江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题

这是一份江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在下列图形中，可以由一个基本图形平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．计算x3•x3的结果是（ ）
A．2x3B．x6C．2x6D．x9
3．已知三角形的两边长分别是5和9，则这个三角形第三边长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．14
4．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3aB．a3⋅a2＝a6C．（a4）2＝a6D．a3+a4＝a7
5．如图，添加下列一个条件后，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCD
C．∠B+∠D＝180°D．∠1+∠3+∠D＝180°
6．习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步．”“学习强国”平台上线的某天，全国大约有1.263×108人在此平台上学习，用科学记数法表示的数1.263×108的原数为（ ）
A．126300000B．12630000
C．1263000000D．1263000
7．一把直尺和一个含30°角的三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若∠1＝28°，则∠2的度数是（ ）
A．62°B．56°C．45°D．28°
8．计算：＝（ ）
A．2x4y5B．﹣2x4y5C．2x3y6D．﹣2x3y5
9．三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2，它的一条高是3a，这条高对应的底边长是（ ）
A．8a2﹣4b+2aB．a2+2b﹣4aC．a2﹣2b+4aD．4a2﹣2b+a
10．若（x﹣1）（x+2）＝x2+ax+b，则a，b的值是（ ）
A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2
11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，则∠P＝（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
12．若 2024＝2nmk，其中 m、n、k均为正整数，则 m+n+k 的最大值与最小值的差是（ ）
A．1768B．455C．252D．757
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
13．（4分）a6÷a2＝ ．
14．（4分）如图，AB∥CD，BC∥ED，则∠D＝ 度．
15．（4分）流感是由于流行性感冒病毒引起的一种急性呼吸系统传染性疾病，流感病毒的最大直径是0.00000012米．数字0.00000012用科学记数法表示为 ．
16．（4分）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝ ．
17．（4分）已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 ．
18．（4分）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 ．
19．（4分）若2x﹣2＝a，则2x＝ （用含a的代数式表示）．
20．（4分）如图，△ABC中，∠CAB＝n°，点D是△ABC 三个内角平分线交点，延长DB到点G，若BE∥AC，则 ＝ ．
三、解答题（共8小题，共82分，解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明.）
21．（10分）计算：
（1）2﹣3×（42×8）；
（2）﹣12024﹣（π﹣3）0+2．
22．（10分）因式分解．
（1）（x+5）2﹣4；
（2）2x2y﹣8xy+8y．
23．（10分）先化简，再求值：
（2a+b）（﹣b+2a）﹣（2a﹣b）2，其中 a＝1，b＝﹣2．
24．（8分）如图，AB∥CD，∠A＝∠D．试判断AF与ED是否平行
25．（10分）如图：
（1）若正方形和三角形的面积相等，求出图中x的值；
（2）在（1）的条件下，若正方形和三角形的周长分别用 S1、S2 表示，则 S1 S1．（用＞、＝或＜填空）
26．（10分）（1）如图①，在线段CD上找点O，连结BO
（2）如图②，在线段GE上找点Q，连结HQ
（3）如图③，已知每个小正方形的边长为1个单位，线段 MN＝5，请直接写出PK＝ ．
27．（12分）阅读下列材料：
“a2≥0“这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．
例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1
∴x2+4x+5≥1
∴x2+4x+5 的最小值为1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知 m2﹣2m+n2+4n+5＝0 则 m+n＝ ；
（2）已知a，b，c是等腰△ABC 的三边长，且a2+b2＝6a+14b﹣58，求△ABC的周长；
（3）若 W＝x2+6xy+10y2﹣2x﹣10y+11 （x、y为实数），求W的最小值．
28．（12分）如图，△ABC中，∠B＝∠ACB，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角 （0°＜α＜70° ），与射线AB相交于点D，射线 CA'与射线AB相交于点E．
（1）若AB⊥CE，求∠α 的度数；
（2）设∠A′DB＝β，探究α、β之间的数量关系；
（3）若△A′DE 是等腰三角形，请直接写出∠α 的度数．
江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．在下列图形中，可以由一个基本图形平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平移的性质以及旋转的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．此图形可以利用平移得出；
B．此图形利用一个基本图形旋转可以得到，故本选项不合题意；
C．此图形利用一个基本图形旋转可以得到，故本选项不合题意；
D．此图形利用一个基本图形旋转可以得到，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质结合图案判断出构成过程是解决问题的关键．
2．计算x3•x3的结果是（ ）
A．2x3B．x6C．2x6D．x9
【分析】根据同底数幂的运算法则计算．
【解答】解：x3•x3＝x8，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键．
3．已知三角形的两边长分别是5和9，则这个三角形第三边长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．14
【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【解答】解：此三角形第三边的长为x，
9﹣5＜x＜3+5，即4＜x＜14，
只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a＝3aB．a3⋅a2＝a6C．（a4）2＝a6D．a3+a4＝a7
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方法则逐项分析即可．
【解答】解：A．a+2a＝3a，符合题意；
B．a5⋅a2＝a5，此选项错误，不符合题意；
C．（a5）2＝a8，此选项错误，不符合题意；
D．a7+a4≠a7，此选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握相应的法则．
5．如图，添加下列一个条件后，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCD
C．∠B+∠D＝180°D．∠1+∠3+∠D＝180°
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故A不符合题意；
由∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD，
故B不符合题意；
由∠B+∠D＝180°，不能判定AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠7+∠3+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6．习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步．”“学习强国”平台上线的某天，全国大约有1.263×108人在此平台上学习，用科学记数法表示的数1.263×108的原数为（ ）
A．126300000B．12630000
C．1263000000D．1263000
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可．
【解答】解：用科学记数法表示的数1.263×108的原数为126300000，
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法，熟知科学记数法的定义是解题的关键．
7．一把直尺和一个含30°角的三角板按如图方式叠合在一起（三角板的直角顶点在直尺的边上），若∠1＝28°，则∠2的度数是（ ）
A．62°B．56°C．45°D．28°
【分析】根据题意得：AB∥CD，∠4＝90°，根据平行线的性质可得∠2＝∠3，再由平角的定义，即可求解．
【解答】解：如图，
根据题意得：AB∥CD，∠4＝90°，
∴∠2＝∠3，∠1+∠3＝90°，
∵∠7＝28°，
∴∠2＝∠3＝90°﹣28°＝62°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．计算：＝（ ）
A．2x4y5B．﹣2x4y5C．2x3y6D．﹣2x3y5
【分析】单项式乘单项式，就是吧系数和相同字母分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式，由此计算即可．
【解答】解：＝﹣2x4y2，
故选：B．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
9．三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2，它的一条高是3a，这条高对应的底边长是（ ）
A．8a2﹣4b+2aB．a2+2b﹣4aC．a2﹣2b+4aD．4a2﹣2b+a
【分析】根据三角形的面积等于底乘高的一半，故底边长等于面积×2除以高，列式计算即可作答．
【解答】解：∵三角形的面积是12a3﹣6ab+4a2，它的一条高是3a，
∴这条高对应的底边长＝5×（12a3﹣6ab+3a2）÷3a＝8a2﹣4b+6a，
故选：A．
【点评】本题考查了整式的除法运算，解题的关键是正确运算．
10．若（x﹣1）（x+2）＝x2+ax+b，则a，b的值是（ ）
A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝2C．a＝1，b＝﹣2D．a＝﹣1，b＝﹣2
【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，得到a，b的值即可得到答案．
【解答】解：（x﹣1）（x+2）＝x4+x﹣2＝x2+ax+b，
∴a＝8，b＝﹣2
故选：C．
【点评】本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握相关运算．
11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，则∠P＝（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．
12．若 2024＝2nmk，其中 m、n、k均为正整数，则 m+n+k 的最大值与最小值的差是（ ）
A．1768B．455C．252D．757
【分析】将2024写成幂的乘积的形式后，求得m+n+k 的最大值与最小值即可得出结论．
【解答】解：∵2024＝23×2535，
∴此时m+n+k取得最小值为253+1+1＝257；
∵2024＝51×10121，
∴m+n+k取得最大值为7+1012+1＝1014，
∵1014﹣257＝757，
∴m+n+k 的最大值与最小值的差是757．
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
13．（4分）a6÷a2＝ a4 ．
【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．
【解答】解：a6÷a2＝a7．
故答案为：a4．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．
14．（4分）如图，AB∥CD，BC∥ED，则∠D＝ 100 度．
【分析】首先由AB∥CD得出∠BCD＝∠B＝80°，再由BC∥ED得出∠D+∠BCD＝180°，据此可得出此题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝80，
∴∠BCD＝∠B＝80°，
∵BC∥ED，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
15．（4分）流感是由于流行性感冒病毒引起的一种急性呼吸系统传染性疾病，流感病毒的最大直径是0.00000012米．数字0.00000012用科学记数法表示为 1.2×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数字0.00000012用科学记数法表示为1.2×10﹣7．
故答案为：1.8×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．（4分）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝ 2024 ．
【分析】将已知条件利用完全平方公式整理得（x﹣1）2＝3，将其代入（x﹣1）2+2021中计算即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣6＝0，
∴x2﹣3x+1﹣3＝6，
∴（x﹣1）2＝6，
∴（x﹣1）2+2021＝2+2021＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．
17．（4分）已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为 八 ．
【分析】根据多边形的外角和是360°求解即可．
【解答】解：∵360÷45＝8（边），
∴多边形的边数为八，
故答案为：八．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360°是解题的关键．
18．（4分）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．
【分析】依据题意，由a2﹣b2＝ac﹣bc得（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，再进行适当变形得（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，结合三角形两边之和大于第三边，有a+b＞c，从而可以得解．
【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝3．
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．
∵在△ABC中，a+b＞c，
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝3，即a＝b．
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
19．（4分）若2x﹣2＝a，则2x＝ 4a （用含a的代数式表示）．
【分析】根据同底数幂除法的逆运算即可进行解答．
【解答】解：∵2x﹣2＝5x÷22，2x﹣2＝a，
∴2x÷7＝a，
∴2x＝4a．
故答案为：8a．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法运算，能够灵活运用同底数幂的除法运算法则及其逆运算是解答问题的关键．
20．（4分）如图，△ABC中，∠CAB＝n°，点D是△ABC 三个内角平分线交点，延长DB到点G，若BE∥AC，则 ＝ 72° ．
【分析】先由三角形的外角定理得∠FCB＝∠CAB+∠CBA＝n°+m°，再根据角平分线的定义及邻补角的定义得∠CBE＝∠CBG＝90°﹣m°，然后根据BE∥AC得∠FCB+∠CBE＝180°，进而得4n+3m＝360°，由此可得值．
【解答】解：∵∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，
∴∠FCB＝∠CAB+∠CBA＝n°+m°，
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠CBA＝，
∴∠CBG＝180°﹣∠CBD＝180°﹣m°，
∵BG平分∠CBG，
∴∠CBE＝∠CBG＝90°﹣，
∵BE∥AC，
∴∠FCB+∠CBE＝180°，
即n°+m°+90°﹣m°＝180°，
整理得：4n+3m＝360°，
∴＝（6n+3m）＝．
故答案为：72°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角定理等，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键．
三、解答题（共8小题，共82分，解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明.）
21．（10分）计算：
（1）2﹣3×（42×8）；
（2）﹣12024﹣（π﹣3）0+2．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）2﹣3×（32×8）
＝×（16×8）
＝×16×8
＝16；
（2）﹣52024﹣（π﹣3）0+7
＝﹣1﹣1+3
＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（10分）因式分解．
（1）（x+5）2﹣4；
（2）2x2y﹣8xy+8y．
【分析】（1）利用平方差公式进行分解，即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）（x+5）2﹣5
＝（x+5+2）（x+4﹣2）
＝（x+7）（x+4）；
（2）2x2y﹣3xy+8y
＝2y（x3﹣4x+4）
＝4y（x﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
23．（10分）先化简，再求值：
（2a+b）（﹣b+2a）﹣（2a﹣b）2，其中 a＝1，b＝﹣2．
【分析】先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（2a+b）（﹣b+2a）﹣（7a﹣b）2
＝4a3﹣b2﹣（4a3﹣4ab+b2）
＝8a2﹣b2﹣3a2+4ab﹣b2
＝4ab﹣2b7，
当a＝1，b＝﹣2时5＝﹣8﹣2×3＝﹣8﹣8＝﹣16．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24．（8分）如图，AB∥CD，∠A＝∠D．试判断AF与ED是否平行
【分析】先根据两直线平行内错角相等，可得∠A＝∠AFC，然后由∠A＝∠D，根据等量代换可得：∠D＝∠AFC，然后根据同位角相等两直线平行，即可得到AF∥ED．
【解答】解：AF∥ED，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠AFC，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠AFC，
∴AF∥ED．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记内错角相等⇔两直线平行；同位角相等⇔两直线平行；同旁内角互补⇔两直线平行，是解题的关键．
25．（10分）如图：
（1）若正方形和三角形的面积相等，求出图中x的值；
（2）在（1）的条件下，若正方形和三角形的周长分别用 S1、S2 表示，则 S1 ＜ S1．（用＞、＝或＜填空）
【分析】（1）根据正方形和三角形的面积相等列出方程（x﹣3）2＝×2x（x﹣5），解此方程求出x即可；
（2）在（1）的条件下，x＝9，则正方形的周长S1＝24，AB＝18，根据三角形三边之间的关系得AC+BC＞AB，由此得S2＞36，据此即可得出答案．
【解答】解：（1）∵正方形和三角形的面积相等，
∴（x﹣3）2＝×2x（x﹣5），
解得：x＝9，
（2）∵在（1）的条件下，
∴x＝9，
∴正方形的周长S2＝4（x﹣3）＝24，
如下图所示：AB＝5x＝18，
 
∵AC+BC＞AB，
即AC+BC＞18，
∴AC+BC+AB＞36，
即S2＞36，
∴S1＜S7．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了正方形与三角形的面积，三角形三边之间的关系，熟练掌握正方形与三角形的面积公式，三角形三边之间的关系是解决问题的关键．
26．（10分）（1）如图①，在线段CD上找点O，连结BO
（2）如图②，在线段GE上找点Q，连结HQ
（3）如图③，已知每个小正方形的边长为1个单位，线段 MN＝5，请直接写出PK＝ 3 ．
【分析】（1）根据三角形的中线平分三角形的面积作图即可；
（2）连接HM交EG于点Q，证明△EFA≌△HMN（SAS），得∠EFG＝∠HMN，再证明∠EGM＝∠MHN，然后根据平行线的判定即可得出结论；
（3）根据面积法求出△PMN的面积，再由三角形面积公式求出PK的长即可．
【解答】解：（1）如图①，设AC的中点为R，
则点O为所求作的点．理由如下：
∵点R为AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△ABO和△CBO等底同高，
∴△ABO和△CBO的面积相等，
即BO平分△ABC的面积．
（2）如图②，连接HM交EG于点Q，
则点Q为所求的点．理由如下：
由图②可知，∠EFG＝∠EGM，
在△EFA和△HMN中，
，
∴△EFA≌△HMN（SAS），
∴∠EFG＝∠HMN，
∴∠EGM＝∠MHN，
∴HQ∥FE；
（3）如图③，∵S△PMN＝4×6﹣8×4÷2﹣3×3÷2﹣6×6÷2＝5.5，S△PMN＝MN•PK，
∴MN•PK＝2×7.7＝15，
∵MN＝5，
∴PK＝3．
故答案为：5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形面积等知识，正确作出图形是解题的关键．
27．（12分）阅读下列材料：
“a2≥0“这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．
例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+1≥1
∴x2+4x+5≥1
∴x2+4x+5 的最小值为1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知 m2﹣2m+n2+4n+5＝0 则 m+n＝ ﹣1 ；
（2）已知a，b，c是等腰△ABC 的三边长，且a2+b2＝6a+14b﹣58，求△ABC的周长；
（3）若 W＝x2+6xy+10y2﹣2x﹣10y+11 （x、y为实数），求W的最小值．
【分析】（1）依据题意，将m2﹣2m+n2+4n+5＝0 变形为 （m﹣1）2+（n+2）2＝0，进而可以判断得解；
（2）依据题意，将 a2+b2＝6a+14b﹣58变形为（a﹣3）2+（b﹣7）2＝0，进而可以求出a，b，然后进行分类讨论即可得解；
（3）依据题意，将W＝x2+6xy+10y2﹣2x﹣10y+11 变形为W＝（x+3y﹣1）2+（y﹣2）2+6，再结合（x+3y﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵m2﹣2m+n3+4n+5＝2，
∴m2﹣2m+8+n2+4n+7＝0，即 （m﹣1）7+（n+2）2＝3．
∴m﹣1＝0，n+2＝0．
∴m＝1，n＝﹣5．
∴m+n＝1﹣2＝﹣4．
故答案为：﹣1．
（2）由题意，∵a2+b6＝6a+14b﹣58，
∴a2﹣3a+9+b2﹣14b+49＝3．
∴（a﹣3）2+（b﹣2）2＝0．
∴a＝4，b＝7．
①当a＝c＝3，b＝5时，不合题意；
②当a＝3，b＝c＝7时，周长为：3+7+7＝17．
∴△ABC的周长为17．
（3）由题意，W＝x2+6xy+10y2﹣7x﹣10y+11
＝x2+2（7y﹣1）x+10y2﹣10y+11
＝x4+2（3y﹣2）x+10y2﹣10y+11
＝x2+2（3y﹣1）x+5y2﹣6y+5+y2﹣4y+10
＝（x+5y﹣1）2+（y﹣6）2+6．
又对于任意实数x，y有（x+8y﹣1）2≥3，（y﹣2）2≥8，
∴当x+3y﹣1＝2，y﹣2＝0时，y＝8时，最小值为6．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
28．（12分）如图，△ABC中，∠B＝∠ACB，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角 （0°＜α＜70° ），与射线AB相交于点D，射线 CA'与射线AB相交于点E．
（1）若AB⊥CE，求∠α 的度数；
（2）设∠A′DB＝β，探究α、β之间的数量关系；
（3）若△A′DE 是等腰三角形，请直接写出∠α 的度数．
【分析】（1）根据图形翻折的性质，结合三角形的内角和定理即可解决问题．
（2）根据点A′的位置，分类讨论即可解决问题．
（3）根据点A′的位置，画出示意图，分类讨论即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB⊥CE，
∴∠AEC＝90°．
又∵∠A＝40°，
∴∠ACE＝90°﹣40°＝50°．
由翻折可知，
∠ACE＝2∠α，
∴．
（2）当点A′在射线AB下方时，
∵∠A＝40°，∠ACD＝α，
∴∠CDE＝α+40°．
由折叠可知，
∠A′＝∠A＝40°，∠ADC＝∠A′DC，
又∵∠ADC＝180°﹣40°﹣α＝140°﹣α，∠A′DC＝α+40°+β，
∴140°﹣α＝α+40°+β．
即2α+β＝100°．
当点A′在射线AB上方时，
∵∠A＝40°，∠ACE＝2α，
∴∠CEA＝180°﹣40°﹣3α＝140°﹣2α，
又∵∠CA′D＝∠A＝40°，
∴∠CEA+∠A′DB＝∠CA′D，
即140°﹣2α+β＝40°，
∴6α﹣β＝100°．
综上所述，α、β之间的数量关系为：2α+β＝100°或2α﹣β＝100°．
（3）当点A′在射线AB下方时，
由（2）知，β＝100°﹣6α．
又∵∠DEA′＝2α+40°，
∴当∠DEA′＝∠A′时，
则2α+40°＝40°，
解得α＝3°（舍去）．
当∠DEA′＝∠EDA′时，
则2α+40°＝100°﹣2α，
解得α＝15°．
当∠EDA′＝∠A′时，
则100°﹣2α＝40°，
解得α＝30°．
当点A′在射线AB上方时，
∵∠CA′D＝∠A＝40°，
∴∠DA′E＝180°﹣40°＝140°．
故当△A′DE 是等腰三角形时，
只能∠A′DE＝∠A′ED，
∴2α﹣100°＝140°﹣2α，
解得α＝60°．
综上所述，当△A′DE 是等腰三角形．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，分类讨论数学思想的巧妙运用是解题的关键．