2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，6C．6，8，10D．4，6，7
5．（3分）如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（ ）
A．5mB．7mC．8mD．10m
6．（3分）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝115°，则∠1＝（ ）
A．115°B．65°C．55°D．45°
7．（3分）已知平行四边形ABCD的两对角线相交于点O，△AOB的面积是3，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．3B．6C．9D．12
8．（3分）已知，则xy的值为（ ）
A．3B．8C．24D．11
9．（3分）如图所示，一轮船以3海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以4海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．25海里B．10海里C．35海里D．40海里
10．（3分）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、10厘米，在长方体一底面的顶点A有一只蚂蚁，它想吃点B处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．13厘米B．厘米C．厘米D．厘米
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）比较大小，用“＞”或“＜”符号连接： ， ．
13．（4分）若，则（a+b）2＝ ．
14．（4分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，则AO的长是 ．
15．（4分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣2|+的结果为 ．
16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为 ．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC．
19．（6分）如图，在平行四边形AFCE中，D，B分别是EC，AF的中点．求证：BC＝AD．
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20．（7分）已知，，求下列各式的值．
（1）a2﹣b2；
（2）a2b﹣ab2．
21．（7分）如图：在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．
（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．（7分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．
五、解答题（三）（每小题9分，共27分）
23．（9分）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是：A（0，3），B（3，4），C（3，0）．
（1）在平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC；
（2）在y轴上找一点P，使的值最小，则PB+PC的最小值为 ，点P的坐标是 ．
（3）点F在y轴上，且△ABF的面积等于△ABC的面积，求点F的坐标．
24．（9分）阅读材料，解答下列问题：
①两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
将化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）请你写出的有理化因式： ．
（2）计算：．
（3）已知，求的值．
25．（9分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q，设点P的运动时间为t秒．
（1）BQ＝ （用含t的代数式表示）；
当t＝ 时，四边形ABQP是平行四边形．
（2）点P的运动过程中，当t为何值时，△APO是直角三边形？
（3）点P的运动过程中，当t为何值时，△APO是等腰三边形？
2023-2024学年广东省惠州市惠阳一中八年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二次根式，故本选项不符合题意；
B．是二次根式，故本选项不符合题意；
C．﹣3＜0，不是二次根式，故本选项符合题意；
D．是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的概念，形如（a≥0）的式子叫二次根式．
2．【分析】先化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、﹣符合最简二次根式的定义，正确；
B、被开方数中含有未开尽方的因数或因式，错误；
C、被开方数中含有分母，错误；
D、分母中含有被开方数，错误；
故选：A．
【点评】此题考查最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
3．【分析】分别根据同类二次根式的概念、二次根式的乘除运算法则计算可得．
【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；
C．×＝＝2，此选项符合题意；
D．÷2＝，此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
4．【分析】勾股数是指能构成直角三角形三边的一组正整数，由此逐项判断即可得出答案．
【解答】解：A、∵22+32≠42，∴2，3，4不是勾股数，故不符合题意；
B、∵32+42≠62，∴3，4，6不是勾股数，故不符合题意；
C、∵62+82＝102，∴6，8，10是勾股数，故符合题意；
D、∵42+62≠72，∴4，6，7不是勾股数，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的定义是解题的关键．
5．【分析】在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度．
【解答】解：如图；．
在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，
由勾股定理，得：AC＝＝5米，
∴AC+AB＝3+5＝8（米），即大树折断之前有8米高．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形ABC中运用勾股定理求出AC的长．
6．【分析】首先根据平行四边形的性质求出∠BCD＝∠A＝115°，然后利用邻补角互补求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝115°，
∴∠BCD＝∠A＝115°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝65°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
7．【分析】由平行四边形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，从而得出S△AOD＝S△AOB＝3，S▱ABCD＝2S△ABD，根据S△ABD＝S△AOB+S△AOD，计算即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∴S△AOD＝S△AOB＝3，S▱ABCD＝2S△ABD，
∴S△ABD＝S△AOB+S△AOD＝3+3＝6，
∴S▱ABCD＝2S△ABD＝2×6＝12，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键．
8．【分析】根据算术平方根的非负性得出x＝3，从而得出y＝8，代入xy进行计算即可得出答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x＝3，
∴y＝8，
∴xy＝3×8＝24，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
9．【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了6海里，8海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【解答】解：如图，设轮船向东北方向航行到B，向东南方向航行到C，
由题意得，AB＝3×2＝6海里，AC＝4×2＝8海里，∠BAC＝90°，
∴海里，
∴离开港口2小时后，则两船相距10海里，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．
10．【分析】首先把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可计算，此题展开图有三种，要分类讨论．
【解答】②解：第一种：由题意得展开图，如图①所示：
∵AD＝5+3＝8（cm），DB＝10（cm），
∴AB＝＝＝2（cm）；
第二种：如图②：
∵CB＝10+5＝15（cm），AC＝3cm，
∴AB＝＝（cm）；
第三种：如图③，
∵CB＝3+10＝13（cm），AC＝5cm，
∴AB＝＝（cm），
∵2＜＜，
∴蚂蚁爬行的最短路程是2cm．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．【分析】先把和，以及和平方，比较平方之后的数的大小，即可得出答案．
【解答】解：∵，，3＜5，
∴，
∵，，24＜27，
∴，
故答案为：＜，＜．
【点评】本题考查了二次根式的比较大小，熟练掌握无理数的估算是关键．
13．【分析】根据题意可知，据此即可求得答案．
【解答】解：根据题意可得
，
解得，
将代入（a+b）2，
得（a+b）2＝（﹣3+2）2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
14．【分析】由平行四边形的性质可得BC＝AD＝5，，再由勾股定理计算出AC的长度即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
15．【分析】根据a、b在数轴上所在的位置判断出其符号及绝对值的大小，再化简二次根式即可．
【解答】解：由图可得，
1＜a＜2，
则a﹣2＜0，a﹣1＞0，
化简|a﹣2|+＝2﹣a+a﹣1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了绝对值和二次根式的化简．我们知道，负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身；，．
16．【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．
【解答】解：AC＝＝＝，
则AM＝，
∵A点表示﹣1，
∴M点表示的数为：﹣1+．
故答案为：﹣1+．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再计算加减即可；
（2）根据二次根式的乘法法则计算即可得出答案．
【解答】解：（1）
＝3﹣2+1
＝2；
（2）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
18．【分析】根据题意可得．
【解答】解：如图，
根据勾股定理可得：．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握其运用．
19．【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AF＝CE，进而利用三角形中位线和平行四边形的判定解答即可．
【解答】证明：∵四边形AFCE是平行四边形，
∴AB∥CD，AF＝CE，
又∵D，B分别是EC，AF的中点，
∴，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20．【分析】（1）根据，，可以得到a+b和a﹣b的值，然后代入所求式子计算即可；
（2）根据，，可以得到ab和a﹣b的值，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）∵，，
∴a+b＝4，a﹣b＝﹣2，
a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝4×（﹣2）
＝﹣8；
（2））∵，，
∴ab＝1，a﹣b＝﹣2，
∴a2b﹣ab2
＝ab（a﹣b）
＝1×（﹣2）
＝﹣2．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．【分析】（1），可得AD2＝AC2+CD2，据此即可求得答案；
（2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD．
【解答】解：（1）△ACD为直角三角形，理由如下：
根据题意可得
．
在△ACD中
AD2＝AC2+CD2．
所以△ACD为直角三角形．
（2）．
【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
22．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DCO＝∠BAO，根据全等三角形的判定得出△DCO≌△BAO，根据全等三角形的性质得出DO＝BO，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BC，代入求出即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠BAO，
在△DCO和△BAO中
∴△DCO≌△BAO（ASA），
∴DO＝BO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，
又∵AO＝CO，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝10．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
五、解答题（三）（每小题9分，共27分）
23．【分析】（1）在平面直角坐标系中描出点A，B，C，依次连接各点即可；
（2）作点B关于y轴的对称点B′（﹣3，4），连接BB′，线段BB′与y轴的交点为点D，连接B′C，直线B′C与y轴的交点即为点P，根据勾股定理即可求得B′C的长度；可证得△DB′P∽△BB′C，则；
（3）根据即可求得答案．
【解答】解：（1）
（2）作点B关于y轴的对称点B′（﹣3，4），连接BB′，线段BB′与y轴的交点为点D，连接B′C，直线B′C与y轴的交点即为点P．
根据题意可知PB＝PB′，则PB+PC＝PB′+PC＝B′C．
．
所以，PB+PC的最小值为．
∵BC∥DP，
∴△DB′P∽△BB′C．
∴．
∴．
∴OP＝OD﹣DP＝2．
∴点P的坐标是（0，2）．
故答案为： （0，2），
（3）根据题意可知，则
，
解得AF＝4．
所以，点F的坐标为（0，7）或（0，﹣1）．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系、垂直平分线的性质、相似三角形的判定及性质、解直角三角形，能根据题意绘制辅助线是解题的关键．
24．【分析】（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；
（2）原式＝；
（3）根据，可先求得，再求．
【解答】解：（1）的有理化因式为
故答案为：；
（2）原式＝
＝
＝；
（3）
＝
＝
则
＝
＝
＝81，
因为，，
所以，．
【点评】本题主要考查二次根式的运算，能进行分母有理化是解题的关键．
25．【分析】（1）证得△APO≌△CQO，即可求得AP＝CQ＝t；
（2）分两种情况讨论：∠AOP＝90°和∠AOP＝90°，分别求解即可；
（3）分三种情况讨论：AP＝PO、AO＝OP和AP＝AO，分别求解即可．
【解答】解：（1）平行四边形ABCD中，BC∥AD，AO＝CO，
根据题意可知，，BC＝AD＝6，AP＝t．
∵BC∥AD，
∴∠PAO＝∠QCO＝30°．
在△APO和△CQO中，
，
∴△APO≌△CQO（ASA），
∴AP＝CQ＝t，
∴BQ＝BC﹣QC＝6﹣t，
∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴t＝6﹣t，
∴t＝3，
故答案为：（6﹣t）；3；
（2）若∠APO＝90°，则AP＝AO•cs∠PAO＝，即．
若∠AOP＝90°，则，即t＝3．
综上所述，或3．
（3）若AP＝PO，过点P作AO的垂线，交AO于点E．如图1，
根据题意可知，则，即．
若AO＝OP，过点O作AD的垂线，交AD于点F．如图2，
根据题意可知AF＝AO•cs∠PAO＝，则，即．
若AP＝AO，则，即．
综上所述，或或．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．