中考数学一轮复习重点考向练习专题07 分式方程（2份，原卷版+解析版）

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1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；
2.能解可化为一元一次方程的分式方程；
3.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
本考点内容以考查分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查,分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
►考向一 分式方程的解
1．（2023•黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m≥2C．m≤2且m≠﹣2D．m＜2且m≠﹣2
【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出m的范围即可．
【规范解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
解得：x＝，
由分式方程的解是非负数，得到≥0，且﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故选：C．
【真题剖析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023•聊城）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1且m≠﹣1B．m≥﹣1且m≠1C．m＜1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
【思路点拨】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
【规范解答】解：+1＝，
两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，
移项，合并同类项得：2x＝1﹣m，
系数化为1得：x＝，
∵原分式方程的解为非负数，
∴≥0，且≠1
解得：m≤1且m≠﹣1，
故选：A．
【真题剖析】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x＝是解题的关键．
3．（2023•日照）若关于x的方程﹣2＝的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣B．m＜
C．m＞﹣且m≠0D．m＜且m≠
【思路点拨】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围．
【规范解答】解：﹣2＝，
去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，
整理得，2x﹣4x+4＝3m，
解得，x＝，
∵分式方程的解为正数，
∴4﹣3m＞0且，
∴m＜且m≠．
故选：D．
【真题剖析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
►考向二 解分式方程
4．（2023•大连）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1+3＝3x（1﹣x）B．1+3（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+3＝﹣3xD．1+3（x﹣1）＝3x
【思路点拨】根据分式方程的解法，两侧同乘（x﹣1）化简分式方程即可．
【规范解答】解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．
故选：B．
【真题剖析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
5．（2023•淮安）方程＝1的解是 x＝﹣2 ．
【思路点拨】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【规范解答】解：去分母得：
x﹣1＝2x+1，
∴x﹣2x＝1+1，
∴﹣x＝2，
∴x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2是原方程的解，
∴原方程的解为：x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【真题剖析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程解答的一般步骤是解题的关键．
6．（2023•陕西）解方程：．
【思路点拨】利用解分式方程的步骤解方程即可．
【规范解答】解：原方程两边同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，
去括号得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，
移项，合并同类项得：﹣15x＝25，
解得：x＝﹣，
经检验，x＝﹣是分式方程的解，
故原方程的解为：x＝﹣．
【真题剖析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
►考向三 分式方程的增根
7．（2021•宜宾）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【思路点拨】方程两边同时乘（x﹣2），将分式方程转化为整式方程，解这个整式方程得到方程的解，根据方程有增根，得到x＝2，列出方程计算出m的值即可．
【规范解答】解：方程两边同时乘（x﹣2）得：x﹣3（x﹣2）＝m，
解得：x＝3﹣m，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴3﹣m＝2，
∴m＝2，
故选：C．
【真题剖析】本题考查了分式方程的增根，理解增根产生的原因是解题的关键．
8．（2021•无锡）分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【思路点拨】根据题意可得x＝2，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【规范解答】解：，
+1＝﹣，
6+2（x﹣2）＝﹣m，
解得：x＝﹣，
∵分式方程有增根，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝﹣中，
2＝﹣，
解得：m＝﹣6，
故选：D．
【真题剖析】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
9．（2023•巴中）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝ ﹣1 ．
【思路点拨】先去分母，再根据增根的意义列方程求解．
【规范解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），
由题意得：x＝2是该整式方程的解，
∴2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【真题剖析】本题考查了分式方程的增根，理解增根的意义是解题的关键．
►考向四 由实际问题抽象出分式方程
10．（2023•青海）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】首先根据题意得汽车的速度是2x km/h，再将30min转化为h，然后根据“同时到达”列出方程即可得出答案．
【规范解答】解：∵骑车师生的速度为x km/h，汽车的速度是骑车师生速度的2倍，
∴汽车的速度是2x km/h，
又∵30min＝h，
∴．
故选：B．
【真题剖析】此题主要考查了分式方程的应用，解答此题的关键是求出汽车的速度，进而根据“同时到达”列出方程，特别提醒：单位要统一，这也是解答此题的易错点之一．
11．（2023•张家界）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝B．3（x﹣1）＝6210
C．3（x﹣1）＝D．＝3x
【思路点拨】设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【规范解答】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，
由题意得：3（x﹣1）＝，
故选：C．
【真题剖析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
12．（2023•淄博）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】设初一年级平均每小时植树x棵，根据初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同列出方程解答即可．
【规范解答】解：设初一年级平均每小时植树x棵，根据题意可得：
，
故选：D．
【真题剖析】此题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是根据题意得出方程解答．
►考向五 分式方程的应用
13．（2023•宜昌）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（ ）
A．0.2km/minB．0.3km/minC．0.4km/minD．0.6km/min
【思路点拨】设学生的速度为x km/min，根据一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．列出方程，即可求解．
【规范解答】解：设学生的速度为x km/min，
由题意可得：﹣20＝，
解得：x＝0.3，
经检验：x＝0.3是原方程的解，且符合题意；
∴2x＝0.6（km/min），
故选：D．
【真题剖析】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
14．（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【思路点拨】（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，根据“A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解；
（2）先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．
【规范解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，
由题意得：，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x+10＝90+10＝100，
答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；
（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，
由题意得：，
解得：10≤m≤12，
w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；
∵﹣0.5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，
∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．
【真题剖析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．
15．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
【思路点拨】（1）设A型玩具的单价为x元/件．根据用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，列方程即可得到结论；
（2）设购买A型玩具m个．根据张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，列不等式即可得到结论．
【规范解答】解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个．
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
∴B型玩具的进价为10×1.5＝15（元/个），
答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．
（2）设购买A型玩具m个，则购进B型玩具（75﹣m）个．
根据题意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300，
解得：m≤25，
答：最多可购进A型玩具25个．
【真题剖析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键．
1．（2023•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1B．m＞﹣1且m≠0
C．m＞﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2
【思路点拨】解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件求得m的取值范围即可．
【规范解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，
移项，合并同类项得：x＝m+1，
∵原分式方程的解是负数，
∴m+1＜0，且m+1+1≠0，
解得：m＜﹣1且m≠﹣2，
故选：D．
【真题剖析】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，特别注意解得的分式方程的解不能使最简公分母为0．
2．（2023•淄博）已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【思路点拨】将x＝1代入原方程即可求出m的值．
【规范解答】解：将x＝1代入方程，得：﹣＝3，
解得：m＝2．
故选：B．
【真题剖析】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x＝1代入原方程中得到关于m的方程．
3．（2023•兰州）方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝5D．x＝﹣5
【思路点拨】方程两边同时乘以x+3，即可转化为一个整式方程，求得方程的根后要验根．
【规范解答】解：方程两边同乘x+3，得2＝x+3
解得x＝﹣1．
检验：x＝﹣1时，x+3≠0．
∴x＝﹣1是原分式方程的解．
故选：B．
【真题剖析】本题主要考查了分式方程的解法．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
4．（2021•贺州）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【思路点拨】方程两边同时乘（x﹣3），将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，根据方程增根，得到x＝3，从而列出方程求出m的值．
【规范解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）得：m+4＝3x+2（x﹣3），
解得：x＝m+2，
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴m+2＝3，
∴m＝5，
故选：D．
【真题剖析】本题考查了分式方程的增根，理解增根产生的原因是解题的关键．
5．（2020•遂宁）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3
【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【规范解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【真题剖析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．（2023•云南）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【思路点拨】根据“乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点”列方程求解．
【规范解答】解：∵乙同学的速度是x米/分，
则甲同学的速度是1.2x米/分，
由题意得：，
故选：D．
【真题剖析】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
7．（2023•绥化）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的
是（ ）
A．+＝1B．+（+）＝1
C．（1+）+＝1D．+（+）＝1
【思路点拨】根据题意可知：甲单独工作1天的工作量+甲和乙合作天的工作＝单位”1“，列出相应的方程即可．
【规范解答】解：由题意可得，
+（+）＝1，
故选：B．
【真题剖析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
8．（2023•重庆）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 13 ．
【思路点拨】先通过不等式组的解确定a的范围，再根据分式方程的解求a值即可得出答案．
【规范解答】解：解不等式组，
得：，
∵原不等式组的解集为：x＜﹣2，
∴﹣≥﹣2，
∴a≤5，
解分式方程+＝2，
得y＝，
∵y＞0且y≠1，
∴＞0且≠1，
∴a＞﹣2且a≠1，
∴﹣2＜a≤5，且a≠1，
∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5，
∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．
故答案为：13．
【真题剖析】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键．
9．（2023•重庆）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 4 ．
【思路点拨】先解不等式组，根据至少有2个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是非负整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可．
【规范解答】解：解不等式组，得，
∵至少有2个整数解，
∴≤4，
∴a≤6，
解分式方程+＝2，
得y＝，
∵y的值是非负整数，a≤6，
∴当a＝5时，y＝2，
当a＝3时，y＝1，
当a＝1时，y＝0，
∵y＝2是分式方程的增根，
∴a＝5（舍去），
∴满足条件的a的值有3和1，
∵3+1＝4，
∴所有满足条件的整数a的值之和是4．
故答案为：4．
【真题剖析】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键．
10．（2023•眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 m≥﹣5且m≠﹣3 ．
【思路点拨】根据解分式方程的方法，用含m的式子表示x的值，再根据解为非负数和分母不为0即可求解．
【规范解答】解：，
去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，
去括号移项得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，
合并同类项得：﹣x＝﹣5﹣m，
系数化为1得：x＝5+m，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，即5+m≠2，
∴m≠﹣3，
∵解为非负数，
∴x＝5+m≥0，
∴m≥﹣5，
∴m≥﹣5且m≠﹣3．
故答案为：m≥﹣5且m≠﹣3．
【真题剖析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0．
11．（2023•赤峰）方程+＝1的解为 x＝4 ．
【思路点拨】解分式方程，先去分母，转化为整式方程再解，最后检验看是否有增根．
【规范解答】解：方程两边同时乘以（x2﹣4）得：
x﹣2+x+6＝x2﹣4，
整理得：x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
检验：当x1＝4时，x2﹣4≠0，∴x1＝4是原方程的根，
当x2＝﹣2时，x2﹣4＝0，∴x2＝﹣2是原方程的增根，舍去，
∴x＝4是原方程的根．
故答案为：x＝4．
【真题剖析】解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 x＝4 ．
【思路点拨】根据关于x的分式方程（m为常数）有增根，可知x﹣4＝0，进一步计算即可．
【规范解答】解：∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴x﹣4＝0，
∴x＝4，
故答案为：x＝4．
【真题剖析】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
13．（2020•潍坊）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝ 3 ．
【思路点拨】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值．
【规范解答】解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1，
∵关于x的分式方程有增根，即x﹣2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，
解得：m＝3；
故答案为：3．
【真题剖析】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
14．（2020•巴中）若关于x的分式方程有增根，则m＝ ﹣4 ．
【思路点拨】根据分式方程有增根，确定出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，把x的值代入整式方程计算即可求出m的值．
【规范解答】解：去分母得：x2+3x＝﹣m，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，x＝1，
把x＝1代入方程得：1+3＝﹣m，
解得：m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【真题剖析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．（2023•绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度v km/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为 60 km/h．
【思路点拨】根据比原计划提前了0.5h到达列方程，即可解得答案．
【规范解答】解：根据题意得：＝+0.5，
解得v＝60，
经检验，v＝60是原方程的解，
∴原计划的速度v为60km/h；
故答案为：60．
【真题剖析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．
∴x＝90是分式方程的根，
16．（2023•湖北）（1）计算：（12x4+6x2）÷3x﹣（﹣2x）2（x+1）；
（2）解分式方程：﹣＝0．
【思路点拨】（1）利用整式混合运算法则计算即可；
（2）根据解分式方程的步骤解方程即可．
【规范解答】解：（1）原式＝4x3+2x﹣4x2（x+1）
＝4x3+2x﹣4x3﹣4x2
＝2x﹣4x2；
（2）原方程变形为：﹣＝0，
两边同乘x（x+1）（x﹣1），去分母得：5（x﹣1）﹣（x+1）＝0，
去括号得：5x﹣5﹣x﹣1＝0，
移项，合并同类项得：4x＝6，
系数化为1得：x＝，
检验：将x＝代入x（x+1）（x﹣1）中可得：×（+1）×（﹣1）＝≠0，
则原方程的解为：x＝．
【真题剖析】本题考查整式的混合运算及解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
17．（2023•浙江）小丁和小迪分别解方程﹣＝1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【思路点拨】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可．
【规范解答】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下：
﹣＝1，
两边同乘（x﹣2），去分母得：x+x﹣3＝x﹣2，
移项，合并同类项得：x＝1，
检验：将x＝1代入（x﹣2）中可得：1﹣2＝﹣1≠0，
则x＝1是分式方程的解，
故原分式方程的解是x＝1．
【真题剖析】本题考查解分式方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18．（2023•凉山州）解方程：＝．
【思路点拨】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【规范解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，
去括号得：x2﹣x＝2，
移项得：x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
将x＝2代入原方程，原方程左右相等，
∴x＝2是原方程的解．
将x＝﹣1代入，使分母为0，
∴x＝﹣1是原方程的增根，
∴原方程的解为：x＝2．
【真题剖析】本题主要考查了分式方程的解法，验根是常常遗漏的步骤，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
19．（2023•南通）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
信息二
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
【思路点拨】（1）利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出x的值；
（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工（22﹣m）天，根据22天完成的施工面积不少于15000m2，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，利用总费用＝3600×甲工程队施工时间+2200×乙工程队施工时间，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【规范解答】解：（1）根据题意得：＝，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意．
答：x的值为600；
（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工（22﹣m）天，
根据题意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，
解得：m≥6，
设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3600m+2200（22﹣m），
即w＝1400m+48400，
∵1400＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用．
【真题剖析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
20．（2023•威海）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．
【思路点拨】设大型客车的速度为x km/h，则小型客车的速度为1.2x km/h，根据时间差为12分钟列出方程．
【规范解答】解：设大型客车的速度为x km/h，则小型客车的速度为1.2x km/h，
根据题意得12分钟＝小时．
故列方程为：．
解得：x＝60．
经检验，x＝60是原方程的根．
答：大型客车的速度是60km/h．
【真题剖析】本题考查了分式方程的应用，正确地理解题意是解题的关键．
21．（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【思路点拨】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，可求出A款文化衫的单价；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于14800元且不少于14750元，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可得出w关于y的函数关系式，由（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同（即w的值与y值无关），利用一次函数的性质，可得出m﹣5＝0，解之即可得出m的值．
【规范解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得：，
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
【真题剖析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于y的函数关系式．
22．（2023•丹东）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了50%，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？
【思路点拨】设施工队原计划每天改造x米，根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务得：＝+2，解方程并检验可得答案．
【规范解答】解：设施工队原计划每天改造x米，
根据题意得：＝+2，
解得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
答：施工队原计划每天改造6米．
【真题剖析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出分式方程．
23．（2023•盐城）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
（1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
（2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买m本硬面笔记本（m为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
【思路点拨】（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，利用总价＝单价×数量，结合再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，可列出关于y，m的二元一次方程，结合且m，y均为正整数，即可求出结论．
【规范解答】解：（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意．
答：甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，
根据题意得：my＝（m+5）（y﹣3），
整理得：5y﹣3m＝15，
∴y＝m+3．
∵，且m，y均为正整数，
∴．
答：乙商店硬面笔记本的原价为18元．
【真题剖析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24．（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，
①求x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【思路点拨】（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出每台A种电器的进价，再将其代入（a﹣1）中即可求出每台B种电器的进价；
（2）①利用“计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍“列不等式组可得结论；
②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，分两种情况：当120≤x≤150时，当150＜x≤210时，分别表示w与x的关系式根据增减性可解答．
【规范解答】解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，
由题意得：＝×2，
解得：a＝10，
经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，
a﹣1＝9，
答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）①由题意得：，
解得：120≤x≤210，
∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；
②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，
当120≤x≤150时，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，
当150＜x≤210时，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，
∵3＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝210时，w有最大值是：3×210+3000＝3630，
∵3630＞3480，
∴w的最大值是3630，此时600﹣x＝600﹣210＝390，
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．
【真题剖析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
知识目标（新课程标准提炼）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）
考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）
重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）
►考向一 分式方程的解
►考向二 解分式方程
►考向三 分式方程的增根
►考向四 由实际问题抽象出分式方程
►考向五 分式方程的应用
最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的解法
1.解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
2.解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
分式方程的应用
主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，
如：工作时间＝ SKIPIF 1 < 0 ，时间＝ SKIPIF 1 < 0 等．
列分式方程解应用题的一般步骤
①设未知数；
②找等量关系；
③列分式方程；
④解分式方程；
⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；
⑥答．
解题技巧/易错易混/特别提醒
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
解题技巧/易错易混/特别提醒
解分式方程过程中，易错点有：
①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；
②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
解题技巧/易错易混/特别提醒
增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，
当然原分式方程就一定无解．
工程队
每天施工面积（单位：m2）
每天施工费用（单位：元）
甲
x+300
3600
乙
x
2200
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．