第27章 相似 人教版数学九年级下册综合素质评价试卷(含答案)

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第二十七章相似 综合素质评价一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1. 下列两个图形一定相似的是(　　)A．任意两个矩形 B．任意两个等腰三角形 　C．任意两个正方形 D．任意两个菱形2．如图，已知△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，则∠BAD的度数为(　　)A．36° B．117° C．143° D．153°3．如图，AD∥BE∥CF，点B，E分别在AC，DF上，AB＝2，DE＝BC＝3则EF的长为(　　)A．4 B．2 C.eq \f(7,2) D.eq \f(9,2)4．如图，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四边形BDEC＝1∶2，其中CB＝eq \r(2)，则DE的长为(　　)A.eq \r(6) B．2 eq \r(2) C．3 eq \r(2) D．65．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　) 　 6．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC，△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为(　　)A．(－1，0) B．(0，0) C．(0，1) D．(1，0)7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(－2，6)和(7，0)．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为(　　)A．2 B．3 C．4 D．58．如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是(　　)A.eq \f(1,r)＋eq \f(1,q)＝eq \f(1,p) B.eq \f(1,p)＋eq \f(1,r)＝eq \f(2,q) C.eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)＝eq \f(1,r) D.eq \f(1,q)＋eq \f(1,r)＝eq \f(2,p)9. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别在CD边和AD边上，BE⊥CF于点G，且G为CF的中点．若AB＝4，BC＝5，则CE的长为(　　)A.eq \f(3,2) B．2 C.eq \f(5,2) D．310．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连接AH，EH，FH.下列结论：①∠EFH＝45°；②△AHD≌△EHF；③∠AEF＋∠HAD＝45°；④若eq \f(BE,EC)＝2，则eq \f(S△BEG,S△GFH)＝8.其中结论正确的是(　　)A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③④二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11．如果eq \f(x,y)＝eq \f(2,5)，那么eq \f(y－x,y＋x)＝________.12．如图，AC与BD相交于点O，DC∥AB，若eq \f(BO,OD)＝eq \f(3,4)，CO＝8，则AC的长为________．13.如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是BC边上一点，BD＝1，点E在边AC上，∠ADE＝60°，则线段AE的长为________．14．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5 m有一棵树，小华站在离南岸20 m的点P处，在相邻两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾(假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平面内)．已知龙舟的长为18.5 m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为________m.15. 如图，点D在线段BC上移动(不含B点)，Rt△ABC∽Rt△ADE，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，若S△CDE＝3.6，则BD＝________．16．在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，0)，C(0，1)，在坐标轴上有一点P(不与点B重合)，它与A，C两点形成的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是__________________________．三、解答题(本大题共5小题，共66分)17．(10分)如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D，D′分别在边BC，B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若________，则△ABD∽△A′B′D′.请从①eq \f(BD,CD)＝eq \f(B′D′,C′D′)；②eq \f(AB,CD)＝eq \f(A′B′,C′D′)这2个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．18．(10分)如图，△ABC在方格纸(小正方形的边长均为1)中．(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(3，4)，点C的坐标为(7，3)，并写出点B的坐标；(2)以原点O为位似中心，相似比为2：1，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；(3)计算△A′B′C′的面积．19．(12分) 国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA，DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M.(1)求证：AE2＝EF·EM；(2)若AF＝1，求AE的长．20．(14分) 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E.(1)求证：△DBE∽△ABC；(2)若AF＝2，AC＝eq \r(5)，BC＝2 eq \r(5)，求ED的长．21．(20分)【问题提出】(1)如图①，点C是线段AB上的一点，AC：CB＝2：1.若AC＝4，则AB的长为________；【问题探究】(2)如图②，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点M，且AC⊥CD，eq \f(AB,AC)＝eq \f(3,4)，四边形ABCD的周长是32，求线段AM的长；【问题解决】(3)如图③是一个商场的平面示意图，由▱ABCD和△CDE组成，已知AB＝300 m，AD＝500 m，AC⊥DC，点A，D，E在同一条直线上．因AB边所临的街道人流量较大，现要在AB边上找一点F作为商场大门，为了美观，需使得∠CED＝∠CDF.设AE的长为x m，BF的长为y m.①求y关于x的函数关系式；(要求写出x的取值范围)②当BF：FA＝1：2时，求△CDE的面积．答案一、1.C　2.D　3.D　4.A　5.A　6.A　7.C　8.C 9．C　10.A二、11.eq \f(3,7)　12.14　13.eq \f(7,3)　14.108　15.3或516．(3，0)，(0，2)或(0，3)　点拨：如图，∵A(1，0)，B(2，0)，C(0，1)，∴OA＝OC＝1，OB＝2，∴AB＝OB－OA＝1，∴AC＝eq \r(2).当点P在x轴上，△PAC∽△CAB时， eq \f(AC,AB)＝eq \f(AP,AC)，∴eq \f(\r(2),1)＝eq \f(PA,\r(2))，∴PA＝2，∴OP＝3，∴P(3，0)．当点P′在y轴上，△P′CA∽△BAC时， eq \f(CA,AC)＝eq \f(P′C,BA)，∴eq \f(\r(2),\r(2))＝eq \f(P′C,1)，∴CP′＝1，∴OP′＝2，∴P′(0，2)．根据对称性可知，P(0，3)也符合题意．综上所述，满足条件的点P的坐标为(3，0)，(0，2)或(0，3)．三、17.解：①证明：∵△ACD∽△A′C′D′，∴∠ADC＝∠A′D′C′，eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(CD,C′D′)，∴∠ADB＝∠A′D′B′.∵eq \f(BD,CD)＝eq \f(B′D′,C′D′)，∴eq \f(CD,C′D′)＝eq \f(BD,B′D′)，∴eq \f(AD,A′D′)＝eq \f(BD,B′D′).∴△ABD∽△A′B′D′.18．解：(1)建立平面直角坐标系如图所示．点B的坐标为(3，2)．(2)如图所示，△A′B′C′即为所求．(3)△A′B′C′的面积为eq \f(1,2)×4×8＝16.19．(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴易得∠BAE＝∠AED＝108°，∴∠FAE＝180°－∠BAE＝72°，∠AEF＝180°－∠AED＝72°，∴∠F＝180°－∠FAE－∠AEF＝36°.∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠MAE＝eq \f(1,2)∠FAE＝36°，∴∠F＝∠MAE.∵∠AEM＝∠AEF，∴△AEM∽△FEA，∴eq \f(AE,FE)＝eq \f(EM,EA)，∴AE2＝EF·EM.(2)解：设AE＝x，由(1)可得∠F＝∠FAM＝36°，∠FAE＝∠AEF＝72°，∴FM＝AM，FA＝FE＝1.∵∠AME＝∠F＋∠FAM＝72°，∴∠AME＝∠AEF＝72°，∴AM＝AE，∴AM＝AE＝FM＝x，∴ME＝EF－FM＝1－x.∵AE2＝EF·EM，∴x2＝1·(1－x)，解得x＝eq \f(\r(5)－1,2)或x＝eq \f(－1－\r(5),2)(舍去)，∴AE的长为eq \f(\r(5)－1,2).20．(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BE⊥CD，∴∠DEB＝90°，∴∠ACB＝∠DEB.∵eq \o(BC,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))，∴∠CAB＝∠D，∴△DBE∽△ABC.(2)解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，则∠ACB＝∠AGC＝90°.∵∠A＝∠A，∴△ACG∽△ABC，∴eq \f(CG,BC)＝eq \f(AC,AB).∵AC＝eq \r(5)，BC＝2 eq \r(5)，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝5.∴eq \f(CG,2 \r(5))＝eq \f(\r(5),5)，∴CG＝2，∴AG＝eq \r(AC2－CG2)＝1.∵AF＝2，∴FG＝1＝AG，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA，∴∠BFD＝∠D，∴BD＝BF＝AB－AF＝5－2＝3.∵△DBE∽△ABC，∴eq \f(ED,CA)＝eq \f(BD,BA)，∴eq \f(ED,\r(5))＝eq \f(3,5)，∴ED＝eq \f(3 \r(5),5).21．解：(1)6(2)∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点M，∴AB＝CD，AD＝BC，AM＝CM.∵eq \f(AB,AC)＝eq \f(3,4)，∴可设AB＝CD＝3m，AC＝4m.∵AC⊥CD，∴AD＝eq \r(AC2＋CD2)＝5m.∵四边形ABCD的周长是32，∴2(AD＋CD)＝32，即2(5m＋3m)＝32，解得m＝2.∴AC＝4m＝8.∴AM＝eq \f(1,2)AC＝4.(3)①∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝300 m，AB∥DC.∴∠CDF＝∠DFA，∠CDE＝∠DAF.∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠DFA.∴△CDE∽△DAF.∴eq \f(CD,DA)＝eq \f(DE,AF)，即eq \f(300,500)＝eq \f(x－500,300－y)，整理，得y＝－eq \f(5,3)x＋eq \f(3 400,3).∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)x＋\f(3 400,3)≥0，,x－500＞0，))∴500＜x≤680.∴y关于x的函数关系式为y＝－eq \f(5,3)x＋eq \f(3 400,3)(500＜x≤680)．②∵BF：FA＝1：2，AB＝300 m，∴FA＝200 m.∵AC⊥CD，AD＝500 m，CD＝300 m，∴AC＝eq \r(AD2－CD2)＝400 m，eq \f(CD,DA)＝eq \f(3,5).∵△CDE∽△DAF，∴eq \f(S△CDE,S△DAF)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,DA)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,25).∵S△DAF＝eq \f(1,2)·AC·AF＝eq \f(1,2)×400×200＝40 000(m2)，∴S△CDE＝eq \f(9,25)×40 000＝14 400(m2)．