2024年陕西省西安市高新一中博雅班中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省西安市高新一中博雅班中考数学模拟试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．3.1415926B．C．D．﹣2
2．（3分）如图是由一个正方体，截去了一部分后得到的几何体，则其左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）计算：＝（ ）
A．B．C．8a6b3D．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝7，，将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，若AB'平分∠BAC，则B'C的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣3，m）、点B（4，n）和点C（2，b+4），则m、n的大小关系为（ ）
A．m＜nB．m＝nC．m＞nD．无法确定
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，，点P是AD上的一个动点，过点P分别作AC、BD的垂线，垂足分别是E、F，若PE+PF＝2，则tan∠DOC的值为（ ）
A．2B．C．D．
7．（3分）如图，OC是⊙O的半径，弦AB垂直平分OC于点E，点D是优弧上一点，连接CD，若∠ABD＝75°，则∠OCD的大小为（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
8．（3分）在平面直角坐标系中，若二次函数y＝ax2+2ax+1（a≠0）的图象只经过三个象限，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的顶点在第二象限
B．a的值一定大于1
C．抛物线一定过点（2，1）
D．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）2024年3月12日的《政府工作报告》中指出，在过去的一年我国经济总体回升向好，其中2023年城镇新增就业1244万人，请将数字12440000用科学记数法表示为 ．
10．（3分）一个边长为2cm的正多边形，它的每一个内角都是外角的2倍，则这个正多边形的边心距是 cm．
11．（3分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣﹣﹣九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则图中x的值为 ．
12．（3分）如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，点B在x轴负半轴，点C在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上，对角线BD交y轴于点E，交AC于点F，反比例函数图象恰好经过点F，反比例函数的图象也恰好经过点D，若时，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，连接AC，点P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，若∠APB＝90°，∠1＝∠2，则△APC的面积为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式：，并写出它的最小正整数解．
16．（5分）化简：．
17．（5分）如图，在▱ABCD，AB＝3，AD＝5，BE平分∠ABC交AD于点E，请用尺规作图法在AD上确定一个点F，使得AF＝2FE．（保留痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，已在△ABC与△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，BD⊥AB，EC⊥AC，求证：AD＝AE．
19．（5分）春季来临某商场销售一种新款服装，销售一段时间后发现，若每件服装按标价的9折销售，卖出10件可以获利润120元；若每件服装不打折销售则可获利30元，请问该服装的进价和标价分别为多少．
20．（5分）在一个不透明的袋子里装有红、白、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余均相同），其中红球有2个，白球有2个，我们将“从袋中任意摸出一个小球，记录下颜色放回”称为一次实验，经过大量实验并整理实验数据后发现，任意摸出一个球是白色的频率稳定在．
（1）袋子中装有蓝色的小球的个数为 个．
（2）某校在3月5日开展了“学雷锋，践行动”主题校会，小明被“雷锋生平事迹”深深地打动着，他和好朋友决定用实际行动来发扬“雷锋精神”，他们计划去敬老院给老年人表演节目、打扫卫生等，为了确定表演节目和打扫卫生人选，小明用袋子中的小球设计一个“配紫色”游戏，具体操作如下：现在从袋子里一次取出两个小球并记下取出小球的颜色，若取出的两个小球颜色分别为蓝色和红色则配成紫色，否则不能配成紫色，如果配成紫色小明表演节目，否则小明打扫卫生，请用树状图或列表法求出小明表演节目的概率．
21．（6分）小明暑假来到了“十三朝古都西安”进行研学旅行，他参观了兵马俑、钟楼、明城墙，在参观中他对城墙的高度产生极大的兴趣，他想用学过的数学知识来测量城墙的高度，由于城墙的外侧有护城河，所以城墙的底部不可到达，于是他在护城河边的围栏点C处（在安全范围内）利用测倾器测量城墙上一点A的仰角为67.38°，在阳光的照射下，他发现城墙上点A的影子落在了他身后11米的点D处，于是他站在D点发现他的影子落在地上点E处，经过测量得知ED的长为2.4米，已知小明的身高为1.8米，E、D、C、B在一条直线上，且FD⊥ED，AB⊥BE，请你根据以上数据帮助小明算出城墙的高．（参考数据：sin67.38°≈，cs67.38°≈，tan67.38°≈）
22．（7分）小明在学习完物理中的“比热容和电功率”相关知识后，通过查阅资料了解到用额定功率为1000瓦的电水壶将1升的水加热至100摄氏度大约需要用6分钟．小明想知道烧水时间的长短和水温的变化之间是怎样的一种函数关系，用1000瓦的电水壶烧了1升的水，并详细记录了5分钟内4个时刻的水温情况，其中x表示的烧水时间（单位：分钟），y表示的是水的温度（单位：℃）
为了描述烧水时间和水温的关系，现有以下三种函数类型供选择：①y＝kx+b（k≠0）；②；③y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数类型，求出相应的函数表达式．
（2）汉中仙毫茶名满天下，尤其是“明前仙毫”更是风味独特，经了解用96摄氏度的水冲泡汉中仙毫能激发出最大的茶香气，请问小明用家里1000瓦的电水壶烧水多长时间冲泡茶，茶香最大．
23．（7分）2022年4月国家颁布了《义务教育劳动课程标准》，课程颁布两年以来各校开展了丰富多彩的劳动教育课，学生的劳动能力得到大幅提升．某校利用教学楼楼顶为学生开辟了“学生种植园”，春天来了，万物复苏，经过一个冬天的劳作种植园里硕果累累，小明想了解种植园中的小西红柿生长情况，于是随机采摘了16个小西红柿并称重，得到了如下的数据（单位：g）：18、16、17、21、25、28、21、18、17、15、16、21、21、18、25、23．
小明根据以上数据制作了统计表
（1）表格中的a＝ ；b＝ ；
（2）这16个小西红柿质量的中位数是 ；众数是 ；
（3）经了解当小西红柿的平均质量达到20g时就可以采摘食用，此时的口感和营养价值最佳，请问种植园里小西红柿是否符合采摘食用的要求．
24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD，过点A作CD的垂线交CD于点D，CE平分∠ACB交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠BAD．
（2）若，AD＝1，求AE的长．
25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求出抛物线L的解析式和顶点坐标．
（2）点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L′，则C关于直线PQ的对称点为C′，若△PCC′为等腰直角三角形，求出抛物线L′的解析式．
26．（10分）（1）如图①，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥DC于点F，若AE＝2，，，则AD的长为 ．
（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点P是矩形ABCD内部一点，且满足∠BPC＝90°，则点P到AD的最小距离为多少．
（3）如图③，小明家有一个边长为10米的正方形空地EFGH，点A为HE边上一点且AE＝4米，小明计划在EF边上任取一点B，以AB为边在AB上方修建一个面积为16平方米的矩形草莓种植大棚（即ABCD为矩形且面积为16平方米），同时计划利用△DHG区域种植葡萄，剩下区域栽种花卉和草坪，由于近几年葡萄的销量不好，所以小明计划在不减少草莓种植面积的条件下减少葡萄种植区域的面积，请你帮助小明计算出当葡萄种植区域面积最小时BE的长为多少．
2024年陕西省西安市高新一中博雅班中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【解答】解：A．3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002…（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数．
2．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意看得见的部分为实线，看不见的部分为虚线．
【解答】解：从左面看，是一个矩形，矩形内部有两条横向的虚线，
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解从不同方向看立体图形是解题的关键，另外要注意虚线和实线的使用区别．
3．【分析】根据幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂进行计算．
【解答】解：原式＝﹣23••
＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂，掌握幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂的运算法则是关键．
4．【分析】根据平移的性质可得：AB∥A′B′，从而可得∠BAC＝∠B′EC＝90°，∠BAB′＝∠AB′E，∠B＝∠A′B′C，进而可得tan∠EB′C＝tanB＝，然后在Rt△B′EC中，利用锐角三角函数的定义可设EC＝4x，则B′E＝3x，从而利用勾股定理可得B′C＝5x，再利用角平分线的定义和平行线的性质可得△AEB′是等腰三角形，从而可得AE＝EB′＝3x，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由平移得：AB∥A′B′，
∴∠BAC＝∠B′EC＝90°，∠BAB′＝∠AB′E，∠B＝∠A′B′C，
∵，
∴tan∠EB′C＝tanB＝，
在Rt△B′EC中，tan∠EB′C＝＝，
∴设EC＝4x，则B′E＝3x，
∴B′C＝＝＝5x，
∵AB′平分∠BAC，
∴∠BAB′＝∠B′AC，
∴∠AB′E＝∠B′AC，
∴AE＝EB′＝3x，
在Rt△ABC中，AB＝7，
∴tanB＝＝＝，
解得：x＝，
∴B′C＝5x＝，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，平移的性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．【分析】根据一次函数的性质，可以得到m、n的大小关系．
【解答】解：∵x＝0时，y＝b，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣3，m）、点B（4，n）和点C（2，b+4），
∴该函数图象y随x的增大而增大，
∵﹣3＜4，
∴m＜n，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6．【分析】连接PO，过D作DH⊥AC于H，由矩形的性质推出OA＝OD，由三角形面积公式得到AO•DH＝AO•PE+OD•PF，因此DH＝PE+PF＝2，由勾股定理求出AH＝＝4，得到OD+OH＝4，由勾股定理得到（4﹣OH）2＝OH2+22，求出OH＝，于是得到tan∠DOC＝＝．
【解答】解：连接PO，过D作DH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，DO＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵△OAD的面积＝△OPA的面积+△OPD的面积，
∴AO•DH＝AO•PE+OD•PF，
∴DH＝PE+PF＝2，
∵AD＝2，
∴AH＝＝4，
∴OA+OH＝4，
∴OD+OH＝4，
∵OD2＝OH2+DH2，
∴（4﹣OH）2＝OH2+22，
∴OH＝，
∴tan∠DOC＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，关键是由三角形的面积公式求出DH的长，由勾股定理求出OH的长．
7．【分析】连接BC，OB，由线段垂直平分线的性质推出BC＝OB，判定△OBC是等边三角形，得到∠BOC＝60°由圆周角定理得到∠D＝∠BOC＝30°，由三角形内角和定理得到∠DMB＝180°﹣30°﹣75°＝75°，由对顶角的性质得到∠CME＝∠DMB＝75°，由直角三角形的性质求出∠OCD＝90°﹣75°＝15°．
【解答】解：连接BC，OB，
∵AB垂直平分OC，
∴BC＝OB，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠D＝∠BOC＝30°，
∵∠B＝75°，
∴∠DMB＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠CME＝∠DMB＝75°，
∵∠CEM＝90°，
∴∠OCD＝90°﹣75°＝15°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，关键是由圆周角定理得∠D＝∠BOC＝30°．
8．【分析】依据题意，对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，又当x＝0时，y＝1，从而图象与y轴交于点（0，1），再根据对称性，故当x＝﹣1﹣1＝﹣2时，y＝1，即抛物线一定过点（﹣2，1），故可以判断C；又图象经过三个象限，进而a＞0，且Δ＝4a2﹣4a＞0，最后可得a＞1，顶点在第三象限，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故可判断A、D、B．
【解答】解：由题意，对称轴是直线x＝﹣＝﹣1．
∵当x＝0时，y＝1，
∴图象与y轴交于点（0，1）．
根据对称性，
∴当x＝﹣1﹣1＝﹣2时，y＝1，即抛物线一定过点（﹣2，1），故C错误．
又图象经过三个象限，
∴a＞0，且Δ＝4a2﹣4a＞0．
∴a＞1．
∴顶点在第三象限，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．
故A、D错误，B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：12440000＝1.244×107，
故答案为：1.244×107．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
10．【分析】根据正多边形内角与外角的关系求出正多边形的外角的度数，进而正多边形的边数，再根据正六边形的性质进行计算即可．
【解答】解：设这个正多边形的外角为x，则与它相邻的内角为2x，由题意得，
x+2x＝180，
解得x＝60，
360°÷60°＝6，
所以这个正多边形是正六边形，
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA、OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB＝，
∵OA＝OB＝2cm，OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠AOB＝30°，
在Rt△AOM中，OA＝2cm，∠AOM＝30°，
∴AM＝OA＝（cm），
即正六边形ABCDEF的边心距为cm．
故答案为：．
【点评】本题考查正多边形和圆，理解正多边形内角与外角的关系，掌握正六边形的性质是正确解答的关键．
11．【分析】设第三行第一列的数字为a，根据幻方中每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等分别表示出第二行第三列的数字、第二行第二列的数字，进而根据第三行数字之和等于第二行数字之和列出方程，即可求解．
【解答】解：设第三行第一列的数字为a，
则第三行数字之和为a+3，
由第三行数字之和等于第三列数字之和，得第二行第三列的数字为a+3﹣（﹣2）＝a+5，
由第三行数字之和等于对角线数字之和，得第二行第二列的数字为a+3﹣a﹣（﹣2）＝5，
由第三行数字之和等于第二行数字之和，得x+5+a+5＝a+3，解得x＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查列代数式、一元一次方程的应用，理解幻方的特征，以此列出方程求解是解题关键．
12．【分析】由设AD＝5m，则BO＝3m，即可得出D（5m，），B（﹣3m，0），根据菱形的性质点F是BD的中点，求得点F为F（m，），代入即可求得k的值．
【解答】解：菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵B、C在x轴上，点A在y轴正半轴上，
∴AD∥x轴，
∵，
∴设AD＝5m，则BO＝3m，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴D（5m，），
∵B（﹣3m，0），
∴对角线BD与AC的交点F（m，），
∵反比例函数图象恰好经过点F，
∴m•＝2，
∴k＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，正确表示出点F的坐标是解题的关键．
13．【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝∠ACB＝45°，推出∠BAP＝∠1，得到∠BAP＝∠2，求得∠BPC＝135°，根据旋转的性质得到PB＝BG，∠PBG＝90°，∠BAP＝∠BCP，求得∠BPG＝∠PGB＝45°，推出△PCG是等腰直角三角形，设BG＝PB＝x，得到PG＝x，根据勾股定理得到PB＝BG＝，PG＝PC＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠APB＝90°，
∴∠BAP+∠ABP＝∠ABP+∠1＝90°，
∴∠BAP＝∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAP＝∠2，
∵∠2+∠PCB＝45°，
∴∠1+∠PCB＝45°，
∴∠BPC＝135°，
把△ABP绕着点B顺时针旋转90°得到△CBG，连接PG，
∴PB＝BG，∠PBG＝90°，∠BAP＝∠BCP，
∴∠BPG＝∠PGB＝45°，
∴∠CPG＝90°，∠PCG＝∠PCB+∠BCG＝∠PCB+∠BAP＝∠PCB+∠2＝45°，
∴△PCG是等腰直角三角形，
设BG＝PB＝x，
∴PG＝x，
∴CG＝PG＝2x，
∴AP＝CG＝2x，
∵AP2+PB2＝AB2，
∴4x2+x2＝25，
∴x＝（负值舍去），
∴PB＝BG＝，PG＝PC＝，
∴△APC的面积＝S△ABC﹣S△APB﹣S△BCP＝S△ABC﹣S△PBC﹣S△CGB＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△CPG＝﹣﹣××＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．【分析】首先计算零指数幂、乘方、开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝﹣1×4﹣（6﹣4）+1
＝﹣4﹣6+4+1
＝﹣5．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
15．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：∵，
∴2（2﹣x）≤3（x﹣6）+6，
4﹣2x≤3x﹣18+6，
﹣2x﹣3x≤﹣18+6﹣4，
﹣5x≤﹣16，
则x≥，
∴不等式的最小整数解为4．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
16．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．【分析】连接AC，BD，相交于点O，连接EO并延长，交BC于点G，再根据作一个角等于已知角的方法作∠FGC＝∠ABC，与AD交于点F，结合平行四边形的判定与性质可知，点F即为所求．
【解答】解：如图，连接AC，BD，相交于点O，连接EO并延长，交BC于点G，再根据作一个角等于已知角的方法作∠FGC＝∠ABC，与AD交于点F，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝5，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠GBO，∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝2．
∵∠DOE＝∠BOG，
∴△DOE≌△BOG（ASA），
∴BG＝DE＝2．
由∠FGC＝∠ABC，可得AB∥FG，
∵AF∥BG，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∴AF＝BG＝2，
∴EF＝AE﹣AF＝1，
∴AF＝2FE．
则点F即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
18．【分析】根据等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，利用ASA证明△ABD与△ACE全等解答即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵BD⊥AB，EC⊥AC，
∴∠ABD＝∠ACE＝90°，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用ASA证明△ABD与△ACE全等解答．
19．【分析】设该服装每件的进价为x元，根据卖出10件可以获利润120元得：10[0.9（x+30）﹣x]＝120，即可解得答案．
【解答】解：设该服装每件的进价为x元，则标价为（x+30）元，
根据题意得：10[0.9（x+30）﹣x]＝120，
解得：x＝150，
∴x+30＝150+30＝180，
答：服装每件的进价为150元，标价为180元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
20．【分析】（1）设蓝色的小球的个数为x个，根据任意摸出一个球是白色的频率稳定在列方程即可得到结论；
（2）根据题意先画出树状图，得出一共有6种情况，两个小球的颜色恰好能配成紫色的有4种情况，即可求出甲获胜的概率；
【解答】解：（1）设蓝色的小球的个数为x个，
根据题意得，＝，
解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
答：袋子中装有蓝色的小球的个数为1个．
故答案为：1；
（2）画树状图为：
共有25种等可能的结果数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果数（即两次摸到的球的颜色为红色和蓝色的结果数）为4，
所以两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率＝，
答：小明表演节目的概率为．
【点评】此题考查的是利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．【分析】设AB＝x米，根据三角函数的定义得到BC＝＝＝米，求得BD＝BC+CD＝（11+）米，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：设AB＝x米，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝67.38°，
∴BC＝＝＝米，
∴BD＝BC+CD＝（11+）米，
由题意得，△EFD∽△DAB，
∴，
∴，
解得x＝12，
答：小河的宽度BC为12米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22．【分析】（1）根据表格数据，画出函数图象并求出函数解析式即可；
（2）令y＝96代入（1）中的解析式求出x值即可．
【解答】解：（1）作图如下：图象是一次函数，设一次函数解析式为y＝kx+b，
图象过（0，15），（1，30）代入解析式得：
，解得，
∴直线解析式为：y＝15x+15．
（2）令y＝96，则96＝15x+15，解得x＝7.4（分钟）．
答：小明用家里1000瓦的电水壶烧水7.4分钟时间冲泡茶，茶香最大．
【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．
23．【分析】（1）根据给出的数据直接得出a与b的值；
（2）根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（3）根据平均数的计算公式先算出这16个小西红柿的平均质量，再与要求进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据给出的数据可得：a＝4，b＝3；
故答案为：4，3；
（2）把这些书数从小到大排列，中位数是第8、9个数的平均数，
则＝18（个），
众数是21个；
故答案为：18，21；
（3）＝20（g），
∵小西红柿的平均质量达到20g时就可以采摘食用，
∴种植园里小西红柿符合采摘食用的要求．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
24．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠B＝∠OCB，得到∠ACD＝∠B，根据角平分线的定义得到结论；
（2）由（1）知，∠ACD＝∠B，等量代换得到∠E＝∠ACD，根据三角函数的定义得到tanE＝tan∠ACD＝＝，于是得到结论；
【解答】（1）证明：连接OC，AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BAC+∠B＝90°，
∵过点C作⊙O的切线CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACO+∠ACD＝90°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∴∠ACD＝∠B，
∵CD⊥ED，
∴∠D＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴AC平分∠BAD；
（2）解：由（1）知，∠ACD＝∠B，
∵∠E＝∠B，
∴∠E＝∠ACD，
∵，
∴tanE＝tan∠ACD＝＝，
∵AD＝1，
∴CD＝2，
∴DE＝4，
∴AE＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当△PCC′为等腰直角三角形时，则PN＝CN＝C′N，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）由抛物线的表达式知，其顶点为：（2，﹣1），
如下图，设CC′交PQ于点N，
若△PCC′为等腰直角三角形时，
则PN＝CN＝C′N，
设点P（x，x2﹣4x+3），
则x＝x2﹣4x+3﹣3，
解得：x＝0（舍去）或5，
即点P的横坐标为5，
而原抛物线的对称轴为直线x＝2，
则新抛物线的对称轴为直线x＝2+3+3＝8，
则新抛物线的顶点坐标为：（8，﹣1），
则抛物线L′的解析式为：y＝（x﹣8）2﹣1．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的对称、等腰直角三角形的性质等，综合性强，难度适中．
26．【分析】（1）利用勾股定理，平行四边形的性质和平行四边形的面积公式解答即可；
（2）取BC的中点E，连接EP，过点P作PD⊥AD于点F，过点E作EH⊥AD于点H，则EP+PF≥EH，当E，P，F三点在一条直线上时，PF取得最小值，利用矩形的判定与性质和直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可；
（3）过点D作DM⊥AH于点M，设AD＝x，AM＝y，利用相似三角形的判定与性质得到y与x的函数关系式，利用配方法和非负数的应用求得y的最大值；过点D作DN⊥HG于点N，延长ND，交EF于点K，利用矩形的判定与性质和题意，当NK取得最大值时，DN取最小值，即葡萄种植区域面积最小，从而得到x值，再利用BE＝4解答即可．
【解答】解：（1）∵AE⊥BC，AE＝2，，
∴AB＝＝．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝，AD＝BC．
∵，
∴S平行四边形ABCD＝CD•AF＝＝4．
∵S平行四边形ABCD＝CB•AE，
∴2CB＝4，
∴BC＝2．
∴AD＝BC＝2．
故答案为：2；
（2）取BC的中点E，连接EP，过点P作PD⊥AD于点F，过点E作EH⊥AD于点H，如图，
则PF为P到AD的距离．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵EH⊥AD，
∴四边形ABEH为矩形，
∴EH＝AB＝6，
∵∠BPC＝90°，E为BC的中点，
∴PE＝BC＝8＝4．
∵EP+PF≥EH，
∴PF≥EH﹣EP＝2，
∴当E，P，F三点在一条直线上时，PF取得最小值为2．
∴点P到AD的最小距离为2；
（3）过点D作DM⊥AH于点M，如图，
设AD＝x，AM＝y，
∵四边形ABCD为矩形且面积为16平方米，
∴AB＝．
∵AE＝4，∠E＝90°，
∴BE＝＝＝4．
∵∠DAM+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，
∴∠DAM＝∠ABE．
∵∠AMD＝∠E＝90°，
∴△ADM∽△BAE，
∴，
∴，
∴y＝＝，
∴当x2＝8时，即x＝2时，y取得最大值为＝2．
过点D作DN⊥HG于点N，延长ND，交EF于点K，
∵GH∥EF，
∴NK⊥EF，
∵∠E＝∠EHG＝90°，
∴四边形NHEK为矩形，
∴NK＝HE＝10（米），
同理：四边形DMHN为矩形，
∴DN＝HM．
∵减少葡萄种植区域的面积，
∴葡萄种植区域面积最小时，即△DHG的面积最小，
∵HG＝10米，
∴DN取最小值时，△DHG的面积最小．
∵DN+NK＝10，
∴当NK取得最大值时，DN取最小值．
由题意：当AM取得最大值时，NK取得最大值4+2＝6，此时x＝2．
∴BE＝4＝4×＝4×1＝4．
∴当葡萄种植区域面积最小时BE的长为4（米）．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的的性质，配方法，点到直线的距离，熟练掌握矩形的判定与性质和恰当的添加辅助线是解题的关键．
x
0
1
2
3
y
15
30
45
60
质量
15
16
17
18
21
23
25
28
次数
1
2
2
b
a
1
2
1