湖北省武汉市2023-2024学年六年级（上）期末数学试卷

这是一份湖北省武汉市2023-2024学年六年级（上）期末数学试卷，共62页。试卷主要包含了直接写出得数，解下列方程，计算下面各题，填空，判断，选择，观察操作，解决问题等内容，欢迎下载使用。
1．口算：
二、解下列方程。
2．解方程。
三、计算下面各题。
3．计算。
四、填空。
4．＝ ：40＝56÷ ＝ %。
5．一个数由3个1和4个组成，这个数是 ，它的倒数是 ．
6．
7．如果a×0.8＝b÷＝c：＝d×90%（a、b、c、d均不为0），那么，a、b、c、d四个数中，最大的是 ，最小的是 。
8．180km的20%是 km，45kg是 kg的。
9．已知a和b互为倒数，则把化成最简单的整数比是 ，比值是 。
10．两个圆的周长比是4：7，那么这两个圆的直径比是 ，面积比是 。
11．如果a＝b（a、b不为0），则a比b多，b比a少 %。
12．（2024•重庆）现有含盐率为3%的盐水500克，为了制成含盐率为4%的盐水，需要蒸发 克水．
13．如图，等边三角形的边长是20cm，阴影部分的面积是 cm2。
14．甲、乙两人分别从A、B两点出发，沿着圆弧分别走到点C、D处（如图），两人走过的路程相差 m。
五、判断。
15．圆心角是36°的扇形面积是所在圆面积的10%。
16．（2013春•灵璧县校级月考）分针与时针的速度比是60：1． ．
17．比的前项和后项都是真分数，则比值一定大于前项。
18．扇形统计图不能比较数量的多少。
六、选择。
19．如图是小宏同学把一张纸通过折一折、涂一涂得到的结果，并准备把折纸过程用算式表示出来。下面四种算式中，不能表示折纸过程的是（ ）
A．B．C．D．
20．下面的四幅扇形统计图中，有一幅图的扇形与标注的数据不符合。数、形不符合的图是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．在a克糖水中有b克糖。如果再加入b克糖，则糖水的含糖率是（ ）。
A．B．C．D．
22．爷爷和奶奶在圆形街心花园散步，爷爷走一圈需要6分钟，奶奶走一圈需要8分钟。如果两人同时同地出发，无论同向而行还是相背而行，走3分钟时两人的相对位置都可以用图（ ）表示。
A．B．C．D．
23．如图四幅图中涂色部分都是扇形，它们的半径都相等。比较每幅图中涂色部分的总面积，则（ ）
A．四幅图的涂色部分总面积都相等。
B．四幅图的涂色部分总面积都不相等。
C．只有图1和图4涂色部分总面积相等。
D．涂色部分总面积大小无法确定。
24．两枚全等的硬币分别放置在一个细铁丝圆圈外部及内部，细铁丝圆圈的直径是每个硬币直径的2倍（如图）。每枚硬币都分别沿着铁丝顺时针滚动，但不允许滑动，直到它们都回到原来所在的位置为止。则在外部的硬币转动的圈数与在内部的硬币转动的圈数比是（ ）
A．1：1B．2：1C．3：1D．4：1
七、观察操作。
25．某小学对六年级全体学生的血型进行了统计，并根据统计数据制作了条形统计图和扇形统计图。
（1）学校六年级共有学生 人。
（2）把条形统计图和扇形统计图补充完整。
（3）AB型血人数是B型血人数的 %，O型血人数比A型血人数多。
（4）表示B型的扇形圆心角的度数是 。
26．小博假日去动物园游玩，如图是动物园平面图。
（1）猴山在大门 偏北 °方向上。
（2）大门在鹿园 偏 °方向上。
（3）小博用30m/分的速度从大门走到鹿园，用了10分钟。则图中的x＝ 。
（4）大象馆在大门西偏南30°方向200m处、熊山在大门东偏南50°方向450m处。请在平面图上标出这两处位置。
27．如图是个正方形，请按要求作图并回答问题。
（1）在正方形中找出一个点为圆心，画一个圆，使正方形成为该圆中最大的正方形。
（2）如果该圆的半径是1cm，那么正方形的面积是 cm2。
（3）圆的面积比正方形面积多 %。
（4）如果在该圆中画一个圆心角是72°的扇形，则扇形的周长是 cm。
28．元旦庆祝会上，同学们进行用火柴棒摆“小金鱼”游戏，示意图如图。按照这样的规律继续摆下去，摆5条“小金鱼”图案需用 根火柴棒；用50根火柴棒可以 条“小金鱼”；摆n条“小金鱼”需用 根火柴棒。
29．如图这个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，请计算出运动场的面积。
八、解决问题。
30．2024年元旦假期，哈尔滨市以冰雪世界、驯鹿表演、人造月亮等特色活动及诚信友好的态度吸引了全国各地的游客，市中心中央大街的日均客流量比去年同期增长了约70%。去年同期日均客流量是39万人次，今年元旦假期日均客流量约是多少万人次？
31．截止目前为止，我国拥有辽宁舰、山东舰和福建舰三艘航空母舰，共同构成了我国强大的海上防卫力量，为维护国家安全和发展提供了强有力的保障。辽宁舰的排水量为6.7万吨，是山东舰的。山东舰的排水量是福建舰的，福建舰的排水量是多少万吨？
32．《诗经》是我国第一部诗歌总集，分《风》《雅》《颂》三部分，共305篇。其中《风》占总篇数的，《雅》与《颂》的篇数比21：8。《雅》的篇数有多少篇？
33．修一段水渠，甲施工队单独修要20天完成，乙施工队单独修要15天完成。两队合修6天后，剩下的任务只安排一个队完成。至少还要多少天可以完成任务？
34．2023年9月，我国在四川稻城正式建成全球规模最大的圆环阵太阳射电成像望远镜。圆环阵由314部天线构成，每相邻天线之间的距离约为10m，也被誉为“千眼天珠”。这个圆环阵望远镜的面积约是多少平方米？
35．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时两车的速度比是3：2。相遇后，甲车的速度保持不变，乙车的速度增加了。当甲车到达B地时，乙车离A地还有44km，那么A、B两地相距多少千米？
2023-2024学年湖北省武汉市江汉区六年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、直接写出得数。
1．口算：
【考点】分数的四则混合运算．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】；；；；0.21；1.6；；；3；。
【分析】一个非0的数除以一个分数，等于这个数乘它的倒数；分数乘分数，能约分的先约分，然后分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，据此计算。
【解答】解：
【点评】此题考查的是分数四则混合运算，解答此题要熟记分数加法、减法、乘法和除法的计算方法。
二、解下列方程。
2．解方程。
【考点】分数方程求解．
【专题】运算能力．
【答案】x＝3；x＝。
【分析】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；
先应用等式的性质1方程两边同时加上，然后应用等式的性质2方程两边同时除以，据此求解。
先应用等式的性质1方程两边同时减去3，然后应用等式的性质2方程两边同时除以，据此求解。
【解答】解：
＝
x＝
x＝÷
x＝3
3+x＝
3+x﹣3＝﹣3
x＝
x＝÷
x＝
【点评】本题解题的关键是熟练掌握解方程的方法。
三、计算下面各题。
3．计算。
【考点】分数的四则混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）。
【分析】（1）先算除法，再算加法；
（2）先把除法改成乘法，再应用乘法分配律简便运算；
（3）先算括号里面的加法，再把除法改成乘法，然后应用分数连乘的计算方法计算；
（4）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外面的除法。
【解答】解：（1）
＝+
＝1
（2）
＝
＝（﹣）×
＝1×
＝
（3）
＝×÷
＝
＝
（4）
＝÷[×]
＝÷
＝
【点评】熟练掌握乘法分配律和分数连乘的计算方法以及四则混合运算的运算顺序是解答本题的关键。
四、填空。
4．＝ 35 ：40＝56÷ 64 ＝ 87.5 %。
【考点】比与分数、除法的关系．
【专题】数感．
【答案】24；35；64；87.5。
【分析】根据分数的基本性质，的分子、分母都乘3就是；根据比与分数的关系＝7：8，再根据比的性质比的前、后项都乘5就是35：40；根据分数与除法的关系＝7÷8，再根据商不变的性质被除数、除数都乘8就是56÷64；7÷8＝0.875，把0.875的小数点向右移动两位添上百分号就是87.5%。
【解答】解：＝＝35：40＝56÷64＝87.5%
故答案为：24；35；64；87.5。
【点评】此题主要是考查分数、除法、比、百分数之间的关系及转化。利用它们之间的关系和性质进行转化即可。
5．一个数由3个1和4个组成，这个数是 3 ，它的倒数是 ．
【考点】分数的加法和减法；倒数的认识．
【专题】运算顺序及法则．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）3个1是5，4个是，这个数是3+，据此解答；
（2）根据倒数的意义，乘积是1的两数叫做互为倒数，把这个数化成假分数，把分子分母互换位置即得到它的倒数
【解答】解：（1）3+＝3；
（2）3＝，的倒数是．
答：这个数是3，它的倒数是．
故答案为．3，．
【点评】本题主要考查分数的组成和倒数的意义．注意求倒数的方法是把分数的分子分母互换位置即得到它的倒数．
6．
【考点】时、分、秒及其关系、单位换算与计算；小面积单位间的进率及单位换算．
【专题】常见的量．
【答案】；52。
【分析】单位换算，从高级单位到低级单位，用高级单位的数乘进率；从低级单位到高级单位，用低级单位的数除以进率。
【解答】解：
故答案为：；52。
【点评】熟练掌握各单位的换算，是解答此题的关键。
7．如果a×0.8＝b÷＝c：＝d×90%（a、b、c、d均不为0），那么，a、b、c、d四个数中，最大的是 b ，最小的是 d 。
【考点】分数大小的比较．
【专题】数的运算；运算能力．
【答案】b；d。
【分析】两个数相乘的积相等，较小的数要乘较大的数。
【解答】解：a×0.8＝b÷＝c：＝d×90%
a×0.8＝b×＝c×＝d×90%
因为90%＞＞0.8＞，所以d＜c＜a＜b。
a、b、c、d四个数中，最大的是b，最小的是d。
故答案为：b；d。
【点评】本题考查了分数与小数的互化；分数与分数相乘；除数是分数的分数除法；百分数与小数的互化；比与分数、除法的关系。
8．180km的20%是 36 km，45kg是 81 kg的。
【考点】百分数的加减乘除运算．
【专题】运算能力．
【答案】36；81。
【分析】求一个数的百分之几是多少，用乘法计算；
单位“1”未知，求单位“1”用除法计算。
【解答】解：180×20%＝36（千米）；
45÷＝81（千克）。
故答案为：36；81。
【点评】本题考查除数是分数的分数除法以及百分数的应用。
9．已知a和b互为倒数，则把化成最简单的整数比是 12：1 ，比值是 12 。
【考点】求比值和化简比．
【专题】运算能力．
【答案】12：1；12。
【分析】互为倒数的两个数的积等于1，应用比的基本性质化简比；比值＝比的前项÷比的后项。
【解答】解：因为a和b互为倒数，所以ab＝1。
：
＝×
＝12：ab
＝12：1
12：1
＝12÷1
＝12
故答案为：12：1；12。
【点评】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数，小数或分数。
10．两个圆的周长比是4：7，那么这两个圆的直径比是 4：7 ，面积比是 16：49 。
【考点】比的意义．
【专题】数的运算；运算能力．
【答案】4：7；16：49。
【分析】两个圆的周长比等于它们直径的比；面积比等于它们直径平方的比。
【解答】解：4：7＝4：7
42：72＝16：49
这两个圆的直径比是 4：7，面积比是 16：49。
故答案为：4：7；16：49。
【点评】本题考查了圆的周长；圆的面积；比的化简与求值
11．如果a＝b（a、b不为0），则a比b多，b比a少 30 %。
【考点】百分数的加减乘除运算．
【专题】应用意识．
【答案】；30
【分析】因为a＝b，所以a：b＝10：7；a比b多的分率＝（a﹣b）÷b；b比a少的百分率＝（a﹣b）÷a。
【解答】解：a＝b，则a：b＝10：7
（10﹣7）÷7
＝3÷7
＝
（10﹣7）÷10
＝3÷10
＝30%。
故答案为：；30。
【点评】本题考查百分数的计算。注意计算的准确性。
12．（2024•重庆）现有含盐率为3%的盐水500克，为了制成含盐率为4%的盐水，需要蒸发 125 克水．
【考点】百分率应用题．
【专题】分数百分数应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】蒸发水提高浓度，那么其中的盐的重量不变，先根据原来的浓度求出盐的重量，再用盐的重量除以后来的浓度，求出后来盐水的总重量，最后用原来盐水的总重量减去后来盐水的总重量就是需要蒸发掉水的重量．
【解答】解：500﹣500×3%÷4%，
＝500﹣375，
＝125（克）；
答：需要蒸发掉水 125克．
故答案为：125．
【点评】本题关键是抓住不变的盐的重量，把盐的重量作为中间量，求出后来盐水的总重量，进而求解．
13．如图，等边三角形的边长是20cm，阴影部分的面积是 157 cm2。
【考点】圆与组合图形；组合图形的面积．
【专题】几何直观．
【答案】157。
【分析】阴影部分的面积等于半径是（20÷2）厘米的圆的面积的一半。利用圆的面积公式：S＝πr2计算即可。
【解答】解：20÷2＝10（厘米）
3.14×102÷2＝157（平方厘米）
答：阴影部分的面积是157平方厘米。
故答案为：157。
【点评】本题主要考查圆的面积公式的应用。
14．甲、乙两人分别从A、B两点出发，沿着圆弧分别走到点C、D处（如图），两人走过的路程相差 6.28 m。
【考点】圆、圆环的周长．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】6.28。
【分析】它们两个人走过的路程分别是半径6米的圆周长的和半径为（6+4）米的圆周长的，根据圆是周长公式：C＝πd或C＝2πr，把数据代入公式求出圆周长的差，据此解答即可。
【解答】解：3.14×（6+4）×2×﹣3.14×6×2×
＝3.14×20×﹣3.14×12×
＝（20﹣12）×3.14×
＝6.28（米）
答：两人走过的路程相差6.28米．
故答案为：6.28。
【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五、判断。
15．圆心角是36°的扇形面积是所在圆面积的10%。 √
【考点】扇形的面积．
【专题】综合判断题；应用意识．
【答案】√
【分析】扇形面积是所在圆面积的百分率＝扇形的圆心角度数÷圆周角的度数。据此判断。
【解答】解：36°÷360°＝10%，即圆心角是36°的扇形面积是所在圆面积的10%的说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了百分数的应用。
16．（2013春•灵璧县校级月考）分针与时针的速度比是60：1． × ．
【考点】比的意义．
【专题】比和比例．
【答案】见试题解答内容
【分析】在钟面上共有60个小格，12个大格，在相同的时间内，分针走过的路程是60个小格，时针走过的是5个小格，相同的时间内它们的速度的比，就是它们相同时间内所行的路程的比．
【解答】解：在相同的时间内，
分针走了60个小格，
而时针走了5个小格（一个大格），
所以它们的速度比是5：60＝1：12．
故答案为：×．
【点评】本题考查了在相同的时间内路程的比等于它们的速度的比．
17．比的前项和后项都是真分数，则比值一定大于前项。 √
【考点】比的性质．
【专题】推理能力．
【答案】√
【分析】比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商，真分数＜1，一个数（0和负数除外）除以小于1的数，所得的商大于原来的数。
【解答】解：比的后项＜1，即比的后项是真分数时，比值大于比的前项，原题干说法正确。
故答案为：√。
【点评】熟练掌握比与除法的关系以及商的变化规律是解题的关键。
18．扇形统计图不能比较数量的多少。 ×
【考点】扇形统计图．
【专题】综合题；应用意识．
【答案】×
【分析】扇形统计图不但可以比较数量的多少，还可以表示部分数量与总数量之间的关系。
【解答】解：扇形统计图可以比较数量的多少，原题干说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查的是扇形统计图的应用。
六、选择。
19．如图是小宏同学把一张纸通过折一折、涂一涂得到的结果，并准备把折纸过程用算式表示出来。下面四种算式中，不能表示折纸过程的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】分数除法；分数乘法．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】这个折纸过程表示：把单位“1”平均分成5份，取其中的4份，然后把平均分成3份，取其中的1份，列式是÷3或者×或者×，据此选择正确答案。
【解答】解：根据上面的分析，不能表示折纸过程的是。
故选：B。
【点评】本题解题的关键是看懂图意，根据分数乘法的意义与分数除法的意义，选择正确答案。
20．下面的四幅扇形统计图中，有一幅图的扇形与标注的数据不符合。数、形不符合的图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】扇形统计图．
【专题】统计数据的计算与应用；应用意识．
【答案】C
【分析】因为25%＝，所以在扇形统计图中，百分率25%要占圆的，否则就是错误的。
【解答】解：25%＝，而C项中电视机占的百分率25%不是圆的。
故选：C。
【点评】本题考查的是扇形统计图，仔细观察统计图，获取准确信息是解答关键。
21．在a克糖水中有b克糖。如果再加入b克糖，则糖水的含糖率是（ ）。
A．B．C．D．
【考点】百分率应用题；用字母表示数．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】糖水的含糖率＝（原来糖的质量+再加入糖的质量）÷（原来糖水的质量+再加入糖的质量）。
【解答】解：（b+b）÷（a+b）＝
故选：D。
【点评】本题属于百分率的问题，计算方法是用部分或全部的数量除以全部的数量。
22．爷爷和奶奶在圆形街心花园散步，爷爷走一圈需要6分钟，奶奶走一圈需要8分钟。如果两人同时同地出发，无论同向而行还是相背而行，走3分钟时两人的相对位置都可以用图（ ）表示。
A．B．C．D．
【考点】环形跑道问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】A
【分析】3分钟时两人走的路程＝（爷爷的速度+奶奶的速度）×走的时间＝，走了整个路程的，此时爷爷和奶奶比较接近，则A项的图可以表示。
【解答】解：（+）×3
＝×3
＝
可以用图 表示。
故选：A。
【点评】本题考查了分数乘法与分数加减法的混合运算；速度、时间、路程的关系及应用。
23．如图四幅图中涂色部分都是扇形，它们的半径都相等。比较每幅图中涂色部分的总面积，则（ ）
A．四幅图的涂色部分总面积都相等。
B．四幅图的涂色部分总面积都不相等。
C．只有图1和图4涂色部分总面积相等。
D．涂色部分总面积大小无法确定。
【考点】组合图形的面积；圆与组合图形．
【专题】平面图形的认识与计算；空间观念．
【答案】A
【分析】圆的面积＝π×半径2，半径相等的圆面积相等，图中涂色部分的扇形都可以组成半径相等的圆，则面积相等。
【解答】解：四边形的内角和是360°，四个图中的扇形都可以组成半径相等的圆，则面积相等。
故选：A。
【点评】这种求组合图形的面积的问题，常常通过割、补、平移、旋转，把面积相等的图形补到另一个图形上，使不规则的图形变成规则的图形，以此来达到简算的目的。
24．两枚全等的硬币分别放置在一个细铁丝圆圈外部及内部，细铁丝圆圈的直径是每个硬币直径的2倍（如图）。每枚硬币都分别沿着铁丝顺时针滚动，但不允许滑动，直到它们都回到原来所在的位置为止。则在外部的硬币转动的圈数与在内部的硬币转动的圈数比是（ ）
A．1：1B．2：1C．3：1D．4：1
【考点】比的意义．
【专题】综合判断题；应用意识．
【答案】C
【分析】两个圆的周长比等于它们半径的比，假设硬币的周长为2πr，则铁丝圈的周长为4πr，在外部的硬币转动的圈数与在内部的硬币转动的圈数比＝6πr：2πr＝3：1。
【解答】解：细铁丝圈的直径是每个硬币直径的2倍，则细铁丝的周长是每个硬币周长的2倍。
假设硬币的周长为2πr，则细铁丝圈的周长为4πr。
外部的硬币转动一圈转动的是自身的周长加细铁丝圈的周长，即2πr+4πr＝6πr
内部的硬币转动一圈转动的是自身的周长2πr
所以：6πr：2πr＝3：1
即在外部的硬币转动的圈数与在内部的硬币转动的圈数比是3：1。
故选：C。
【点评】本题考查了圆的周长；比的化简与求值。
七、观察操作。
25．某小学对六年级全体学生的血型进行了统计，并根据统计数据制作了条形统计图和扇形统计图。
（1）学校六年级共有学生 400 人。
（2）把条形统计图和扇形统计图补充完整。
（3）AB型血人数是B型血人数的 40 %，O型血人数比A型血人数多。
（4）表示B型的扇形圆心角的度数是 90° 。
【考点】扇形统计图；从统计图表中获取信息．
【专题】数据分析观念．
【答案】（1）400；（2）；（3）40；；（4）90°。
【分析】（1）学校六年级共有学生人数＝A型血的人数÷A型血占的百分率；
（2）AB型的人数＝学校六年级共有学生人数×AB型占的百分率；然后画出直条，并且标上数据；
B型占的百分率＝1﹣其余各项分别占的百分率；
（3）AB型血人数是B型血人数的百分率＝AB型血人数÷B型血人数，O型血人数比A型血人数多的百分率＝（O型血人数﹣A型血人数）÷A型血人数；
（4）表示B型的扇形圆心角的度数＝360°×B型占的百分率。
【解答】解：（1）92÷23%＝400（人）
答：学校六年级共有学生400人。
（2）400×10%＝40（人）
1﹣42%﹣23%﹣10%
＝58%﹣23%﹣10%
＝35%﹣10%
＝25%
（3）40÷100＝40%
（168﹣92）÷92
＝76÷92
＝
答：AB型血人数是B型血人数的40%，O型血人数比A型血人数多。
（4）360°×25%＝90°。
答：表示B型的扇形圆心角的度数是90°。
故答案为：400；40；；90°。
【点评】本题考查了学生能读懂统计图并能根据统计图解决问题的能力。
26．小博假日去动物园游玩，如图是动物园平面图。
（1）猴山在大门 东 偏北 40 °方向上。
（2）大门在鹿园 东 偏 南30 °方向上。
（3）小博用30m/分的速度从大门走到鹿园，用了10分钟。则图中的x＝ 100 。
（4）大象馆在大门西偏南30°方向200m处、熊山在大门东偏南50°方向450m处。请在平面图上标出这两处位置。
【考点】根据方向和距离确定物体的位置．
【专题】综合题；空间观念．
【答案】（1）东，40；
（2）东，南30；
（3）100；
（4）。
【分析】（1）、（2）、（4）格数＝路程÷平均每格的长度，在地图上的方位是上北，下南，左西，右东；东和西相对，南和北相对；西南和东北相对，西北和东南相对。描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后以每一个观测点为参照物，描述到下一个目标所行走的方向和路程；
（3）x的值＝小博的速度×他从大门走到鹿园用的时间÷大门到鹿园的格数。
【解答】解：（1）猴山在大门东偏北40°方向上。
（2）大门在鹿园东偏南30°方向上。
（3）30×10＝300（米）
300÷3＝100（米），x＝100。
（4）200÷100＝2（格）
450÷100＝4.5（格）
。
故答案为：东，40；东，南30；100。
【点评】本题考查的是根据方向和距离确定物体位置的应用。
27．如图是个正方形，请按要求作图并回答问题。
（1）在正方形中找出一个点为圆心，画一个圆，使正方形成为该圆中最大的正方形。
（2）如果该圆的半径是1cm，那么正方形的面积是 2 cm2。
（3）圆的面积比正方形面积多 57 %。
（4）如果在该圆中画一个圆心角是72°的扇形，则扇形的周长是 3.256 cm。
【考点】画圆；百分数的实际应用；圆、圆环的周长．
【专题】几何直观．
【答案】（1）；（2）2；（3）57；（4）3.256。
【分析】（1）以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形对角线的一半为半径画圆，就使正方形成为该圆中最大的正方形；
（2）正方形的面积＝三角形的底×高÷2×2；其中，三角形的底＝圆的直径，高＝圆的半径；
（3）圆比正方形面积多的百分率＝（圆的面积﹣正方形的面积）÷正方形的面积；
（4）扇形的周长＝圆的周长×+直径；其中，圆的周长＝π×直径。据此解答即可。
【解答】解：（1）以正方形的对角线交点为圆心，以正方形对角线的一半为半径画圆。
（2）1×2＝2（厘米）
2×1÷2×2
＝1×2
＝2（平方厘米）
答：正方形的面积是2平方厘米。
（3）3.14×12＝3.14（平方厘米）
（3.14﹣2）÷2
＝1.14÷2
＝57%
答：圆的面积比正方形面积多57%。
（4）3.14×2×+2
＝6.28×+2
＝1.256+2
＝3.256（厘米）
答：扇形的周长是3.256厘米。
故答案为：2；57；3.256。
【点评】本题考查圆的画法，结合圆的周长公式、正方形的面积计算以及扇形的周长计算方法解答即可。
28．元旦庆祝会上，同学们进行用火柴棒摆“小金鱼”游戏，示意图如图。按照这样的规律继续摆下去，摆5条“小金鱼”图案需用 32 根火柴棒；用50根火柴棒可以 8 条“小金鱼”；摆n条“小金鱼”需用 （6n+2） 根火柴棒。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】综合填空题；推理能力．
【答案】32；8；（6n+2）。
【分析】观察图片可知，1条“小金鱼”的鱼身由6根火柴组成，鱼尾由2根火柴组成；2条“小金鱼”由2个鱼身+1个鱼尾构成；3条“小金鱼”由3个鱼身+1个鱼尾构成；由此可知5条“小金鱼”由5个鱼身+1个鱼尾构成，据此可以计算出需要的火柴棒数；n条“小金鱼”由n个鱼身+1个鱼尾构成，据此也可以反推出50根火柴棒可以拼出多少条“小金鱼”。
【解答】解：6×5+2＝32（根）
（50﹣2）÷6
＝48÷6
＝8（个）
6×n+2＝（6n+2）（根）
故答案为：32；8；（6n+2）。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
29．如图这个运动场的两端是半圆形，中间是长方形，请计算出运动场的面积。
【考点】圆与组合图形；组合图形的面积．
【专题】几何直观；应用意识．
【答案】8826平方米。
【分析】运动场的面积＝中间长方形的长×宽+π×半径2，据此求解即可。
【解答】解：100×（30×2）+3.14×30×30
＝6000+2826
＝8826（平方米）
答：运动场的面积是8826平方米。
【点评】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是把不规则图形的面积转化为规则图形面积。
八、解决问题。
30．2024年元旦假期，哈尔滨市以冰雪世界、驯鹿表演、人造月亮等特色活动及诚信友好的态度吸引了全国各地的游客，市中心中央大街的日均客流量比去年同期增长了约70%。去年同期日均客流量是39万人次，今年元旦假期日均客流量约是多少万人次？
【考点】百分数的实际应用．
【专题】应用意识．
【答案】66.3万人次。
【分析】今年元旦假期日均客流量＝去年元旦假期日均客流量×（1+增长的百分率）。据此列式解答。
【解答】解：39×（1+70%）
＝39×170%
＝66.3（万人次）
答：今年元旦假期日均客流量约是66.3万人次。
【点评】此题考查的是百分数的实际应用，要先找准单位“1”，再据题中的数量关系列式。
31．截止目前为止，我国拥有辽宁舰、山东舰和福建舰三艘航空母舰，共同构成了我国强大的海上防卫力量，为维护国家安全和发展提供了强有力的保障。辽宁舰的排水量为6.7万吨，是山东舰的。山东舰的排水量是福建舰的，福建舰的排水量是多少万吨？
【考点】分数除法应用题．
【专题】应用意识．
【答案】8万吨。
【分析】把山东舰的排水量看作单位“1”，根据分数除法的意义，用辽宁舰的排水量除以就是山东舰的排水量。再把山东舰的排水量看作单位“1”，同量，用山东舰的排水量除以就是福建舰的排水量。
【解答】解：6.7÷÷
＝7÷
＝8（万吨）
答：福建舰的排水量是8万吨。
【点评】此题是考查分数除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率。
32．《诗经》是我国第一部诗歌总集，分《风》《雅》《颂》三部分，共305篇。其中《风》占总篇数的，《雅》与《颂》的篇数比21：8。《雅》的篇数有多少篇？
【考点】比的应用．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】105篇。
【分析】《雅》的篇数＝《诗经》总篇数×（1﹣《风》占的分率）÷剩余总份数×《雅》占的份数。
【解答】解：305×（1﹣）
＝305×
＝145（篇）
145÷（21+8）×21
＝5×21
＝105（篇）
答：《雅》的篇数有105篇。
【点评】此题考查的是分数乘法与分数加减法的混合运算以及比的应用的知识。
33．修一段水渠，甲施工队单独修要20天完成，乙施工队单独修要15天完成。两队合修6天后，剩下的任务只安排一个队完成。至少还要多少天可以完成任务？
【考点】简单的工程问题．
【专题】应用意识．
【答案】天。
【分析】把这个工作总量看作单位“1”，则甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，完成任务至少还要的天数＝（1﹣6天完成的工作总量）÷工作效率高的乙队的工作效率；其中，6天完成的工作总量＝6×（甲的工作效率+乙的工作效率）。据此解答。
【解答】解：6×（）
＝6×
＝
（1﹣）÷
＝÷
＝（天）
答：至少还要天可以完成任务。
【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题。
34．2023年9月，我国在四川稻城正式建成全球规模最大的圆环阵太阳射电成像望远镜。圆环阵由314部天线构成，每相邻天线之间的距离约为10m，也被誉为“千眼天珠”。这个圆环阵望远镜的面积约是多少平方米？
【考点】圆、圆环的面积．
【专题】应用意识．
【答案】785000平方米。
【分析】根据题意，首先求出这个圆环阵望远镜的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：314×10÷3.14÷2
＝3140÷3.14÷2
＝1000÷2
＝500（米）
3.14×5002
＝3.14×250000
＝785000（平方米）
答：这个圆环阵望远镜的面积约是785000平方米。
【点评】此题主要考查圆的周长公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
35．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。出发时两车的速度比是3：2。相遇后，甲车的速度保持不变，乙车的速度增加了。当甲车到达B地时，乙车离A地还有44km，那么A、B两地相距多少千米？
【考点】比的应用．
【专题】比和比例应用题；应用意识．
【答案】165千米。
【分析】出发时两车的速度比是3：2，把甲的速度看作3，乙的速度看作2，相遇后甲的速度还是3，乙的速度＝乙原来的速度×（1+增加的分率）；此时甲的速度：乙的速度＝3：＝6：5；A、B两地之间的路程＝乙车离 A地还有的路程÷所占的百分率。
【解答】解：2×（1+）
＝2×
＝
3：＝6：5
44÷（﹣×）
＝44÷（﹣）
＝44÷
＝165（千米）
答：A、B两地相距165千米。
【点评】本题考查的是比的应用，理解和应用比的意义是解答关键。
考点卡片
1．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．
【命题方向】
常考题型：
例1：小于而大于的分数只有一个分数． ×
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将和的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在和间会出现无数个真分数，所以，大于而小于的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
2．倒数的认识
【知识点解释】＜BR＞若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．＜BR＞＜BR＞【解题思路点拨】＜BR＞求倒数的方法：求一个分数的倒数，例如，我们只需把这个分数的分子和分母交换位置，即得的倒数为．＜BR＞求一个整数的倒数，只需把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到，如3的倒数为．＜BR＞求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置．＜BR＞＜BR＞【注意事项】＜BR＞0没有倒数．＜BR＞＜BR＞【命题方向】＜BR＞常考题型：＜BR＞例1：0.3的倒数是
＜DIV class＝quizPutTag cntentEditable＝true＞＜/DIV＞．＜BR＞分析：根据倒数的定义求解．＜BR＞解：0.3＝的倒数是．＜BR＞故答案为：．＜BR＞点评：此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．＜BR＞例2：一个数除以等于的倒数，求这个数．＜BR＞分析：根据题意，的倒数是1÷，再乘上即可．＜BR＞解：1÷×，＜BR＞＝×，＜BR＞＝；＜BR＞答：这个数是．＜BR＞点评：根据题意，先求出的倒数，再根据被除数＝商×除数，列式解答．
3．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．
【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少千克后是 5 千克，6千克减少它的后是 4 千克．
分析：（1）第一个千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的，由此列式解决问题．
解：（1）6﹣＝5（千克）；
（2）6﹣6×＝6﹣2＝4（千克）．
故答案为：5，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．
例2：修路队修一条公路，第一周修了km，第二周修了km，第三周比前两周修的总和少km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少km，两周修的总和为：（+）km，那么第三周修了：（+）﹣
解：（+）﹣，
＝﹣+，
＝+，
＝+
＝1（km）
答：第三周修了1km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
4．分数乘法
【知识点归纳】
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算．
乘积是1的两个数叫做互为倒数．
分数乘法法则：
（1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便．
（2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分．
（3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数．
分数乘法的运算定律：
（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．
（2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变．
（3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的等于乙数的，那么甲数（ ）乙数．（甲数乙数不为0）
A、大于 B、小于 C、等于
分析：甲数的等于乙数的．首先把甲数看作‘单位1’乙数是甲数的．
解：把甲数看作‘单位1’，平均分成5份乙数就相当于甲数的．
故选：A．
点评：此题主要考查分数大小的比较．
例2：一个数乘分数的积一定比原来这个数小． × ．
分析：本题的说法是错误的：（1）当这个数为零时，积总为零．（2）假分数≥1，当分数为假分数时，积≥这个数．真分数＜1，只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
解答：解：只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
故答案为：×．
点评：本题从这个数是否为零、真分数、假分数三个方面进行分析．
5．分数除法
【知识点归纳】
分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
分数除法法则：
（1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数．
（2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数．
（3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算．
分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同
（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．
（3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．
（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．
（5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的是18，乙数的是18，甲数（ ）乙数．
分析：甲数的是18用除法求出甲数，乙数的是18用除法求出乙数；然后比较大小．
解：18÷，
＝18×，
＝27；
18÷，
＝18×，
＝24；
27＞24；
所以甲数＞乙数；
故选：A．
点评：此题考查了基本的分数除法的运用：已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法解答．
例2：一个数（0除外）除以，这个数就（ ）
A、扩大6倍 B、增加6倍 C、缩小6倍
分析：除以一个数等于乘这个数的倒数，由此解决．
解：设这个数为a，则：
a＝6a，a不为0，6a就相当于把a扩大了6倍．
故选：A．
点评：本题运用了分数除法的计算方法来求解，注意扩大6倍和增加6倍的区别．
6．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。
2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。
【方法总结】
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
【常考题型】
妈妈买来一袋大米，吃了，还剩35千克，这袋大米重多少千克？
答案：35÷（1﹣）＝50（千克）
水果店今天共卖出香蕉48千克，下午卖出的香蕉是上午的，上午卖出香蕉多少千克？
答案：48×＝27（千克）
7．百分数的加减乘除运算
【知识点归纳】
1．只把分子相加、减，分母不变．
2．百分数乘法法则：把各个分数的分子乘起来作为分子，100相乘起来作为分母，（即乘上这个分数的倒数），然后再约分．
3．百分数的除法法则：
（1）用被除数的分子与除数的分母相乘作为分子； （2）用被除数的分母与除数的分子相乘作为分母．
【命题方向】
常考题型：
例：如果甲数比乙数多25%，那么乙数比甲数少（ ）
A、20% B、25% C、不能确定
分析：先把乙数看成单位“1”，甲数就是（1+25%），用25%除以甲数就是乙数比甲数少百分之几．
解：25%÷（1+25%），
＝25%÷125%，
＝20%；
故选：A．
点评：本题关键是在于区分两个单位“1”的不同，先找出1个单位“1”，把其它量用单位“1”表示出来，然后根据求一个数是另一个数百分之几的方法求解．
8．时、分、秒及其关系、单位换算与计算
【知识点归纳】
两个日期或时刻之间的间隔叫时间．
时、分、秒相邻两个单位进率是60，
1小时＝60分＝3600秒，
1分＝60秒．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．
【命题方向】
常考题型：
例1：3.3小时是（ ）
A、3小时30分 B、3小时18分 C、3小时3分
分析：1小时＝60分，据此即可求解．
解：3.3小时＝3+0.3小时，
0.3×60＝18（分），
所以3.3小时＝3小时18分；
故选：B．
点评：此题主要考查时间单位间的换算．
例2：三个人在同一段路上赛跑，甲用0.2分，乙用分，丙用13秒．（ ）的速度最快．
A、甲 B、乙 C、丙
分析：先把时间都换算成秒数，再比较谁最快，因为路程相等，谁用的时间最少谁就最快．
解：甲的时间是：0.2分＝12秒，
乙的时间是：分＝14秒，
丙的时间是：13秒，
在12秒、14秒、13秒三个时间中，12秒最少，即甲的速度最快．
故选：A．
点评：此题关键是把时间统一单位，明确同样的路程，用的时间最少的是速度最快的．
9．用字母表示数
【知识点归纳】
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间．
用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．
注意：
1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“•”（点）表示．
2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写．
3．出现除式时，用分数表示．
4．结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．
例如：乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c
乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法交换律：a×b＝b×a．
【命题方向】
命题方向：
例：甲数为x，乙数是甲数的3倍多6，求乙数的算式是（ ）
A、x÷3+6 B、（x+6）÷3 C、（x﹣6）÷3 D、3x+6
分析：由题意得：乙数＝甲数×3+6，代数计算即可．
解：乙数为：3x+6．
故选：D．
点评：做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．
10．分数方程求解
【知识点归纳】
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型
解方程。
①x−4/5x+6＝16
②64x＝2.4/0.9
答案：①x＝50；②x＝24。
11．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+）：1，
＝：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
12．比与分数、除法的关系
【知识点归纳】
1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．
2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．
【命题方向】
常考题型：
例：＝16÷ 20 ＝ 8 ：10＝ 80 %＝ 八 成．
分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．
解：＝4÷5＝16÷20，
＝4：5＝8：10，
＝0.8＝80%＝八成，
故答案为：＝16÷20＝8：10＝80%＝八成
点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．
13．比的性质
【知识点归纳】
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．这叫做比的基本性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项应（ ）
A、缩小4倍 B、扩大4倍 C、不变
分析：根据比的基本性质，比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，由此做出选择．
解：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项也应扩大4倍．
故选：B．
点评：此题考查比的基本性质的运用，熟记性质，灵活运用．
例2：甲：乙＝3：4，乙：丙＝3：2甲、乙、丙三数的关系是（ ）
A、甲＞乙＞丙 B、丙＞乙＞甲 C、乙＞甲＞丙 D、甲＝乙＝丙
分析：根据比的基本性质，写出甲乙丙连比，即可知答案．
解：甲：乙＝3：4＝9：12
乙：丙＝3：2＝12：8
甲：乙：丙＝9：12：8
故选：C．
点评：此题主要考查比的基本性质．
14．求比值和化简比
【知识点归纳】
1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．
2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．
（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．
（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．
（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．
【命题方向】
常考题型：
例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（ ）
A、16：5 B、5：16 C、3：2 D、2：3
分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．
解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．
故选：B．
点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．
15．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷＝，乙用的时间为÷1＝；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1÷＝，
乙用的时间为：÷1＝，
甲乙用的时间比：：＝（×24）：（×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
16．数与形结合的规律
【知识点归纳】
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用4根，搭2个用7根…，搭10个要用 31 根小棒，搭n个要用 3n+1 根小棒．
分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．
解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n﹣1）＝3n+1．
当n＝10，3n+1＝31，
答：搭10个要用3根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．
故答案为：31，3n+1．
点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
17．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，表示（ ）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．
例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮，计算哥哥身高的正确式子（ ）
A、120×（1+） B、120÷（1+） C、120×（1﹣） D、120÷（1﹣）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1﹣），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1﹣）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
18．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
19．简单的工程问题
【知识点归纳】
探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题．
解题关键：把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式．
数量关系式：
工作总量＝工作效率×工作时间
工作效率＝工作总量÷工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率
合作时间＝工作总量÷工作效率和
【命题方向】
常考题型：
例1：打一份文件，甲用4小时，乙用6小时，两人合打（ ）小时能完成．
A、 B、 C、10
分析：把这项工程看做单位“1”，那么甲的工作效率是，乙的工作效率是，利用工作时间＝工作总量÷工作效率即可求得两人合打需要的时间，由此即可进行选择．
解：根据题干分析可得：
1÷（+），
＝1÷，
＝；
答：两人合打小时能完成．
故选：A．
点评：此题考查了工作时间＝工作总量÷工作效率在实际问题中的灵活应用，把工作总量看做单位“1”得出甲和乙的工作效率是解决本题的关键．
例2：要装配210台电脑，已经装了6天，每天装配15台，剩下的每天装配20台，还要几天才能装完？
分析：我们运用要装配电脑的台数减去已经装的台数，除以剩下的每天装配的台数，就是要用的天数．
解：
（210﹣15×6）÷20
＝120÷20
＝6（天）；
答：还要6天才能装完．
点评：本题运用“工作总量÷工作效率＝工作时间”进行解答即可．
20．百分率应用题
【知识点归纳】
出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
【命题方向】
常考题型：
例1：一种树苗实验成活率是98%，为了保证成活380棵，至少要种多少棵树苗？
分析：首先理解“成活率”的概念，成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，即成活率＝×100%．
已知成活率是98%，成活380棵，求至少要种多少棵，根据成活棵数÷成活率，即380÷98%，计算即可．
解：380÷98%，
＝380÷0.98，
≈388（棵）；
答：至少要种388棵树苗．
点评：此题考查了成活率的概念，同时应注意在处理结果时应该用“进一法”．
例2：一个商场打折销售，规定购买200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次，分别用了134元、466元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？
分析：先分析销售的办法：
（1）200元以下（包括200元）商品不打折，这种方法最多付款200元；
（2）200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，这一阶段最少付款200×90%＝180（元）；
最多付款500×90%＝450（元）；
（3）如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出500元的部分打八折；这一阶段最少付款450元．
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
466元＞450元；它属于第（3）种情况，有500元打九折，付450元；剩下的打八折；所以加上134元后也属于此阶段优惠；把134元按照8折优惠的钱数就是可以节省的钱数．
解：200×90%＝180（元）；
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
500×90%＝450（元）；
466＞450；
一次购买134元可以按照8折优惠；
134×（1﹣80%），
＝134×20%，
＝26.8（元）；
答：一次购买可节省26.8元．
点评：本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题．
21．圆与组合图形
【知识点归纳】
1．圆知识的相关回顾：
（1）圆的周长C＝2πr＝或C＝πd
（2）圆的面积S＝πr2
（3）扇形弧长L＝圆心角（弧度制）×r＝（n为圆心角）
（4）扇形面积S＝＝（L为扇形的弧长）
（5）圆的直径d＝2r
2．组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合．
22．小面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米
1平方分米＝100平方厘米
1平方千米＝100公顷＝10000公亩＝1000000平方米
1公顷＝100公亩＝10000平方米
1公亩＝100平方米．
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
有三块铁皮，面积分别是9平方分米、90平方分米和900平方分米，哪块铁皮的面积最接近1平方米？（ ）
A、9平方分米 B、90平方分米 C、900平方分米
分析：先分别把9平方分米、90平方分米和900平方分米换算成平方米数，再比较得解．
解：因为9平方分米＝0.09平方米，
90平方分米＝0.9平方米，
900平方分米＝9平方米；
所以0.9平方米，也即90平方分米的这块铁皮的面积最接近1平方米；
故选：B．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
23．圆、圆环的周长
【知识点归纳】
圆的周长＝πd＝2πr，
半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；
半圆周长＝πr+2r．
圆环的周长等于两个圆的周长，即：
圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．
【命题方向】
常考题型：
例1：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的（ ）
A、直径 B、周长 C、面积
分析：车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长，可采用化曲为直的方法进行计算．
解：车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长．
答：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的周长．
故选：B．
点评：此题主要考查的是利用圆的周长求车轮的所行路程．
例2：如图，一个半圆形的半径是r，它的周长是（ ）
A、2πr× B、πr+r C、（π+2）r D、πr2．
分析：根据半圆的周长公式：C＝πr+2r，可求半圆的周长．
解：πr+2r＝（π+2）r．
答：半圆的周长是（π+2）r．
故选：C．
点评：考查了半圆的周长．解题的关键是理解和掌握它们的计算公式，同时不要错误的以为半圆的周长是圆的周长的一半．
【解题思路点拨】
（1）常规题求圆的周长，先求出关键量半径，代入公式即可求得．
24．画圆
【知识点归纳】
圆规画圆步骤：
1、把圆规的两脚分开，定好两脚间距离；
2、把有针尖的一只脚固定在一点上；
3、带有铅笔的那只脚绕点旋转一周．
【命题方向】
常考题型：
例1：画一个周长是18.84厘米的圆，圆规的两脚之间的距离应该是（ ）厘米．
A、3 B、6 C、9 D、12
分析：圆规两脚之间的距离即这个圆的半径，由圆的周长公式即可解决问题．
解：18.84÷3.14÷2＝3（厘米）；
答：圆规的两脚之间的距离应该是3厘米．
故选：A．
点评：抓住圆规画圆的方法，利用C＝2πr，即可解决此类问题．
例2：画一个直径是4cm的圆．
分析：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以4÷2＝2厘米为半径，即可画出这个圆．
解：4÷2＝2（厘米），
以点O为圆心，以2厘米为半径，画圆如下：
点评：此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即可画圆．
25．圆、圆环的面积
【知识点归纳】
圆的面积公式：
S＝πr2
圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：
S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）
【命题方向】
常考题型：
例1：因为大圆的半径和小圆的直径相等，所以大圆面积是小圆面积的（ ）
A、2倍 B、4倍 C、 D、
分析：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，利用圆的面积公式和积的变化规律即可推理得出正确答案进行选择．
解：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，
圆的面积＝πr2，根据积的变化规律可得，r扩大2倍，则r2就会扩大2×2＝4倍，
所以大圆的面积是小圆的面积的4倍．
故选：B．
点评：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可以得出结论：半径扩大几倍，圆的面积就扩大几倍的平方．
例2：在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？
分析：看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答．
解：因为10×10＝100，
所以正方形的边长是10厘米，
所以圆的面积是：3.14×10×10＝314（平方厘米）；
周长是：3.14×10×2＝62.8（厘米），
答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米．
点评：此题考查圆的周长与面积公式的计算应用，关键是结合图形，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即这个圆的半径．
26．扇形的面积
【知识点归纳】
R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率
扇形面积可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n
S＝．
27．组合图形的面积
【知识点归纳】
方法：
①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．
②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．
③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．
【命题方向】
常考题型：
例1：求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）
分析：根据图所示，可把组合图形分成一个直角梯形和一个圆，阴影部分的面积等于梯形的面积减去圆的面积再加上圆的面积减去三角形面积的差，列式解答即可得到答案．
解：[（5+8+5）×5÷2﹣×3.14×52]+（×3.14×52﹣5×5÷2），
＝[18×5÷2﹣0.785×25]+（0.785×25﹣25÷2），
＝[90÷2﹣19.625]+（19.625﹣12.5），
＝[45﹣19.625]+7.125，
＝25.375+7.125，
＝32.5（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为32.5平方厘米．
点评：此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底×高÷2和圆的面积公式S＝πr2的应用．
28．根据方向和距离确定物体的位置
【知识点归纳】
1．确定观察点，建立方向标；
2．用量角器确定物体方向；
3．用刻度尺根据物体方向距离确定其位置；
4．找出物体具体位置，标上名称．
【命题方向】
常考题型：
例：（1）以灯塔为观测点，A岛在 东 偏 北 60° 的方向上，距离是 4 千米．
（2）以灯塔为观测点，货轮在 西 偏 南 40° 的方向上，距离是 2 千米
（3）客轮在灯塔西偏北35°的方向上，距离是3千米．请画出客轮的位置．
分析：（1）由图意可知：以灯塔为观测点，A岛在东偏北60°的方向上，又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，而A岛与灯塔的图上距离为4厘米，于是就可以求出A岛与灯塔的实际距离．
（2）以灯塔为观测点，货轮在西偏南40°的方向上，又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，而货轮与灯塔的图上距离为2厘米，于是就可以求出货轮与灯塔的实际距离．
（3）因为图上距离1厘米表示实际距离1千米，而客轮与灯塔的实际距离是3千米，于是可以求出客轮与灯塔的图上距离，再据“客轮在灯塔西偏北35°的方向上”即可在图上标出客轮的位置．
解：（1）以灯塔为观测点，A岛在东偏北60°的方向上，
又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，
所以A岛与灯塔的实际距离为：
4×1＝4（千米）；
（2）以灯塔为观测点，货轮在西偏南40°的方向上，
又因图上距离1厘米表示实际距离1千米，
所以货轮与灯塔的实际距离为：
2×1＝2（千米）；
（3）因为图上距离1厘米表示实际距离1千米，
而客轮与灯塔的实际距离是3千米，
所以客轮与灯塔的图上距离为：
3÷1＝3（厘米）；
于是标注客轮的位置如下图所示：
．
故答案为：4
点评：此题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法以及线段比例尺的意义．
29．扇形统计图
【知识点归纳】
1．扇形统计图的特点：扇形统计图是用整个圆的面积表示总数，用圆内的扇形面积表示各部分数量占总数的百分比．
2．读懂扇形统计图：
（1）获取信息的方法：运用综合、对比等多种观察方法，可以从扇形统计图中获取信息，还可以利用这些信息提出相应的问题．
（2）扇形统计图的优点：它可以清楚地表示出部分数量与总数、部分数量与部分数量之间的关系．
3．利用扇形统计图解决问题，就是解决有关不同类型的百分数应用题，按照百分数应用题的解题思路和解题方法进行解答．
【命题方向】
常考题型：
例1：如图是某小学六年级学生视力情况统计图．
①视力正常的有76人，视力近视的有 60 人；
②假性近视的同学比视力正常的人少 15.8 %；（百分号前保留一位小数）
③视力正常的学生与视力非正常学生人数的比是 19：31 ．
分析：由图可知：把总人数看成单位“1”，视力正常的人数占总人数的38%，近视的人数占总人数的30%，假性近视的人数占总人数的32%；
①视力正常的有76人，它对应的百分数是38%，由此用除法求出总人数，再求出总人数的30%就是近似的人数；
②用视力正常占的百分数减去假性近视人数占的百分数，然后用求得的差除以视力正常占的百分数即可；
③先求出视力非正常学生人数占总人数的百分数，然后作比．
解：①76÷38%×30%，
＝200×30%，
＝60（人）；
答：视力近视的有60人．
②（38%﹣32%）÷38%，
＝6%÷38%，
≈15.8%；
答：假性近视的同学比视力正常的人少15.8%．
③38%：（32%+30%），
＝38%：62%，
＝38：62，
＝19：31；
答：视力正常的学生与视力非正常学生人数的比是19：31．
故答案为：60，15.8%，19：31．
点评：解决本题关键是从图中读出数据，找出单位“1”，再根据基本的数量关系求解．
30．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
31．环形跑道问题
【知识点归纳】
1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈．
环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长．
2．解题方法：
（1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差
（2）简单题利用公式
（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差．
【命题方向】
经典题型：
例1：环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇．如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与前次相差20米．
（1）求甲乙两人原来的行走速度．
（2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？
分析：（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：1920÷12＝160米/分；则提高速度后的速度之和就是160+16+16＝192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920÷192＝10分钟；
因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了20米，由此设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是x+16米/分，由此根据，即可列出方程，求出x的值即可解答．
（2）甲第二次追上乙时，比乙多走了两周，用两周的路程除以速度差即可得走的时间，用甲的速度乘以时间再除以一周的路程，余数即是离出发点的距离．
解：（1）甲乙原来的速度之和是：1920÷12＝160（米），
提高速度之后的速度之和是：160+16+16＝192（米），
所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920÷192＝10（分钟），
设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根据题意可得方程：
12x﹣10（x+16）＝20，
12x﹣10x﹣160＝20，
2x＝180，
x＝90，
则乙原来的速度是：160﹣90＝70（米/分），
答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分；
（2）1920×2÷（90﹣70）
＝1920×2÷20
＝192（分），
192×90÷1920＝9，说明正好在出发点．
答：甲在出发点第二次追上乙．
点评：本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和，从而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题．

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（1）
（2）
（3）
（4）
35分＝ 时
dm2＝ cm2
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＝
＝
＝0.21
＝1.6
（1）
（2）
（3）
（4）
35分＝ 时
dm2＝ 52 cm2
35分＝时
dm2＝52cm2