2023-2024学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．，，C．1，，2D．，，8
3．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≥2C．x≤2D．x≠﹣2
4．（3分）下列计算不正确的是（ ）
A．B．
C．D．+＝＝＝3
5．（3分）在下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形式菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．（3分）如图，平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为（ ）
A．60°B．120°C．72°D．36°
7．（3分）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米B．米C．2米D．4米
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
9．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A．2aB．2bC．﹣2bD．0
10．（3分）如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是（ ）m．
A．B．C．D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ）
A．一直增大B．一直减小
C．先减小后增大D．先增大后减少
12．（3分）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47B．62C．79D．98
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）若最简二次根式与能合并，则＝ ．
14．（3分）若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为 ．
15．（3分）如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，2）、C（0，3），在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：；
（2）．
18．（8分）一个三角形的三边长分别为，，．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长．
19．（8分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
21．（9分）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：
两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与．
（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．
化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：．
（2）请仿照上述方法化简：．
（3）比较与 的大小．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
（1）若∠EFG＝32°，求∠FEG的度数；
（2）求证：AF＝DE．
23．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．
24．（11分）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝2，则S△ABC＝ ．
2023-2024学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分）
1．【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．
【解答】解：A.＝，故不是最简二次根式，不符合题意；
B.＝，故不是最简二次根式，不符合题意；
C．﹣，是最简二次根式，符合题意；
D.＝2，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2＝c2时，则三角形为直角三角形．
【解答】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能组构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故符合题意；
D、（）2+（）2≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2＝c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
3．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
∴x的取值范围是：x≥2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．正确把握二次根式的定义是解题关键．
4．【分析】利用二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【解答】解：A．原式＝2，所以A选项不符合题意；
B．原式＝＝，所以B选项不符合题意；
C．原式＝，所以C选项不符合题意；
D． 与不能合并，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则解决问题的关键．
5．【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定一一判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，错误，比如等腰梯形的对角线相等，不是平行四边形，本选项不符合题意．
B、有一个角是直角的四边形是矩形，错误，应该是有三个角是直角的四边形是矩形，本选项不符合题意．
C、有一组邻边相等的平行四边形式菱形，正确，本选项符合题意．
D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误，应该是对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查行四边形，矩形，菱形，正方形的判定等知识，解题的关键是记住特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．
6．【分析】根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠B＝2∠A，
∴3∠A＝180°，
∴∠C＝∠A＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．【分析】作CF⊥AB，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度．
【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
8．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO的长，再利用勾股定理得出BO的长，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，
∴AO＝3，
则BO＝＝5，
∴BD＝2BO＝10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BO的长是解题关键．
9．【分析】利用数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，进而利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：由数轴可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a﹣b＞0，
则＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣（a﹣b）＝a+b﹣a+b＝2b，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．
10．【分析】将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定求解即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，如图所示，
，
∴AB＝20+2×2＝24（m），
∴最短路程是：（m），
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理解决最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
11．【分析】连接AP，先判断出四边形AFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝AP，再根据垂线段最短可得AP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
【解答】解：如图，连接AP．
∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．
12．【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．
【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．【分析】根据题意可得与是同类二次根式，并且被开方数相同，进而可得方程，再解即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣1＝x+3，
解得：x＝4，
∴＝＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
14．【分析】利用完全平方公式将原式进行变形，然后代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+1
＝（x﹣1）2+1，
当x＝+1时，
原式＝（+1﹣1）2+1
＝（）2+1
＝2+1
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题关键．
15．【分析】观察图形，阴影部分显然不规则，想想怎么将它们进行拼组，组成规则图形；首先结合矩形的性质可得OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，试着证明△AOE≌△COF，进而可得△AOE与△COF的面积相等；接下来即可将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF，则S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，
∴S△BCD＝BC•CD＝×3×2＝3，故S阴影＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．
16．【分析】需要分类讨论：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形．
【解答】解：①当AB为边且AB、AC为邻边时：如图1，
因为点A（﹣1，0）、B（2，2），
所以点A先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点B，
相应的点C先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点D，
∵C（0，3），
∴D（3，5）；
②当AB为边且AB、AD为邻边时：如图2，
因为点B（2，2）、C（0，3），
所以点B先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点C，
相应的点A先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点D，
∵A（﹣1，0），
∴D（﹣3，1）；
③当AB为对角线时：如图
因为点B（2，2）、C（0，3），
所以点C先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点B，
相应的点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点D，
∵A（﹣1，0），
∴D（1，﹣1）；
故答案为：（3，5），（﹣3，1），（1，﹣1）．
【点评】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先展开，再去括号合并同类二次根式．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+﹣3
＝﹣；
（2）原式＝3﹣1+2﹣（3﹣4+4）
＝3﹣1+2﹣3+4﹣4
＝6﹣5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
18．【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；
（2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的x的值即可解答本题．
【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长分别为，，，
∴这个三角形的周长是：
++
＝++
＝；
（2）当x＝20时，这个三角形的周长是：＝×10＝25（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则．
19．【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分两种情形①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2；②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2；分别列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）是．
理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，
∴AM2+NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
故点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，
①当MN为最长线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，
即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；
②当BN为最长线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．
即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．
综上所述BN的长为或．
【点评】本题参考勾股定理的逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
20．【分析】（1）连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，∠BAC＝∠ACB＝45°，然后利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠DAC＝90°，最后进行计算即可解答；
（2）根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵CD＝3，DA＝1，
∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAB的度数为135°；
（2）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
＝AB•BC+AD•AC
＝×2×2+×1×2
＝2+，
∴四边形ABCD的面积为2+．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．【分析】（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；
（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；
（3）分母有理化后再比较．
【解答】解：（1）+2与﹣2互为有理化因式，
故答案为：+2与﹣2（答案不唯一）；
（2）
＝
＝+；
（3）＝，＝，
∵＜，
∴＜．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．
22．【分析】（1）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到∠EGF＝90°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠FEG的度数；
（2）根据平行四边形的性质可得：AB＝CD，AD∥BC，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE＝∠AEB，推出AB＝AE，同理求出DF＝CD，即可证明AE＝DF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
又∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，
∴∠EGF＝90°，
又∵∠EFG＝32°，
∴∠FEG＝90°﹣32°＝58°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：DF＝CD，
∴AE＝DF，即AF+EF＝DE+EF，
∴AF＝DE．
【点评】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的判定等知识的运用，能综合运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键．
23．【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD；
（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．
又∵DE＝AC，
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，AO＝4．
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝4．
又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，
∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
24．【分析】（1）利用勾股定理即可得出结论；
（2）①根据SAS可证明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的长；
②方法一：连接PC、AQ交于点D，同①可证△PBC≌△ABQ，则AQ＝PC且AQ⊥PC，由MN＝2，可知AQ＝PC＝4．延长QB作AE⊥QE，求出BE的长，则答案可求出．
方法二：连接PC，AQ，PQ，延长PB使BH＝AB，由①得，△BPC≌△BAQ，证明△BQH≌△BCA（SAS），得出S△ABC＝S△PBQ＝S△QBH，则可得出答案．
【解答】解：（1）证明：如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①方法一：连接PC、AQ交于点D，如图2，
∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ（SAS），
∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，
∴PC⊥AQ，
利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5）2+（4）2＝32+PQ2；
∴PQ＝．
②连接PC、AQ交于点D，如图3，
同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，
∵M、N分别是AC、AP中点，
∴MN＝PC，
∵MN＝2，
∴AQ＝PC＝4．
延长QB作AE⊥QE，
则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，
∵EQ＝4+BE，
∴（4+BE）2﹣BE2＝23，
解得BE＝，
∴S△ABC＝×BC×BE＝＝．
方法二：
连接PC，AQ，PQ，延长PB使BH＝AB，
由①得，△BPC≌△BAQ，
∴PC＝AQ＝2MN＝4，PC⊥AQ，
∴∠PBM＝∠QBC＝90°，
∴∠PBQ+∠ABC＝180°，
即∠QBH＝∠CBA，
∵BQ＝BC，AB＝PB＝BH，
∴△BQH≌△BCA（SAS），
∴S△ABC＝S△PBQ＝S△QBH，
∴S△ABC＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．