+6n产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，……当m＝n+4时，由（n+4）2﹣n2＝16+8n产产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，……当m＝n+5时，由（n+5）2﹣n2＝25+10n产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，……当m＝n+6时，由（n+6）2﹣n2＝36+12n产生的智慧优数为：48，60，72，84，……当m＝n+7时，由（n+7）2﹣n2＝49+14n．产生的智慧优数为：63，77，91，……当m＝n+8时，由（n+8）2﹣n2＝64+16n产生的智慧优数为：80，96，…………综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，……故第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57．故答案为：15，57．
【真题剖析】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解，解题的关键是能有分类进行求解
知识目标（新课程标准提炼）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）
考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）
重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）
►考向一 整式的加减与化简求值
►考向二 单项式与多项式的乘法
►考向三 完全平方公式
►考向四 平方差公式
►考向五 整式的混合运算
►考向六 因式分解
►考向七 因式分解的应用
最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）
代数式的有关概念
1．代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.
3．代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。
4.求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值。
整式的有关概念
1．整式：单项式和多项式统称为整式．
2．单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．
【注意】单项式的系数包括它前面的符号
3.多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
幂的运算
1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
【式子表达】： SKIPIF 1 < 0 . （ SKIPIF 1 < 0 都是正整数）
【 SKIPIF 1 < 0 代表的广泛性】代表数，字母，单项式，多项式.
【拓展】 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 都是正整数）等.
【要点】①同底数幂，区别非同底数幂.
②相乘，区别相加.
③底数不变. 区别合并同类项，将底数的系数相加.
④指数相加，区别相乘.
【数学思想】将乘法运算转化为加法运算，即将二级运算转化为一级运算，从而简化运算.
2.幂的乘方是指几个相同的幂相乘.
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 SKIPIF 1 < 0 （m，n都是正整数）．
3．积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．
法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 SKIPIF 1 < 0 （n是正整数）．
4.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
SKIPIF 1 < 0 (m,n都是正整数,且m>n);
SKIPIF 1 < 0 (a≠0).
【温馨提示】
1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”．
2．幂的乘方的指数中若有多项式，指数相乘时要带括号．
3．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆．
4．式子 SKIPIF 1 < 0 不可以写成 SKIPIF 1 < 0 ，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系．
5．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意.
【方法技巧】
1．幂的乘方： SKIPIF 1 < 0 （m，n，p都是正整数）．
例如： SKIPIF 1 < 0 ．这一性质由乘方运算降为乘法运算（指数相乘）．
2．注意逆用幂的乘方法则，例如： SKIPIF 1 < 0 ．
逆用积的乘方法则有 SKIPIF 1 < 0 ，即指数相同的幂相乘，可将底数相乘，相同的指数作为共同的指数.
整式的加减
几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
整式的乘法
1．单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
2．单项式乘多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
3．多项式乘多项式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
整式的除法
1.单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式。
2.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
乘法公式
1．完全平方公式
（1）完全平方公式： SKIPIF 1 < 0 ．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）完全平方公式的几何背景
①运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
②常见验证完全平方公式的几何图形
SKIPIF 1 < 0 ．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
（4）完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使 SKIPIF 1 < 0 ，则称A是完全平方式．
SKIPIF 1 < 0
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
2．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
SKIPIF 1 < 0
（2）平方差公式的几何背景
①常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
②运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
探索规律与说理
1.解决规律探索型问题的策略是：
通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.
2.图形固定累加规律：
(1)找关系：找后一个图形所求元素个数与前一个图形所求元素个数之间的关系，一般通过作差的形式进行观察；
(2)找规律：若第一个图形所求元素个数为a，第二个图形所求元素个数比第一个图形所求元素个数多b，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b，则第n个图形所求元素个数为a＋b(n－1)；
(3)验证：代入序号验证所求代数式．
因式分解的概念
把一个多项式化成几个因式积的形式叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
因式分解的基本方法
1.提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
2.公式法： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 。
3.分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
4.十字相乘法： SKIPIF 1 < 0
分解因式的一般步骤
1.如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;
2.如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：
为两项时，考虑平方差公式；
为三项时，考虑完全平方公式；
为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;
3.检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.
以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.
解题技巧/易错易混/特别提醒
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
解题技巧/易错易混/特别提醒
应用完全平方公式时，要注意：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
解题技巧/易错易混/特别提醒
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
解题技巧/易错易混/特别提醒
有关代数式的常见题型为用代数式表示数字或图形的变化规律. 数与图形的规律探索问题，关键要能够通过观察、分析、联想与归纳找出数或图形的变化规律，并用代数式表示出来.
解题技巧/易错易混/特别提醒
因式分解是中考的高频考点，其题型一般为填空题，难度中等。解此类题的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法，即提取公因式法和公式法。
因式分解的一般步骤：