广东省广州市越秀区广州市第十六中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份广东省广州市越秀区广州市第十六中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（含答案），共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）
1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ）
A. 图象开口向下B. 图象的对称轴为直线
C. 当时y随x增大而减小D. 图象经过点
5. 如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角为( )度．

A. 30B. 40C. 45D. 50
6. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A. 0＜x＜0.5B. 0.5＜x＜1
C. 1＜x＜1.5D. 1.5＜x＜2
8. 二次函数的图象如图所示，则，，，，这四个式子中，值为正数的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9. 已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等实数根D. 没有实数根
10. 小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确是（ ）
A. 无论x取何实数，y的值都小于0
B. 该抛物线的顶点始终在直线上
C. 当时，y随x的增大而增大，则
D. 该抛物线上有两点，，若，，则
二、填空题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）
11. 今年“五一”假期国内旅游出行合计约人次，将用科学记数法表示为______人．
12. 点M(1，a)和点N（b，-2)关于原点对称，则（a+b）2020=__________．
13. 若关于x的一元二次方程的常数项等于0，则m的值为_____________.
14. 二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是_______．
15. 用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大称重量．
实验发现：木板承重指数与木板厚度(厘米)之间满足函数关系式为(k为常数)，当时，．选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗)．设薄板的厚度为(厘米)，，当_____________时，．

16. 如图，线段，点是线段上动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当最小时，_____________.

三、简答题（本大题共9题，满分72分）
17. 解方程：x2－2x－3＝0
18. 已知：如图，，，．求证：．

19. 如图，的顶点坐标分别为，，．

（1）画出绕点A逆时针旋转的；
（2）直接写出点，的坐标．
20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求m的值．
21. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少元？
22. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE度数；
(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.

23. 已知函数，图象与x轴交点为点A，B（点A在点B的左边），完成以下的探究
（1）画出这个二次函数的图象；

（2）若点C为函数图象上一点，且的面积为6，结合函数图象，求点C的坐标；
（3）当平面内直线与这个函数图象有三个公共点时，则 ．
24. 在中，，，点O为的中点，点D在直线上（不与点A，B重合），连接，线段绕点C逆时针旋转90°，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G．
（1）如图1，当点D与点O重合时，连接，若，则 ．

（2）如图2，当点D在线段上时，探究线段，与之间的数量关系，并证明；

（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，求出的值．

25. 已知关于x的二次函数(实数b，c为常数)．
（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
（2）若，，则该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的取值范围．
2023学年第一学期十六教育集团初三阶段一教学质量反馈
九年级数学（问卷）
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）
1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
2. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为：；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用算术平方根，幂的乘方，合并同类项以及负指数幂的法则分别计算即可判断．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根，幂的乘方，合并同类项以及负指数幂，解题的关键是掌握各自的运算法则．
4. 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ）
A. 图象开口向下B. 图象的对称轴为直线
C. 当时y随x增大而减小D. 图象经过点
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A． ∵，∴图象开口向上，故错误；
B、图象的对称轴为直线，故错误；
C、∵对称轴为直线，图象开口向上，∴时y随x增大而增大，故错误；
D、当时，，∴图象经过点，故正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
5. 如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角为( )度．

A. 30B. 40C. 45D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质可知：平行四边形全等于平行四边形，得出，由等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和计算旋转角即可．
【详解】∵平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，
∴，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形．
6. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年上学期平均每天书面作业时长=2022年上学期每天书面作业平均时长×（1﹣该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设根据题意得：．
故选：C．
7. 根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A. 0＜x＜0.5B. 0.5＜x＜1
C. 1＜x＜1.5D. 1.5＜x＜2
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
8. 二次函数的图象如图所示，则，，，，这四个式子中，值为正数的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，对、、的值进行判断．利用二次函数图象与轴的交点个数，对判别式进行判断，将特殊值代入解析式，对和进行判断即可．
【详解】解：（1），理由：
抛物线开口向上，，
抛物线交轴负半轴，，
又对称轴交轴的正半轴，，而，得，
；
（2），理由是：
抛物线与轴有两个交点，；
（3），理由：
由图象可知，当时，；而当时，．即；
（4），理由是：
由图象可知，当时，．
综上所述，，，，这四个式子中，值为正数的有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，同时结合了不等式的运算，此题是一道结论开放性题目，难度系数比较大．
9. 已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形三边关系得到，进而得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵分别是三角形的三边，
∴，即
∴
，
∴方程没有实数根，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根判别式和三角形三边的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
10. 小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A. 无论x取何实数，y的值都小于0
B. 该抛物线的顶点始终在直线上
C. 当时，y随x的增大而增大，则
D. 该抛物线上有两点，，若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．
【详解】解：A．，当时，，当时， ，故错误；
B．抛物线的顶点坐标为，当时，，故错误；
C．抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，，故正确；
D．抛物线上有两点，，若，，，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，，故错误．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）
11. 今年“五一”假期国内旅游出行合计约人次，将用科学记数法表示为______人．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 点M(1，a)和点N（b，-2)关于原点对称，则（a+b）2020=__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得、的值，进而得到答案．
【详解】∵点M(1，)、点N（，-2)关于原点对称，
∴，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
13. 若关于x的一元二次方程的常数项等于0，则m的值为_____________.
【答案】－3
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案．
【详解】根据一元二次方程的常数等于0，
得，且，
解得，且，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．即①含有一个未知数；②未知数的最高次数是2，且系数不等于0；③等式两边都是整式．
14. 二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据图像解答即可．
【详解】解：根据图像可知：
时的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关键，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
15. 用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大称重量．
实验发现：木板承重指数与木板厚度(厘米)之间满足函数关系式为(k为常数)，当时，．选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗)．设薄板的厚度为(厘米)，，当_____________时，．

【答案】2
【解析】
【分析】由木板承重指数与木板厚度x(厘米)的平方成正比，可设，将时，代入，得出与的函数关系式；设薄板的厚度为厘米，则厚板的厚度为厘米，化简即可得到与的函数关系式；根据，列出方程，求解即可．
【详解】∵木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，
∴设．
∵当时，，
∴，解得，
∴W与x的函数关系式为：；
设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为厘米，
∴，
即与x的函数关系式为；
∵，
∴，
解得：，
故为2时，．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，求出W与x的函数关系式是解题的关键．
16. 如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当最小时，_____________.

【答案】
【解析】
【分析】连接，证明为直角三角形，根据勾股定理列出，设，则，建立关于的二次函数关系式，求出时，最小，继而求值．
【详解】解：连接，则，
，
．
，
，
是直角三角形．
设，则，，，由勾股定理得：
．
当时，有最小值，且为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为的等腰三角形面积的计算，建立二次函数关系式是本题的突破口．
三、简答题（本大题共9题，满分72分）
17. 解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
18. 已知：如图，，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴
即
在与中
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19. 如图，的顶点坐标分别为，，．

（1）画出绕点A逆时针旋转的；
（2）直接写出点，的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）直接观察图形写坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求；
【小问2详解】
由图像可得：．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出各对应点的坐标是解题关键．
20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求解即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
即，
解得；
【小问2详解】
解：根据题意，得，，
∵，
∴，
解得，(舍去)．
故．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的概念，根的判别式，根与系数关系等知识，掌握以上知识是解题的关键．
21. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少元？
【答案】（1）；
（2）销售单价应定为或时，获得元的销售利润
【解析】
【分析】（1）设y（千克）与x（元/千克）之间的一次函数关系为，从表中选两组数据代入即可求一次函数的解析式；
（2）设某天的销售利润为w，由（1）可知，则：整理后令解方程即可．
【小问1详解】
解：设y（千克）与x（元/千克）之间的一次函数关系为：
，
依题意得：
，
解得：，
故解析式为：．
【小问2详解】
设某天的销售利润为w，
由（1）可知，则：
，
整理得：，
令，
即，
整理得，
解得：或，
答：销售单价应定为或时，获得元的销售利润．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
22. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.

【答案】（1）15°；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；
（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，
∵CA＝DA，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，
∴∠CDE＝75°−60°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴BC＝AC，
∴BF＝BC，
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，
∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，
∴BE＝AB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
易证得△AFD≌△CBA，
∴DF＝BA，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
23. 已知函数，图象与x轴交点为点A，B（点A在点B的左边），完成以下的探究
（1）画出这个二次函数的图象；

（2）若点C为函数图象上一点，且的面积为6，结合函数图象，求点C的坐标；
（3）当平面内的直线与这个函数图象有三个公共点时，则 ．
【答案】（1）见解析 （2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）列表，描点，连线即可；
（2）根据三角形面积公式以及的长度，求出高，即点C的纵坐标，再代入中求出相应横坐标即可；
（3）首先判断出过定点，画出相应图象，根据交点为3个找到准确位置求出相应k值即可．
【小问1详解】
解：列表：
如图所示：
【小问2详解】
∵，的面积为6，
∴，
则，
在中，令，
则，
解得：，
∴点C的坐标为或；
【小问3详解】
中，令，则，
即直线必定经过；
如图，直线和都经过，
其中直线与抛物线开口向下的部分只有一个交点，
则令，整理得：，
，
解得：；
直线经过点，故与的图象有三个公共点，
则，解得：；
如图，直线和也同样满足，
同理可得：或；

综上：k的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画函数图象，三角形的面积，二次函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是准确利用图象，根据数形结合的思想方法解决问题．
24. 在中，，，点O为的中点，点D在直线上（不与点A，B重合），连接，线段绕点C逆时针旋转90°，得到线段，过点B作直线，过点E作，垂足为点F，直线交直线于点G．
（1）如图1，当点D与点O重合时，连接，若，则 ．

（2）如图2，当点D在线段上时，探究线段，与之间的数量关系，并证明；

（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，求出的值．

【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由，得，根据线段绕点C逆时针旋转，得到线段，有，可得，从而，知是等腰直角三角形，，故，从而得解；
（2）由，O为的中点，得， ，证明，得，根据，即得；
（3）由，设，则，分两种情况：当D在线段上时，延长交于K，由，得，而四边形是矩形，有，，根据勾股定理可得，故， ，即得；当D在射线上时，延长交于T，同理可得．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵线段绕点C逆时针旋转90°，得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵直线，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案是：1；
【小问2详解】
，理由如下
证明：如图，

∵，O为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：由，设，则，
当D在线段上时，延长交于K，如图：

由（2）知，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴；
当D在射线上时，延长交于T，如图：

同理可得，
∴，
∵，
∴，
∵，O为AB的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
25. 已知关于x的二次函数(实数b，c为常数)．
（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
（2）若，，则该抛物线的顶点随着k的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将点代入二次函数的解析式可得的值，根据二次函数的对称轴可得的值，由此即可得；
（2）由，得出，从而得到顶点的横坐标为：，顶点的纵坐标为：，即，从而得到当时，顶点移动到最高处，此时抛物线的顶点坐标为 ；
（3）先根据可得，令，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得．
【小问1详解】
解：将点代入得：，
二次函数的对称轴为，
，解得，
则此二次函数的表达式为；
【小问2详解】
∵，
∴顶点的横坐标为：
顶点的纵坐标为：，即
∴当时，顶点移动到最高处，此时抛物线的顶点坐标为
【小问3详解】
由（1）可知，，
由得：，即，
令，
它的对称轴是直线，且开口向上，
∴在内，随的增大而增大，
要使得当时，总有即，则只需当时，即可，
因此有，
解得．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，化顶点式等知识，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c


1
3.5
7
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
x
…
…
y
…
…
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax2+bx+c


1
3.5
7
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
x
…
…
y
…
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
6
0
2
0
6
…