湖南省长沙市第二十一中学2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题

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一、单选题
1．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断零点所在的区间
【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择.
【详解】在上都是单调增函数，故y=f(x)在上是单调增函数；
又，，
，；
故的零点所在区间为.
故选：C.
2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是 ( )
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性
【详解】考点：函数单调性的判断与证明．
分析：根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+∞）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断．
解答：
∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），
∴函数在（0，+∞）上是减函数；
A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；
B、由于f（x）=（x-1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，
在（1，+∞）上是增函数，故B不对；
C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对；
D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（-1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对；
故选A．
点评：本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用．
3．已知a>0，b>0，a+2b=1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【分析】利用1的代换，结合基本不等式求取值范围.
【详解】因为a>0，b>0，a+2b=1，
所以
所以的取值范围是，
故选：B
【点睛】本题考查利用基本不等式求取值范围，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．实数满足：，则下列不等式不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据不等式的性质，可判断ABD的真假，对C，可以举反例说明其错误.
【详解】对A：因为，，所以，故A成立；
对B：因为，，所以，故B成立；
对C：令，，，，则满足，但，，所以不成立，即C不成立；
对D：因为，，所以，故D成立.
故选：C
5．已知命题，，则是（ ）
A．，B．，.
C．，D．，.
【答案】B
【难度】0.94
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得，
本题正确选项：
【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
6．已知集合，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】由交集定义直接求解可得.
【详解】由题可得.
故选：C．
二、多选题
7．有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（ ）
A．“”的充要条件是“"
B．“”的充要条件是“”
C．“”的必要不充分条件是“”
D．“”的充要条件是“”
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】子集的概念、集合新定义、判断命题的真假、交集的概念及运算
【分析】根据定义及集合间的关系，判断各项中条件间的推出关系，结合充分、必要性定义判断命题的真假.
【详解】由，则中元素个数为集合A，B的元素之和，即，充分性成立；
由，即中元素个数为集合A，B的元素之和，则，必要性成立，A对；
由，若，但不成立，必要性不成立，B错；
由，若，此时，故不是的必要条件，C错；
由，若，但不成立，D错.
故选：BCD
8．下列命题正确的是（ ）
A．B．，，使得ax＞2
C．ab=0是的充要条件D．a≥b＞－1，则
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、判断命题的真假
【分析】举出一例判断存在命题是否正确，判断A，举反例判断BC，由不等式的性质判断D．
【详解】对A，时，，A正确；
对B，时，对任意，，不成立，B错；
对C，时满足，但此时，C错；
对D，，则，，则，D正确．
故选：AD．
三、填空题
9．已知函数的图像恒过定点A，且点A在函数的图像上，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求幂函数的解析式、对数型函数图象过定点问题
【解析】根据对数函数的性质求出函数过定点坐标，再将点的坐标代入幂函数解析式求出参数的值即可；
【详解】解：因为函数，令，即，，故函数过定点，又在函数上，所以，解得
故答案为：
10．若“，使成立”为真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】m≤1
【难度】0.85
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数
【详解】，使为真命题
则
解得
则实数的取值范围为
11．已知，且.则 ， ．
【答案】 ； .
【难度】0.85
【知识点】对数的运算、指数幂的化简、求值
【分析】根据对数的运算性质分别求出和的值，再由根式和分数指数幂的运算性质即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
可得，
由，知，
所以.
所以，，
故答案为：；.
12．思考辨析
（1）所有的函数都有零点.( )
（2）若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)(x2，0).( )
（3）若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)