黄埔区2023学年八下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份黄埔区2023学年八下学期期中数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
下列二次根式是最简二次根式的是（）
45
10
2
3
0.2
A.B.C.D.
下列曲线中不．能．表示 y 是 x 的函数的是（）
A.B.C.D.
下列各组数据中的三个数作为三角形的边长．其中能构成直角三角形的是（）
2
5
2
3
A，2，B. 2，3，4C. 6，7，8D. 1，，
下列各式计算正确的是（）
2
3
5
3
3
A.B. 4 3 1
3
3
27
3
C. 2 3  2 4D. 3
下列说法错误的是（）
对角线相等的菱形是正方形
对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形
对角线相等的平行四边形是矩形
对角线垂直且相等的四边形是正方形
已知正比例函数 y  (2  m)x ，若 y 的值随 x 的增大而减小，则点(m  2, 2  m) 在（）
第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
如图，在ABC 中， AB  CB  13 ， BD  AC 于点 D，且 BD  12 ， AE  BC 于点 E，连接 DE ， 则 DE 的长为（）
57
A.B.
22
C. 5D. 6
如图，在矩形 ABCD 中， AB  1， AD  2 ，点 M 在边 BC 上，若 MA 平分DMB ，则CM 的长是
（）
2
5
3
A. 3B. 1C. 2D.
如图，Rt△ABC 中，B  90，AB  4，BC  8 ，将 Rt△ABC 折叠，使点 C 与 AB 的中点 D 重合， 折痕交 AC 于点 M，交 BC 于点 N，则线段 BN 的长为（）
715
A.B.
34
10
C. 4D.
3
如图所示，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=2，E，F 两点分别从 A，B 两点同时出发，以相同的速度分别向终点 B，C 移动，连接 EF，在移动的过程中，EF 的最小值为（）
2
A. 1B.
3
3
C.D.
2
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
6  3x
若代数式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．
在 y  k  2 x  k 2  4 中，若 y 是 x 的正比例函数，则 k 值为．
已知直角三角形斜边上的中线长为 6，斜边上的高线长为 4，则该三角形的面积为．
如图，有一块四边形花圃 ABCD ， AB = 3m，AD = 4m，BC =13m，DC =12m，A＝90  ，若在
这块花圃上种植花草，已知每种植1m2 需 50 元，则共需元．
如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AC  16 ， BD  12 ， DE  BC ，垂足为点 E．则 DE ．
如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上一点，且满足 BE  BC ，连接CE 并延长交 AD 于点 F ， 连接 AE ，过 B 点作 BG  AE 于点G ，延长 BG 交 AD 于点 H ．在下列结论中：① AH  DF ；
② AEF  45 ；③ S四边形EFHG  S DEF  S AGH ；④ △ AED ≌△CDE ．其中正确的结论有（填正确的序号）
三、解答题（共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
计算下列各式．
6
（1） 2
 12 
3  6；
2
5
（2） 
2  5 
2   3 
2 2 ．
18 已知 y 1与 x - 2 成正比例，且当 x  1 时， y=3 .
求 y 与 x 的函数关系式；
判断点1, 5 是否在该函数的图象上．
19. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形 OCED 是菱形．
4m2
20 已知 m  0  n ， P 
3n 
n ．
(n  m)2
化简 P ；
若点(m, n) 在一次函数 y  
3x 的图象上，求 P 的值．
如图，已知等腰 ABC 的底边 BC  25cm ，D 是腰 AB 上一点，连接CD ，且CD  24cm，BD  7cm．
求证： BDC 是直角三角形；
求 AB 的长．
城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由45降为30 ，
已知原滑滑梯的高 AC 长为 2 米，点 D，B，C 在同一水平地面上．求：
改善后滑滑梯加长多少米？
若滑滑梯的正前方有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有 4.5 米的空地，像这样的改造是否行？
请说明理由．
如图，在Y
ABCD 中， AB  AD ．
用尺规完成以下基本作图：在 AD 上截取 AE ，使 AE  AB ；作BCD 的平分线交 AD 于点 F．（保留
作图痕迹，不写作法）
在（1）所作的图形中，连接 BE 交CF 于点 G，证明： AF  DE ．
24.（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF =BE ，求证：CE=CF ．
如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，G 是 AD 上一点，如果GCE=45 ，求证：GE=BE  GD ．
运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图 3，在直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC （ BC  AD ）， B=90， AB=BC=12 ．E 是 AB 上一点，且DCE=45 ， BE=4 ，求直角梯形 ABCD 的面积．
25. 如图，在矩形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，点 E 是直线 AB 上一点，点 F 是直线 BC 上一点， 且EOF  90 ，连接 EF．
如图 1，若点 E 在 AB 中点处，且 AB  8, AD  6 ，求 EF 的长；
如图 2，若点 E 在 BA 的延长线上，其他条件不变，求证： EF 2  CF 2  AE 2 ；
如图 3，若点 E 在 AB 的延长线上，且 AE  AC,∠BAC  30, BC  1，请直接写出线段 EF 2 的值．
2022-2023 学年广东省广州市黄埔区八年级（下）期中数学试卷
一、单选题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
下列二次根式是最简二次根式的是（）
45
10
2
3
0.2
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
5
【分析】根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
45
【详解】解：A、
 3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
10
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
2
3
C、
6 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
3
0.2
1
5
D、
5 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
5
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
下列曲线中不．能．表示 y 是 x 的函数的是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 是自变量．再根据定义逐一判断即可得出结论．
【详解】解：若 y 是 x 的函数，那么当 x 取一个值时， y 有唯一的一个值与 x 对应，选项 A、B、D 都符合；
C 选项图象中，在 x 轴正半轴上取一点，即确定一个 x 的值，这个 x 对应图象上两个点，即一个 x 的值有两个 y 值与之对应，故此图象不是 y 与 x 的函数图象．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的概念，理解“对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应” 是解本题的关键．
下列各组数据中的三个数作为三角形的边长．其中能构成直角三角形的是（）
2
5
2
3
A.，2，B. 2，3，4C. 6，7，8D. 1，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A．
2 2  22  6 ， 
5 2  5 ，
 2 2  22   5 2 ，
不能构成直角三角形， 故 A 不符合题意；
B．22  32  13 ， 42  16 ，
 22  32  42 ，
不能构成直角三角形， 故 B 不符合题意；
C． 62  72  85 ， 82  64 ，
62  72  82 ，
不能构成直角三角形， 故 C 不符合题意；
D．
2 2 12  3 ， 
3 2  3 ，
 2 2  12   3 2 ，
能构成直角三角形， 故 D 符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
下列各式计算正确的是（）
2
3
5
3
3
A.B. 4 3 1
3
3
27
3
C. 2 3  2 4D. 3
【答案】D
【解析】
3
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
2
【详解】解：A、
，无法合并，故此选项错误；
3
3
B、 4 3
，故此选项错误；
3
3
C、 2 3  2
 12 ，故此选项错误；
27
3
D、 3 ，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
下列说法错误的是（）
对角线相等的菱形是正方形
对角线垂互相平分且垂直的四边形是菱形
对角线相等的平行四边形是矩形
对角线垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A．对角线相等的菱形是正方形，不符合题意； B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，符合题意； 故选：D．
【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的性质、平行四边形的判定，解题的关键是明确题意， 可以判断各个选项中的说法是否正确．
已知正比例函数 y  (2  m)x ，若 y 的值随 x 的增大而减小，则点(m  2, 2  m) 在（）
第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先根据正比例函数的性质确定， 2  m  0 ，从而得出 m  2  0 ，即可判断点(m  2, 2  m) 所在的象限．
【详解】解：∵正比例函数 y  2  m x ，y 随 x 的增大而减小，
∴ 2  m  0 ，
∴ m  2  0 ，
∴点(m  2, 2  m) 在第四象限，故 D 正确． 故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是根据正比例函数的性质，确定 2  m  0 ．
如图，在ABC 中， AB  CB  13 ， BD  AC 于点 D，且 BD  12 ， AE  BC 于点 E，连接 DE ， 则 DE 的长为（）
57
A.B.
22
C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
AB 2  BD 2
132  122
【分析】先求解 AD  CD  5 ，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得
答案.
【详解】解：∵ AB  CB  13， BD  AC 且 BD  12 ，
AB 2  BD 2
132  122
∴ AD  CD 
∵ AE  BC ，
∴ DE  1 AC  CD  5 ，
2
故选：C．
 5 ，
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记基本 图形的性质是解本题的关键.
如图，在矩形 ABCD 中， AB  1， AD  2 ，点 M 在边 BC 上，若 MA 平分DMB ，则CM 的长是
（）
2
5
3
A. 3B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形的性质得出CD  AB  1， AD∥ BC ， BC  AD  2 ， C  90 ，由平行线的性质得出DAM  AMB ，再由角平分线证出AMB  AMD ，又勾股定理求出CM 即可．
【详解】∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ CD  AB  1， AD ∥CB ， BC  AD  2 ， C  90 ，
∴ DAM  AMB ，
∵ MA 平分DMB ，
∴ AMB  AMD ，
∴ DAM  AMD ，
∴ DM  AD  2 ，
DM 2  DC2
22 12
3
∴ CM ．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等，熟练掌握矩形的性质是 解题的关键．
如图，Rt△ABC 中，B  90，AB  4，BC  8 ，将 Rt△ABC 折叠，使点 C 与 AB 的中点 D 重合，
折痕交 AC 于点 M，交 BC 于点 N，则线段 BN 的长为（）
715
A.B.
34
10
C. 4D.
3
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 BD  2 ， 由折叠的性质可得 DN  CN ， 则 BN  8  DN ， 利用勾股定理建立方程
DN 2  8  DN 2  4 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵D 是 AB 中点， AB  4 ，
∴ AD  BD  2 ，
∵将Rt△ABC 折叠，使点 C 与 AB 的中点 D 重合，
∴ DN  CN ，
∴ BN  BC  CN  8  DN ，
在Rt△DBN 中，由勾股定理得 DN 2  BN 2  DB2 ，
∴ DN 2  8  DN 2  4 ，
∴ DN  17 ，
4
∴ BN  BC  CN  15 ，
4
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．
如图所示，在菱形 ABCD 中，∠A=60°，AB=2，E，F 两点分别从 A，B 两点同时出发，以相同的速度分别向终点 B，C 移动，连接 EF，在移动的过程中，EF 的最小值为（）
2
A. 1B.
【答案】D
【解析】
3
3
C.D.
2
【详解】连接 DB，作 DH⊥AB于 H，如图，∵四边形 ABCD为菱形，∴AD=AB=BC=CD，而∠A=60°，∴△ABD
3
和△BCD都是等边三角形，∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，在 Rt△ABH中，AH=1，AD=2，∴DH=，在△ADE
 AD  BD

和△BDF中，A  FBD ，∴△ADE≌△BDF，∴∠2=∠1，DE=DF，∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°，

 AE  BF
3
∴△DEF为等边三角形，∴EF=DE，而当 E点运动到 H点时，DE的值最小，其最小值为，∴EF的最小值
3
为．故选 D．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
6  3x
若代数式
【答案】 x  2 ，
【解析】
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式再解答即可．
6  3x
【详解】解：∵
∴6-3x≥0，即 x  2 ． 故填 x  2 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式成为解答本题的关 键．
在 y  k  2 x  k 2  4 中，若 y 是 x 的正比例函数，则 k 值为．
【答案】 k  2
【解析】
【分析】根据正比例函数的定义： y  kx k  0 ，得到 k  2  0 且 k 2  4  0 即可求出 k 值．
【详解】解：依题意得，
k  2  0 且 k 2  4  0 ，
解 k  2  0 得 k  2 ，
解 k 2  4  0 得 k  2
 k  2
故答案为： k  2
【点睛】此题考查正比例函数的定义；熟记定义是解题的关键，主要是定义的理解，比较容易．
已知直角三角形斜边上的中线长为 6，斜边上的高线长为 4，则该三角形的面积为．
【答案】24
【解析】
【分析】根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，再利用三角形面积公式即可求 解．
【详解】解：∵直角三角形斜边的中线为 6，
∵直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，
∴该直角三角形的斜边长为6 2  12 ，
∵直角三角形斜边上的高线为 4，
∴直角三角形面积为： 1 12  4  24 ．
2
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的知识，掌握直角三角形中斜边上的 中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．
如图，有一块四边形花圃 ABCD ， AB = 3m，AD = 4m，BC =13m，DC =12m，A＝90  ，若在
这块花圃上种植花草，已知每种植1m2 需 50 元，则共需元．
【答案】1800
【解析】
【 分析】连接 BD ， 则在直角 △ABD 中， 已知 AD，AB 根据勾股定理可以计算 BD ， 又因为
BD2  CD2 =BC 2 ，所以△BCD 为直角三角形，四边形 ABCD 的面积为△ABD 和△BCD 面积之和．
【详解】解：连接 BD ，
在RtBAD 中， AB＝3m，AD＝4m ，
AB2  AC2
BD 
 5 （m），
32  42
在BDC 中，根据勾股定理得 BD2  DC 2 = BC 2 ，
∴ BDC=90
2
∴ BDC 的面积为 1  BD  CD=30 m2  ，
2
△ABD 的面积为 1  AB  AD=6 m2 ，
∴四边形面积 30  6  36 m2  ，
∴种植花草共需花费36 50 = 1800 元． 故答案为：1800．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理逆定理判定直角三角形的应用，本题 中判定△BCD 是直角三角形并计算其面积是解题的关键．
如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AC  16 ， BD  12 ， DE  BC ，垂足为
点 E．则 DE ．
48
【答案】
5
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出 AD  BC，AC  BD，AO  OC，DO  BO ，求出 AO 和 DO ，求出 AD， 根据菱形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD  BC，AC  BD，AO  OC，DO  BO ，
∵ AC  16，BD  12 ，
∴ AO  8，OD  6 ，
由勾股定理得， AD  10 ，
∴ BC  10 ，
∴ S菱形ABCD
 1 AC  BD  BC  DE ，
2
∴ 1 16 12  10DE ，
2
解得： DE =
48 ，
5
48
故答案为：．
5
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．
如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 BD 上一点，且满足 BE  BC ，连接CE 并延长交 AD 于点 F ， 连接 AE ，过 B 点作 BG  AE 于点G ，延长 BG 交 AD 于点 H ．在下列结论中：① AH  DF ；
② AEF  45 ；③ S四边形EFHG  S DEF  S AGH ；④ △ AED ≌△CDE ．其中正确的结论有（填正确的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】先由△AED ≌△CDE 判断④正确，得出DCE  DAE  ABH ，从而证明
△ABH ≌△CDF ，得出①正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出BEA  BEC  67.5即
可求出AEF  45 ，得出②正确；连接 FH ，判断 S△EFH
【详解】解：∵ BD 是正方形 ABCD 的对角线，
 S△EFD 得出③不正确．
∴ ABE  ADE  ADB  CDB  45 ， AB  BC  CD  AD ， 在V ADE 和CDE 中，
 AD  CD

∵ ADE  CDE ，

DE  DE
∴△AED ≌△CDE(SAS) ， 故④正确；
∴ DCE  DAE ，
∵ BG  AE ，
∴ DAE  AHB  90，
∵ ABH  AHB  90，
∴ ABH  DAE  DCE ， 在 ABH 和DCF 中，
ABH  DCF

∵  AB  CD，

BAH  CDF
∴△ABH ≌△CDF (ASA) ，
∴ AH  DF ， 故①正确；
∵ BE  BC ， AB  BC ，
∴ AB  BC  BE ，
∵ ABE  CDB  45，
∴ BAE  BEA  BEC  BCE  67.5 ，
∴ AEF  180  AEB  BEC  45 ， 故②正确；
连接 FH ，
∵ AB  BE ， BG  AE ，
∴ AG  GE ， BH 是线段 AE 的垂直平分线，
∴ AH  HE ， S△ AGH
∵ AH  DF ，
∴ HE  DF ，
∵ AD∥ BC ，
∴ DFE  BCE ，
 S△EGH ，
∵ BCE  BEC  DEF ，
∴ DFE  DEF ，
∴ DF  DE ，
∴ HE  DE ，
∴△HED 是等腰三角形，
∵ EF 不垂直 DH ，
∴ HF  DF ，
∴ S△EFH  S△EFD ，
∴ S四边形EFHG  S EFH  S EGH  S EFH  S EGH  S DEF  S AGH ，故③不正确；
故答案是①②④．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，属于填空压轴题，有一定难度，解题的关键是先判断出△AED ≌△CDE ，难
点是作出辅助线判断出 S△EFH
 S△EFD ．
三、解答题（共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
计算下列各式．
6
（1） 2
 12 
3  6；
2
5
（2） 
2  5 
2   3 
2 2 ．
6
【答案】（1）6（2） 2  2
【解析】
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算乘法和乘方，再合并同类二次根式即可．
2
【小问 1 详解】
6
2
2
12 
3  6
2
 6
 6 ．
 6  6
【小问 2 详解】
5
2 
2  5 
2   3 
2 2
  5 2  
2 2  
3 2  2 6  2 
6


 5  2  3  2 2
6
 2  2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和利用乘法公式是解题的关键．
已知 y 1与 x - 2 成正比例，且当 x  1 时， y=3 .
求 y 与 x 的函数关系式；
判断点1, 5 是否在该函数的图象上．
【答案】（1） y  2x  5
（2） 1, 5 不在该函数的图象上
【解析】
【分析】（1）根据 y 1与 x - 2 成正比例，设 y 1  k x  2  ，将 x  1 ， y=3 代入其中，解得 k 的值， 整理得到函数解析式．
（2）令 x=1 ，解得 y  7  5 ，故作出判断，点1, 5 不在该函数的图象上．
【小问 1 详解】
解：设 y 1  k x  2  ，将 x  1 ， y=3 代入其中， 得， 3 1  k 1 2  ，解得， k  2 ，
故有， y 1  2  x  2 ，整理得， y  2x  5 ．
【小问 2 详解】
解：令 x=1 ，将 x=1 代入 y  2x  5 中，
得 y  7  5 ，故点1, 5 不在该函数的图象上．
【点睛】本题考查了两个变量成正比例的概念，待定系数法求函数解析式，以及点在函数图象上所满足的 条件，准确理解上述概念是解题的关键．
如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形 OCED 是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形 OCED 是平行四边形，再根据矩形的性质可得 OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
【详解】证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形 OCED 是平行四边形．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OC=OD= 1 AC= 1 BD
22
∴四边形 OCED 是菱形．
(n  m)2
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键
4m2
20. 已知 m  0  n ， P 
3n 
n ．
化简 P ；
若点(m, n) 在一次函数 y  
3x 的图象上，求 P 的值．
【答案】（1） P  3m 3n
（2）0
【解析】
【分析】（1）先化简二次根式，再去绝对值，最后合并同类项即可；
（2）由一次函数图象上点的坐标特征可得 n  
3m ，结合（1）中结论计算即可求出答案．
【小问 1 详解】
∵ m  0  n ，
∴ 2m  0 ， 3n  0 ， n  m  0 ，
4m2
(n  m)2
∴ P 3n  n
 2m 3n  n  m  n
 2m  3n  m  n  n
 3m 
3n ；
【小问 2 详解】
∵点(m, n) 在一次函数 y  
3x 的图象上，
∴ n  
3m ，
∴ P  3m 
3n  3m 
3  
3m  3m  3m  0 ．
【点睛】本题主要考查了整式的化简和一次函数的知识，涉及二次根式的性质，绝对值的性质一次函数图 象上点的坐标特征等，属于基础题．
如图，已知等腰 ABC 的底边 BC  25cm ，D 是腰 AB 上一点，连接CD ，且CD  24cm，BD  7cm．
求证： BDC 是直角三角形；
求 AB 的长．
【答案】（1）见解析（2） 625 cm
14
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；
（2）设 AB  xcm ，根据等腰三角形的性质可得 AB  AC  xcm ，在直角三角形△ADC 中，由勾股定理可得 x 2   x  7 2  242 ，解方程即可得到答案．
【小问 1 详解】
证明：BC  25cm，CD  24cm，BD  7cm，
 BC 2  252  625 ， BD2  CD2  72  242  49  576  625 ， 即 BC 2  BD2  CD2
BDC 为直角三角形；
【小问 2 详解】
解：设 AB  xcm ，
ABC 是等腰三角形，
 AB  AC  xcm ．
BDC 为直角三角形，
ADC 为直角三角形，
 AD2  CD2  AC 2 ， 即 x 2   x  7 2  242 ，
解得： x  625 ，
14
故 AB 的长为： 625 cm ．
14
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练 掌握勾股定理的逆定理．
城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由45降为30 ，
已知原滑滑梯的高 AC 长为 2 米，点 D，B，C 在同一水平地面上．求：
改善后滑滑梯加长多少米？
若滑滑梯的正前方有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有 4.5 米的空地，像这样的改造是否行？请说明理由．
【答案】（1） 4  2 2  米
（2）可行，理由见详解
【解析】
【分析】（1）在直角三角形 ADC 内，根据D 的度数和 AC 的长，运用30 角求出 AD 的长，进而即可求解；
（2）本题实际要求的是 BD 的前方长是否超过 3 米，如果超过了那么这样修改滑板的坡度就可行，反之， 则不可行．
【小问 1 详解】
解：∵ AC  CD，D  30，AC  2 （米）．
在直角三角形 ADC 中， AD  2 AC  2 2  4 （米）．
AC 2  BC 2
2
在直角三角形 ABC 中， AB  2
2
∴ AD  AB  4  2
答：改善后滑滑梯加长4  2 2  米
【小问 2 详解】
在直角三角形 ADC 中， D  30，AC  2 ．
AD  2AC  4
AD2  AC 2
DC 
 2
（米）．
16  4
3
在直角三角形 ABC 中， ABC  45，AC  2 ．
∴ BC  2 （米）
3
∴ BD  CD  BC  2
 2 （米）．
3
那么预计滑板改善后前面留的空地的长度应该是 4.5  BD  4.5  2  2
 6.5  2
3 ．
3
因此，此方案是可行的．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，含 30°角的直角三角形的性质，利用这两个直角三角形有公共的直角边求解是解决此类题目的关键．
如图，在Y
ABCD 中， AB  AD ．
用尺规完成以下基本作图：在 AD 上截取 AE ，使 AE  AB ；作BCD 的平分线交 AD 于点 F．（保留作图痕迹，不写作法）
在（1）所作的图形中，连接 BE 交CF 于点 G，证明： AF  DE ．
【答案】（1）作图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用尺规作图画出图形，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可得 AD ∥ BC, AB  CD ，从而得到DFC  BCF ，再由CF 平分BCD ， 可得DFC  DCF ，从而得到 DF  DC ，进而得到 AE  DF ，即可．
【小问 1 详解】
解：如图所示，点 E、F 即为所求；
【小问 2 详解】
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC, AB  CD ，
∴ DFC  BCF ，
∵ CF 平分BCD ，
∴ BCF  DCF ，
∴ DFC  DCF ，
∴ DF  DC ， 又∵ AE  AB ，
∴ AE  DF ，即 AF  EF  DE  EF ，
∴ AF  DE ．
【点睛】本题主要考查了平四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握平四边形的性质，尺 规作图的作法是解题的关键．
24.（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF =BE ，求证：CE=CF ．
如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，G 是 AD 上一点，如果GCE=45 ，求证：GE=BE  GD ．
运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图 3，在直角梯形 ABCD 中， AD∥ BC （ BC  AD ）， B=90， AB=BC=12 ．E 是 AB 上一点，且DCE=45 ， BE=4 ，求直角梯形 ABCD 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）108
【解析】
【分析】（1）根据四边形 ABCD 是正方形，又 DF =BE ，证得△CBE  △CDF SAS ，即可得出结论．
利用正方形的性质和GCE=45 ，求出BCE  GCD=45 ，再根据△BEC≌△DFC ，得出
BCE =DCF ，然后证出GCE GCF (SAS) ，即可得出结论．
作出辅助线 DF，根据三角形面积公式列等式即可求出 DF 的长，再利用勾股定理解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图 1，
 四边形 ABCD 是正方形，
 BC=CD ， B=CDF =90 ， 又 DF =BE ，
 CBE CDF (SAS) ，
 CE =CF ．
（2）GCE  45 ，
 BCE  GCD=45 ，
 △BEC≌△DFC ，
 BCE =DCF ，
 DCF  GCD=45 ，即GCF =45，
 GCE=GCF ，且GC=GC ， CE=CF ，
 GCE GCF (SAS) ，
 GE=GF ，
 GE=GD  DF =BE  GD ．
（3）如图：过点 C 作CF  AD 于 F，
 AD∥ BC ， B=90，
 A=90 ，
 A=B=90 ， CF  AD ，
四边形 ABCF 是矩形，且 AB=BC=12 ，
四边形 ABCF 是正方形，
 AF =12 ．
由（2）可得 DE=DF  BE ，
 DE=4+DF ，
在V ADE 中， AE 2  DA2 =DE 2 ，
 12  42 （12  DF）2 =（4  DF）2 ，
 DF =6 ，
 AD=6 ，
 S
梯形BCD
= 1  AD  BC  AB  1 6 1212  108 ．
22
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明全等是解题的关键．
25. 如图，在矩形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，点 E 是直线 AB 上一点，点 F 是直线 BC 上一点， 且EOF  90 ，连接 EF．
如图 1，若点 E 在 AB 中点处，且 AB  8, AD  6 ，求 EF 的长；
如图 2，若点 E 在 BA 的延长线上，其他条件不变，求证： EF 2  CF 2  AE 2 ；
如图 3，若点 E 在 AB 的延长线上，且 AE  AC,∠BAC  30, BC  1，请直接写出线段 EF 2 的值．
【答案】（1）5（2）见详解
3
（3） 20  8
【解析】
【分析】（1）根据中位线的定义与性质，可证明OE ∥ BC ， OE  1 BC  3 ，再证明四边形OEBF 为矩
2
形，即有 BF  OE  3 ，在 Rt△BEF 中，由勾股定理计算 EF 的长即可；
延长 FO，与 AD 延长线交于点 M，连接 EM，首先证明AOM≌COF ，由全等三角形的性质可知
AM  CF ， OM  OF ，结合EOF  90 ，可得 OE 为 FM 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知 EF  EM ，在 RtEAM 中 EM 2  AM 2  AE 2 ，即可证明 EF 2  CF 2  AE 2 ；
延长 FO，交 DA 延长线于点 N，连接 EN，首先由矩形的性质以及含 30 度角的直角三角形的性质确定
3
3
AC  2BC  2 ，再利用勾股定理计算出 AB ，则 BE  AE  AB  2 ；证明ANO≌CFO，由全等三角形的性质可知 AN  CF ， ON  OF ，结合EOF  90 ，可得 OE 为 FN 的垂直平分线，根
据垂直平分线的性质可知 EF  EN ；设CF  x ，则 AN  CF  x, BF  1 x ，在 Rt△BEF 和 RtAEN
中，由勾股定理可得(2  3)2  (1 x)2 =x2  22 ，求解即可确定线段 EF 2 的值．
【小问 1 详解】
解：∵四边形 ABCD 为矩形，且 AB  8, AD  6 ，
∴Ð B = 90°， BC  AD  6 ，
∵点 E 为 AB 中点，
∴ BE  1 AB  1  8  4 ，
22
∵点 E 为 AB 中点，点 O 为 AC 中点，
∴ OE ∥ BC ， OE  1 BC  3 ，
2
∴∠OEB  180 ∠B  90， 又∵Ð B = 90°， EOF  90 ，
∴四边形OEBF 为矩形，
∴ BF  OE  3 ，
BE2  BF 2
∴在 Rt△BEF 中， EF 
 5 ；
42  32
【小问 2 详解】
证明：延长 FO，与 AD 延长线交于点 M，连接 EM，如下图，
∵点 O 为 AC 中点，
∴ OA  OC ，
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴ AD∥ BC ， BAD  90 ，
∴∠OAM ∠OCF ， 又∵∠AOM ∠COF ，
∴  AOM ≌COF ( ASA) ，
∴ AM  CF ， OM  OF ，
∵ EOF  90 ，即OE  OF ，
∴ EF  EM ，
∵ BAD  90 ，
∴∠EAM  180 ∠BAD  90，
∴在 RtEAM 中， EM 2  AM 2  AE 2 ，
∴ EF 2  CF 2  AE 2 ；
【小问 3 详解】
解：延长 FO，交 DA 延长线于点 N，连接 EN，如下图，
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴ ABC  90 ， AD∥ BC ，
∵ BAC  30, BC  1，
∴ AC  2BC  2 ，
AC 2  BC 2
22 12
3
∴ AE  AC  2, AB ，
3
∴ BE  AE  AB  2 ，
∵ AD∥ BC ，
∴∠ANO ∠CFO ，
∵点 O 为 AC 中点，
∴ OA  OC ，
又∵∠AON ∠COF ，
∴  ANO≌CFO( AAS ) ，
∴ AN  CF ， ON  OF ，
∵ EOF  90 ，即OE  OF ，
∴ EF  EN ，
设CF  x ，则 AN  CF  x, BF  BC  CF  1 x ，
则在 Rt△BEF 中， EF 2  BE 2  BF 2  (2  3)2  (1 x)2 ，
在 RtAEN 中， EN 2  AN 2  AE 2  x2  22 ，
∵ EF  EN ，
∴ EF 2  EN 2 ，即(2  3)2  (1 x)2 =x2  22 ，
3
解得 x  2 2 ，
3
3
∴ EF 2  EN 2  (2 2)2  22  20  8．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、含 30 度角的直角三角形的性质等知识，综合性强，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．