江苏省镇江市外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

这是一份江苏省镇江市外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)，共35页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学
试卷满分120分，考试时间100分钟．
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1．北京时间2023年12月27日14时50分，快舟一号甲运载火箭成功将天目一号气象星座19~22星发射升空！调查“天目一号”各零部件的质量，适合采用 ．（填“普查”或“抽样调查”）
2．在对某班同学的身高进行统计时，发现最高的为，最矮的为，若以为组距，则应分为 组．
3．在平行四边形中，， 则 °
4．“金山银山不如绿水青山”，我区在今年的3月 12日植树节配合打造全域旅游特色，在各镇大力开展植树活动，林业部门在两个月后统计所栽种树苗成活率，结果如表：
根据统计结果，栽种树苗的成活率可能为 （精确到0.1）
5．用反证法证明“已知，．求证：．”第一步应先假设 ．
6．在数字“3.141592653589”中 5出现的频数是 ．
7．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为 米．
8．如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点，若，则菱形的周长为 ．

9．如图，在矩形中，，，矩形绕点逆时针旋转一定角度得矩形， 若点的对应点 落在边上，则
10．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ．
11．在研究平面图形的面积时，我们经常用到割补法．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．下面举例说明：在《九章算术》中，三角形被称为圭田．圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高．刘徽注为：“半广者，以盈补虚，为直田也”，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中阴影部分的面积为2，那么图中原三角形的面积是 ．
12．如图， 在矩形中， ， 若四点分别在边上（含端点）， 且，则称菱形为矩形的内接菱形，若内接菱形的面积为，则的取值范围为 ．

二、选择题（共6小题，每题3分，共18分）
13．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
14．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币十次，正好有五次正面朝上
B．任意一个三角形的外角和是
C．汽车经过红绿灯路口时刚好遇上绿灯
D．一只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
15．在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是矩形，添加的条件不能是（ ）
A．B．C．D．
16．社会运转和日常生活离不开物流行业的发展，如图是年年我国物流总费用及占 比重变化情况统计图，根据统计信息，下列结论错误的是（ ）
年中国社会物流总费用及占比重统计图
A．年社会物流总费用占比重总体呈先下降后稳定的趋势
B．年社会物流总费用的波动比年社会物流总费用的波动大
C．年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是年
D．年我国除物流以外其他行业总费用占 比重增加
17．如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
18．如图，在四边形中，，连接， 过点D作分别交、于E、F， 若， 则的长为（ ）
A．2B．C．D．3
三、解答题（本大题共有8小题，共计78分）
19．镇江——有山有水有底蕴，无数文人墨客歌咏过的山水在这里汇合，它是一座美的让人吃醋的城市．2024年的清明小长假，镇江各景区迎来了一波客流小高峰．某校八年级数学兴趣小组就“最想去的镇江旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供六个具体选择：A：金山；B：焦山；C：圈山；D：西津渡；E：北固山；F：其他．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图．
(1)本次调查的样本容量为 ，并请你将条形统计图补充完整．
(2)扇形统计图中，景点 D所对应的圆心角的度数为 ．
(3)若八年级数学兴趣小组所在学校共有1200名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“西津渡”与“金山”的学生总人数．
20．如图， 在平行四边形的边、上分别截取、， 使得， 连接， 点M、N是线段上两点， 且， 连接、．
(1)求证：；
(2)若，， 求的度数．
21．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出绕点逆时针旋转的；
(2)作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标 ．
22．如图，菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，．
(1)求证： 四边形 是矩形；
(2)如果， 菱形的面积为，则 ．
23．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆．
(1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ；
(2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
24．如图， 在矩形中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①在上作一点 E， 使；
②若F是上一点， 将沿直线翻折得到． 请找出点F的位置，使得落在对角线上．
(2)在（1）的条件下，求出线段的长度．
(3)若将的面积记为， 的面积记为，则 ． （填“”或“=” ）
25．如图1， 在四边形 中， ，， 动点 P从B开始沿折线向D以/秒的速度运动，动点Q从D开始沿折线向B以/秒的速度运动，P、Q分别从B、D同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：
(1)①点A 到边的距离为 ；
②如图2， 当P运动到边上时， 线段的长度为 ； （用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形，请说明理由；
(3)小明同学思考后发现：按以上变化，四边形不可能为菱形，除非改变其中某个动点的速度．请探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使得四边形在某一时刻为菱形，求出此时点Q的速度．
26．【教材回顾】
（1）苏科版教材八下第九章《中心对称图形—平行四边形》习题中有这样的问题：如图1，的顶点 O在正方形两条对角线的交点处，， 将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，与具有怎样的数量关系?
爱思考的小歆和小涵同学分别探究出了如下两种解题思路：
小歆：考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，即可通过证明三角形全等得到与的数量关系．
小涵：利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了三角形全等，可以得到与的数量关系．
通过他们的思路点拨，你认为与的数量关系为 ，并请选择一种思路去证明；
【类比探究】
（2） 如图2， 若将（1） 中的“正方形”改为“的菱形”， 其他条件不变，当时，判断以下结论正确的有 （填写所有正确的结论序号），并选择一个正确的结论去证明．
①； ②；
③四边形的周长为定值； ④四边形的面积为定值．
【拓展应用】
（3） 如图3， 学校内有一块四边形的花圃， 满足， ，， 花圃内铺设了一条小路， 平分， 为方便学生赏花， 现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上．直接写出入口到点 A 的距离的长 ．

参考答案与解析
1．普查
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可．
【详解】解：调查“天目一号”各零部件的质量，涉及安全性，事关重大，适合采用普查，
故答案为：普查．
2．5
【分析】此题主要考查了频数分布表，首先计算极差，即计算最大值与最小值的差．再决定组距与组数．
首先计算出最大值和最小值的差，再利用极差除以组距即可．
【详解】解：，，
∴应分为5组，
故答案为：5．
3．
【分析】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
4．0.9
【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握知识点是解题的关键．
由表中数据，可知成活的频率稳定在0.9附近，得估计栽种树苗的成活率可能为0.9．
【详解】解：由表中数据，可知成活的频率稳定在0.9附近，
∴估计栽种树苗的成活率可能为0.9．
故答案为：0.9．
5．##
【分析】本题考查的是反证法的证明用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解： “已知，，．求证：”．第一步应先假设．
故答案为：．
6．3
【分析】本题考查频数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
利用频数是指变量值中代表某种特征的数（标志值）出现的次数求解．
【详解】解：∵在数字“3.141592653589”中，5出现了3次，
∴频数为3．
故答案为：3．
7．24
【分析】本题考查三角形中位线定理．由三角形中位线定理得到，据此求解即可．
【详解】解：∵D、E分别是、中点，
∴是的中位线，
∴，
∵米，
∴米，
∴A、B两点间的距离为24米．
故答案为：24．
8．24
【分析】由菱形的性质可得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴为直角三角形．
∵，且点E为的中点，
∴．
∴菱形的周长为：．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质求出菱形的一条边是关键．
9．
【分析】本题考查的知识点是矩形性质、旋转性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握旋转性质及勾股定理．
先根据旋转性质和矩形性质求出，再由勾股定理即可求出，最后由即可求解．
【详解】解：依题得：，
矩形中，，，且，
中，，
．
故答案为：．
10．22.5°##22.5度
【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC．
【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
∴∠BAC=45°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=67.5°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠EBC=22.5°，
故答案为：22.5°．
【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数．
11．8
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键．
根据“出入相补”原理判断，进而求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
由“出入相补”原理可知：，，
，，
∵，
∴，
故答案为：8．
12．
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，菱形面积的计算方法是解题的关键．
根据矩形的性质，菱形的性质，分类讨论：当点是矩形各边中点时；当点与点或点重合时；根据菱形的性质，菱形面积的计算方法即可求解．
【详解】解：如图所示，当点为矩形各边中点时，连接，

∵四边形是矩形，
∴，
根据中位线的性质可得，，，，，
∴四边形是菱形，即，
∵点是中点，
∴连接可得，四边形均为矩形，
∴，
∴菱形的面积为：；
如图所示，当与点或点重合时，过点作于点，则，

∵四边形为菱形，
∴，
设，则，
∴在中，，
即，
解得，，
∴，
∴菱形的面积为：；
∴的取值范围为：；
故答案为： ．
13．D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
14．B
【分析】本题考查了随机事件、必然事件和不可能事件．根据各自定义逐项判断即可．
【详解】解：A、抛掷一枚硬币十次，不一定正好有五次正面朝上，为随机事件，故不符合题意；
B、任意一个三角形的外角和都是，为必然事件，故符合题意；
C、汽车经过红绿灯路口时不一定刚好遇上绿灯，为随机事件，故不符合题意；
D、一只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片是不可能事件，故不符合题意；
故选：B．
15．A
【分析】由矩形的性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：，，
四边形是平行四边形，
A． 四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故该选项错误，符合题意；
B． 四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
C． 四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
D． 四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质，是解题的关键．
16．B
【分析】本题主要考查了折线统计图．根据折线统计图中的数据进行逐一判断即可．
【详解】解：由统计图可知比重总体呈先下降后稳定的趋势，故A的结论正确，不符合题意；
年社会物流总费用的波动范围为，年社会物流总费用的波动范围为，故年社会物流总费用的波动比年社会物流总费用的波动小，故B的结论错误，符合题意；
年社会物流总费用逐年增加，其中增加的幅度最大的一年是年，故C的结论正确，不符合题意；
年我国除物流以外其他行业总费用占GDP比重增加，故D的结论正确，不符合题意；
故选：B．
17．C
【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质是解题的关键．连接，证明四边形是矩形得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，，
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
18．C
【分析】连接交于点O，证明为等边三角形，则设，则，由 ，则在中，，得到，最后对运用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接交于点O，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴设，则，
而，
∴，
∵，
∴
∴在中，，
∴，解得：，
∴，
在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理 ，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
19．(1)60，补全条形统计图见详解
(2)
(3)600
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得这次调查一共抽取的学生人数，求出选择的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比，即可得旅游地点所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜爱“西津渡”与“金山”学生人数所占的百分比的和，即可得出答案．
【详解】（1）解：这次调查一共抽取了（名）同学，
选择的人数为（人．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：60．
（2）解：扇形统计图中，旅游地点所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：．
（3）解：（名），
估计该校“西津渡”与“金山”的学生总人数约为600名．
20．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质证得是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可得，从而证得，即可得出结论；
（2）由（1）可得，从而可得，利用三角形外角的性质求得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见详解
(2)作图见详解，
【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称变换、解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）作出、、的对应点、、即可；
（2）作出、、的对应点、、即可，再根据关于原点成中心对称的点额坐标特征即可求出的坐标．
【详解】（1）解：（1）如图，为所作；
（2）解：如图，为所作，
∵点，而点与点C关于原点成中心对称，∴，
故答案为：．
22．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和矩形的判定解答，同时根据菱形的面积和直角三角形的性质分析．
（1）根据菱形的性质得出，，再根据矩形的判定证明即可．
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，得出的长度，再根据含直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵，，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
．
，
，
四边形是矩形．
（2）解：连接交于点，设，
∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
即，
解得：或舍去，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：
23．(1)
(2)
【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）把其中3个扇形标A即可．
【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同，
∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是；
（2）∵每个展馆都有被选中的机会，
∴先将每个展馆都填在一个区域内，
又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，
∴剩下的两个区域都填上即可，
如图所示：
指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
24．(1)①作图见详解；②作图见详解
(2)
(3)>
【分析】（1）①以A为圆心，为半径作弧与相交，点E即为所求；
②作的角平分线与相交，交点即为点；
（2）先求，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程即可；
（2）分别计算，，比较大小即可．
【详解】（1）解：①如图，点E即为所求
②如图，点F即为所求，
（2）解：∵矩形，
∴
由翻折得，设，则，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴．
（3）解：由题意得：，则，
∴，
∴，
而，
∵，
∴，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
25．(1)①4；②
(2)
(3)
【分析】（1）过点A、D作于点E、F，证明，再对运用勾股定理求解；
（2）因为，当时，四边形是平行四边形，从而得出，从而求得的值；
（3）当时，四边形是菱形，中，，求出t，再求出，即可求解．
【详解】（1）解：①过点A、D作于点E、F，

∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴点A 到边的距离为，
故答案为：4．
②；
（2）解：当四边形是平行四边形时，，而，
∴，解得，
∴时，四边形是平行四边形．
（3）解：过点B作于点G，
由，得，
∵，
∴，
∴，
当时，四边形是菱形，
，
在中，，解得，
则，，
∴，
∴，
当点速度为时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定，菱形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
26．（1）；（2）①④；（3）
【分析】（1）根据四边形是正方形，，可证，故；
（2）将绕点O逆时针旋转交于点G，则，证明，则，，故①符合题意；
而，故②不符合题意；
而，点G为中点，故面积不变，故④符合题意；而，由于点E是动点，∴是变量，故周长不是定值，故③不符合题意；
（3）连接，在上截取，使，连接，可证，，，四点共圆，是等边三角形，故，，而，，有是等边三角形，即可证明，故，，在 中可得，从而．
【详解】解：（1）如图：
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）正确的有①④，
将绕点O逆时针旋转交于点G，则，如图：
四边形是菱形，，
，，而，
∴，
∴为等边三角形，∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，故①符合题意；
∴，故②不符合题意；
而，点G为中点，故面积不变，故④符合题意；
而，由于点E是动点，∴是变量，故周长不是定值，故③不符合题意，
故答案为：①④．
（3）连接，在上截取，使，连接，如图：
，平分，
，
，，
，
，，，四点共圆，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及正方形的性质，菱形的性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
栽种的棵树a
200
500
700
1000
1200
成活的棵树b
182
448
638
895
1084
成活的频率b
0.910
0.896
0.912
0.895
0.903