广东省广州市第六十五中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市第六十五中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（含答案），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程的根是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ）
A. B. C. D.
4. 一元二次方程根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根
5. 某商品原价200元，两次降价后售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，下列方程正确的（ ）
A. B.
C. D.
6. 抛物线不具有性质是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是y轴
C. 当时，y随x的增大而减小D. 函数有最小值
7. 已知点和在抛物线上，若，则与的大小关系（ ）
A. B. C. D. 无法确定
8. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是（ ）
A. ﹣3，2B. 3，﹣2C. 2，﹣3D. 2，3
9. 已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A. 10B. 8C. 8或10D. 6或10
10. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 设一元二次方程的两个实数根分别是和，则______，______．
12. 将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数解析式为_____．
13. 已知是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为______．
14. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，则实数a的取值范围是______．
15. 在一次聚会中，每两个参加聚会人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是______．
16. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是______．

三、解答题（共9道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
18. 关于x的一元二次方程的两个实数根为，．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
19. 已知二次函数．
（1）填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
（2）
由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______．
（3）利用图象写出当时，y的取值范围是______．
20. 某市2020年底已有绿化面积300亩，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363亩．
（1）求绿化面积年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计2023年底绿化面积是多少亩？
21. 已知关于x一元二次方程．
（1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论a为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
22. 某网店为满足航天爱好者的需求，推出“空间站”模型，已知该模型平均每天可售出20个，每个可以盈利40元，为了扩大销售，该网站准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，假设每个模型降价x元．
（1）每个模型可盈利______元，平均每天可售出______个（用含x的式子表示）．
（2）在每个模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
23. 如图，在中，，，．点、同时由、两点出发，分别以和的速度沿线段、匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动．

（1）设经过秒，用含t的代数式表示、．______、______．
（2）几秒后，的面积是面积的？
24. 如图，中，，，，且关于x的方程有两个相等的实数根．

（1）判断的形状．
（2）若平分，且，、为方程的两根，求k的值．
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
25. 如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．
（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；
（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
2023学年第一学期9月月评问卷
九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、，即未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2. 方程的根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可
【详解】∵，
∴或，
∴，，
故选：B
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键
3. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【详解】∵，
∴，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断根的情况：当时，方程有两个相等实数根；当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程无实数根；该一元二次方程，即有两个不相等实数根，可得答案B．
【详解】解： 一元二次方程 ，
∴判别式 ，
方程有两个不相等的实数根．
故选B
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判断方法是解题的关键．
5. 某商品原价200元，两次降价后售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，下列方程正确的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为162元”可得答案．
【详解】由题意得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
6. 抛物线不具有的性质是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是y轴
C. 当时，y随x的增大而减小D. 函数有最小值
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
【详解】解：A、∵，∴开口向下，故不符合题意；
B、抛物线，对称轴是y轴，故不符合题意；
C、时y随x增大而减小，故不符合题意；
D、顶点坐标，有最高点是原点，即有最大值，选项错误，符合题意．
故选：D．
7. 已知点和在抛物线上，若，则与的大小关系（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线的解析式可知对称轴为轴，，在对称轴的左侧，随的增大而增大．
【详解】解：由抛物线的解析式可知：
对称轴是直线，抛物线开口方向向下，
，
随的增大而增大．
．
故选：A．
8. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是（ ）
A. ﹣3，2B. 3，﹣2C. 2，﹣3D. 2，3
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，把 x1＝2，x2＝1 代入，即可求出p=-3，q=2.
【详解】解：由题意，得：x1+x2＝﹣p，x1x2＝q；
∴p＝﹣（x1+x2）＝﹣3，q＝x1x2＝2；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
9. 已知一个等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形的周长是（ ）
A. 10B. 8C. 8或10D. 6或10
【答案】A
【解析】
【分析】解方程求得的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可．
【详解】解：，
解得，
当腰是时，三边分别，，，不能组成三角形；
当腰是时，三边分为，，，能组成等腰三角形；
所以此等腰三角形的周长是．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解一元二次方程及三角形三边关系，分类讨论是解题的关键．
10. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
B、一次函数中，，二次函数中，，故选项符合题意；
C、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
D、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 设一元二次方程的两个实数根分别是和，则______，______．
【答案】 ①. 5 ②. 3
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是方程的两根时，则，，先根据一元二次方程的两个实数根分别是和，求出，，即可．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是和，
，；
故答案为：5,3．
12. 将抛物线向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数解析式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加3即可得新函数解析式．
【详解】解：∵向上平移3个单位长度，
∴新抛物线为．
故答案为∶
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13. 已知是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据方程的解的定义把代入一元二次方程，得到，然后将其整体代入所求的代数式进行求值．
【详解】解：是一元二次方程的一个实数根，
，
，
∴
故答案为：8．
14. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，则实数a的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，由关于的一元二次方程没有实数根，可得，再解不等式可得答案．
【详解】解： 关于的一元二次方程没有实数根，
∴， 即，
解得： ．
故答案为：．
15. 在一次聚会中，每两个参加聚会的人都互相握一次手，一共握手28次，问这次参加聚会的人数是多少？若设这次参加聚会的人数为x人，则可列出的方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用一元二次方程解决握手次数问题，每个人都要和他自己以外人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：×聚会人数×（聚会人数﹣1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
【详解】解：参加聚会的人数为x人，每个人都要握手次，根据题意得：
，
故答案为:．
16. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上点，连接，若，，，则周长的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，则的周长，故当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，证明是等边三角形，得到；过D作交直线于P，由平行四边形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，，即可得到点P与点B重合，则，由此即可得到答案．
【详解】解：作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，
由作图得：，，
∴的周长，
∴当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
过D作交直线于P，
∵四边形平行四边形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴点P与点B重合，
∴，
∴
∴的周长最小值为，

故答案为：．
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，平行四边形的性质，等腰三角形的性质的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
三、解答题（共9道题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）移项，提取公因式然后解方程；
（2）利用因式分解解方程
（3）提取公因式然后解方程；
（4）利用求根公式解方程．
【小问1详解】
解：移项得，
提取公因式得，
解得，；
【小问2详解】
因式分解得，
解得，；
【小问3详解】
提取公因式得，
解得，．
【小问4详解】
移项得：

，
，；
18. 关于x的一元二次方程的两个实数根为，．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个实数根，可知方程的判别式大于等于0，据此列不等式即可求解；
（2）根据根与系数的关系得出，代入中即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若，是方程的两个根，则有，，掌握该知识点是解答本题的关键．
【小问1详解】
解：∵方程有两个实数根，
∴，即
∴；
【小问2详解】
∵，，
由得，，
∴．
19. 已知二次函数．
（1）填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
（2）
由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______．
（3）利用图象写出当时，y的取值范围是______．
【答案】（1）见解析 （2）向下；y轴；；减小；
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的基础知识点，
（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可；
（2）观察函数图象求解即可；
（3）观察函数图象求解即可；
解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解．
小问1详解】
解：如下表所示：
函数图象如图所示：
【小问2详解】
根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小；
故答案为：向下；y轴；；减小；
【小问3详解】
有函数图象可得：当时，y的取值范围是，
故答案为：．
20. 某市2020年底已有绿化面积300亩，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，到2022年底增加到363亩．
（1）求绿化面积年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计2023年底绿化面积是多少亩？
【答案】（1）
（2）亩
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，为增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
（1）本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为，根据题意即可列出方程求解．
（2）增长后的量增长前的量增长率），根据题意即可求解．
【小问1详解】
解：设绿化面积的年平均增长率为，
根据题意即可列出方程．
解得：或（舍去），
答：绿化面积的年平均增长率为．
【小问2详解】
预计2023年底绿化面积是亩
答：预计2023年底绿化面积是亩
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程的一个根为3，求a的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论a为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）方程的另一根为；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，
（1）将方程的根代入可求得的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根；
（2）用表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论；
掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系及根与系数的关系是解题的关键．
【小问1详解】
解：将代入方程可得：
，
解得；
方程为，
设另一根为，则，
解得，即方程的另一根为；
【小问2详解】
证明：，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
22. 某网店为满足航天爱好者的需求，推出“空间站”模型，已知该模型平均每天可售出20个，每个可以盈利40元，为了扩大销售，该网站准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个，假设每个模型降价x元．
（1）每个模型可盈利______元，平均每天可售出______个（用含x的式子表示）．
（2）在每个模型盈利不少于25元前提下，要使模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【答案】（1）；
（2）每个模型应降价10元．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用利润每个的销售利润-降价的价格，利用平均每天的销售量每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量；
（2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设每个模型应降价元，
则每个模型可盈利元，平均每天可售出个；
故答案为：；
【小问2详解】
设每个模型应降价元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又每个模型盈利不少于25元，
．
答：每个模型应降价10元．
23. 如图，在中，，，．点、同时由、两点出发，分别以和的速度沿线段、匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动．

（1）设经过秒，用含t的代数式表示、．______、______．
（2）几秒后，的面积是面积的？
【答案】（1），
（2）或秒
【解析】
【分析】（1）根据路程速度时间，结合线段的和差关系即可求解；
（2）根据的面积是面积的，列出方程计算即可求解．
【小问1详解】
由题意可知
，
，
故答案为：，．
【小问2详解】
依题意有
，
解得：，．
故或秒后，的面积是面积的．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形面积的计算方法，找到等量关系式，列出方程求解即可，注意结合图形找到等量关系．
24. 如图，中，，，，且关于x方程有两个相等的实数根．

（1）判断的形状．
（2）若平分，且，、为方程的两根，求k的值．
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）是直角三角形
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据有两个相等的实数根可得即可得出结论；
（2）过D作的垂线，作的垂线，由定理得出可得，再由根与系数的关系即可得出结论；
（3）由（2）求出的长，再由勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的方程有两个相等的实数根
∴，
∴，即，
∴是直角三角形；
【小问2详解】
如图，过D作的垂线，作的垂线，

由（1）知，，
∵平分，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得
当时，原方程为，解得，即，
当时，原方程为，解得，不符合条件，
∴；
【小问3详解】
由（2）可得，
∴，，
∵，
∴
在中，，
∴，
解得,
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，根与系数的关系、勾股定理，角平分线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
25. 如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．
（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；
（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
【答案】(1)成立，证明见解析；（2）DF=DE．（3）当x=0时，y最小值=．
【解析】
【分析】（1）如图1，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（2）如图2，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（3）根据（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面积转化为：y=S△BEF+S△ABD．据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值．
【详解】（1）DF=DE．理由如下：
如图1，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．
∵在△ADF与△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（2）DF=DE．理由如下：
如图2，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠A=60°
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE．
∵在△ADF与△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴DF=DE；
（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．
依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．
即y=（x+1）2+．
∵＞0，
∴该抛物线的开口方向向上，
∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．
x
…
0
1
2
…
y
…
…
x
…
0
1
2
…
y
…
…
x
…
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
0
…