专题01 集合与常用逻辑用语（5大易错点 典例分析 避错攻略 举一反三 易错通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考专用）

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题型一：集合
易错点01 忽视集合中元素的互异性
易错点02 未弄清集合的代表元素
易错点03 遗忘空集
题型二 常用逻辑用语
易错点04 判断充分性必要性位置颠倒
易错点05 由命题的真假求参数的取值范围
题型一：集合
易错点01：忽视集合中元素的互异性

典例 （24-25高三上·云南·期中）已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性.
【详解】因为，所以，由，
所以或，解得或或1，
经检验集合中元素的互异性，把或舍去，所以.
故选：A.
【易错剖析】
本题易忽略集合元素的互异性而错选D.
【避错攻略】
类型1 集合与元素关系的判断
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.
类型2 根据元素与集合以及集合间关系求参数
第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；
第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；
第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.
易错提醒：集合中元素的三个性质，一定要理解透彻并掌握其基本作用：
(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据．
(2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验．
(3)无序性：常用于判断集合相等．
1．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知集合.若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用集合的基本运算及集合中元素的互异性可确定选项.
【详解】由及集合中元素的互异性可得或，故实数的取值集合为.
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案.
【详解】由得或，解得：或，
若，则，不符合题意；
若，，从而，
所以中所有元素之和为4，
故选：C．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.
【详解】因为中恰有三个元素，所以或或，
结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或.
故选：D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【详解】依题意，，若，解得（时不满足集合的互异性，舍去），
若，解得（时不满足集合的互异性，舍去），
综上所述，或.
故选：B
2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（ ）
A．2B．3C．0或3D．
【答案】B
【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足元素的互异性；
②若，解得或3，
当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
3．（2024·四川攀枝花·二模）已知集合，若，则实数a组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分和两种情况运算求解，注意集合的互异性.
【详解】，则有或，解得 或或，
实数a组成的集合为.
故选：D
4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知，集合，，若，且的所有元素和为12，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】先确定集合中可能的元素，根据两集合中元素的和求出的值，再根据集合中元素的互异性取值.
【详解】集合中的元素可能为：，，
因为，.
若，则，，则，元素和不为12；
若，则，，则，元素和不为12；
当时，，因为中所有的元素和为12，
所以，解得或（舍去）.
综上：.
故选：A
5．已知，，若集合，则的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】B
【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解.
【详解】∵集合，分母，
∴，，且，解得，
∴.
故选：B.
6．（24-25高三上·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（ ）
A．1B．C．2D．1或2
【答案】C
【分析】得到，分和两种情况，求出，舍去不合要求的解，得到答案.
【详解】由题意得，
当时，解得或，
当时，满足要求，
当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去，
当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去，
综上，.
故选：C
7．已知为实数，，集合中有一个元素恰为另一个元素的倍，则实数的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意分情况讨论并判断即可.
【详解】由题意：
当时，，此时集合，不成立；
当时，，时不成立，时，集合，成立；
当时，集合，成立；
当时，或，时集合，不成立，时集合，成立；
当时，，时集合，不成立，时集合，成立；
当时，或，时集合，不成立，时不成立；
故，
故选：B.
8．（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（ ）
A．2B．4C．7D．8
【答案】B
【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数.
【详解】由题意得，，又集合，
若，则，此时，
则，故子集个数为；
若，则，此时显然集合不成立，舍去；
若，，同理舍去.
综上得：时，子集个数为4个；
故选：B.
9．（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（ ）
A．2B．3C．D．5
【答案】BD
【分析】根据集合中元素的互异性求解.
【详解】集合，则，
解得，可知BD符合题意，
故选：BD.
10．（多选）（23-24高三上·福建宁德·期中）设集合，，且，则的值可以为（ ）
A．B．3C．0D．1
【答案】AC
【分析】由子集的概念解出，并注意验证集合间元素是否满足互异性.
【详解】因为，所以或，解得或.
当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去.
当时，符合题意.
当时，也符合题意.
故选：AC.
11．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 .
【答案】
【分析】分类讨论是否为，进而可得集合B，结合题意分析求解.
【详解】由题意可知：且，
当，则；当，则；当，则；
若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；
若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；
若且，则，故，解得或（舍去）；
综上所述：.
故答案为：.
易错点02：未弄清集合的代表元素

典例 （2024·湖南衡阳·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数型函数求值域得A，根据二次函数求得函数定义域得B，根据交集运算得解.
【详解】为函数的值域，
令或，，
为函数的定义域，
即，因为，所以函数定义域为，
故，
故选：D.
【易错剖析】
本题易忽略集合的代表元素，没有注意到集合A表示的是函数的值域，而集合B表示的是函数的定义域而出错.
【避错攻略】
在进行集合间运算时，常用的方法为列举法和赋值法：
方法1列举法
列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
【具体步骤】
第一步：定元素，确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；
第二步：定运算，利用常见不等式或等式解未知集合；
第三步：定结果。
方法二：赋值法
高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.
【具体步骤】
第一步：辨差异，分析各选项,辨别各选项的差异；
第二步：定特殊，根据选项的差异,选定一些特殊的元素；
第三步：验排除，将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；
第四步：定结果，根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：在进行集合的运算时，一定要先观察集合的代表元素，因为代表元素决定了集合的性质，通过集合的代表运算可以确定集合是数集还是点集、代表元素是实数还是整数，另外在进行补集运算时，一定要注意全集的性质，不要想当然的认为是R.
1.（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．[1，4]
【答案】A
【分析】先化简集合，再利用交集定义即可求得.
【详解】
故
故选：A
2.（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知集合，，则（ ）
A．AB．BC．D．
【答案】C
【分析】根据题意可知集合表示点集，而集合A表示数集，即可根据交集的定义求解.
【详解】由可得,
故，
故选：C
3.（24-25高三上·山东·期中）集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由补集定义可得答案.
【详解】因为，，
所以，.
故选：D.
1．（2024·浙江温州·模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即可.
【详解】依题意，，，
所以.
故选：A
2．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求解集合，然后利用补集的定义即可求解
【详解】根据题意，集合，
因为，所以.
故选：B
3．（2024·广东肇庆·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式可得，再由交集运算可得结果.
【详解】由不等式，得，所以，
又，可得.
故选：A
4．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
【答案】C
【分析】根据集合的元素类型，列方程组求解集即可得元素个数.
【详解】因为集合，，
则联立，解得或，
故，集合中有2个元素.
5．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，将集合化简，再结合交集的运算，即可得到结果.
【详解】或，
，所以，
故选：C
6.（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】联立集合A与集合B的方程组，解方程组可得答案.
【详解】根据题意知联立集合A与集合B方程组得，
解之可得或，所以.
故选：A
7.（24-25高三上·山东济宁·期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合，再求出集合，最后根据集合的运算法则计算可得.
【详解】由可得，解得或，
所以，
又，则，所以，
所以，所以.
故选：D.
易错点03：遗忘空集

典例 （24-25高一上·重庆万州·期中）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果.
【详解】因为，所以.
若，则，即；
若，则解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：B
【易错剖析】
因为空集是任何集合的子集，根据包含关系求参数时一定分析集合为空集的情况，本题易忽略对的讨论而错选C..
【避错攻略】
1.当已知求参数时，一定要分析集合为空集的情况；
2.若集合为不等式的解集，往往借助于数轴进行分析；
【具体步骤】
第一步：化简，化简所给集合；
第二步：画图，用数轴表示所给集合；
第三步：列示，根据集合端点间关系列出不等式(组)；
第四步：求解，解出不等式(组的解；
第五步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到.
3.若集合为正整数集或抽象集合，可借助于韦恩图分析，若集合是点集，可借助于曲线的图像分析.
易错提醒：已知集合关系求参数时，除去要分析空集的情况，还一定要分析端点值能否取得，可采用代入检验的方法加以区分，避免出错.
1.集合，，若，则实数a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】首先求出集合，依题意可得，再分、、三种情况讨论
因为，，所以，又
当，则，当，即，解得，当，即，解得，综上可得实数a的取值集合为，故选：D
2.设集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【解析】结合是否为空集进行分类讨论可求的范围
当时，，则，即
当时，若，则或
解得或，综上，实数的取值范围为
故选：D
3.（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）设集合，.
(1)若，求的取值范围.
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，分和两种情况进行讨论，结合，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，分和两种情况进行讨论，结合，列出不等式，即可求解；
【详解】（1）解：由集合，且
因为，可分和两种情况进行讨论：
当时，可得，解得，此时满足；
当，因为，则满足或，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
（2）解：由集合，且,
因为，可分和两种情况进行讨论：
当时，可得，解得，此时满足；
当，因为，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
1．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解.
【详解】集合，若，
则若，则满足题意；
若，且，则，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：
2．设集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合B，再利用集合的包含关系求解即得.
【详解】显然，由，得，
当时，即，解得，满足，则；
当时，则，解得；
所以.
故选：C
3．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（ ）
A．或B．或0C．或0D．或或0
【答案】D
【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可．
【详解】由题可知，，则或，
因为，
所以当时，，则，符合题意；
当时，，
由知，或，即或，
综上所述，实数为0或1或，
故选：D．
4．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】A
【分析】首先化解集合，又，即可得到或，解得即可.
【详解】由，即，解得，
所以，
又，显然，
因为，所以或，
解得或，
即实数的取值范围为或.
故选：A
5．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合 .若 则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】已知，这意味着集合与集合在中的补集没有交集，那么集合是集合的子集.接下来通过分析集合的边界与集合边界的关系来确定的取值范围.
【详解】. 因为，所以.
由于，要满足，
当，即，解得.
当，则有.解得：.
综上，m的取值范围为.
故选：A.
6．已知集合，，若，则实数a取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】由，知，因为，，
若，则方程无解，所以；
若，，则，
因为，所以，则；
故实数取值集合为.
故选：D.
7．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知集合，若，则实数取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围.
【详解】由得，.
由得，，
∴或，
∴，解得.
故选：A.
8．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）已知集合，，若，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】解绝对值不等式可得集合A，由得，讨论B为空集和不为空集情况，解相应不等式，即得答案.
【详解】解，即，即，
由，得;
当时，即，符合题意；
当时，需满足，解得，
综合可得，
故答案为：
9．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知集合，若，则m的取值范围是 .
【答案】或
【分析】化简集合,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解.
【详解】
因为
所以或
解得：或
故答案为：或
10．（24-25高三上·河南·开学考试）已知集合，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出集合，根据集合的包含关系列不等式组求解可得.
【详解】因为，所以，
当时，，不满足题意；
当时，由解得，
依题意有，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：
11．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围．
【详解】由，且，
当时，，则，即，
当时，若，则，解得，
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
题型二：常用逻辑用语
易错点04：判断充分性必要性位置颠倒

典例 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解
命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故选：D
【易错剖析】
本题易混淆A是B的充分条件和A的充分条件是B的区别而出错.
【避错攻略】
1掌握充分、必要条件的概念及类型
(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
(2)如果pq，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件；
(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；
(4)如果qp，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；
(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.
【解读】
p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q．一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的．
“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同．
（3）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”，要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．
2.灵活运用判断充分、必要条件的方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断；
(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“⇔”、“⇒”、“⇐”将条件彼此相连，然后再判断它们之间的关系.
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合,那么若p⊆q,则p是q的充分不必要条件；若p⊇q,则p是q的必要不充分条件；若p＝q,则p是q的充要条件,尤其对于数的集合,可以利用小范围的数一定在大范围中,即小⇒大,会给我们的解答带来意想不到的惊喜．
(4)举反例：要说明p是q的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0∉{x|q}即可．
易错提醒：在判断充分、必要条件时，一定要先对条件进行等价化简，然后再结合合适的方法进行判断，为避免位置颠倒出错，可先用推出符号标注好判断的方向再进行分析.
1.已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先分离参数求出的取值范围，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，由题设命题为真，即在上恒成立，所以，则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，
故选：A
2.（24-25高三上·云南·期中）“，”成立的充分必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】讨论是否为0，当时，显然无解，故，用表示出方程的解，令结果大于0，求得的取值范围.
【详解】当即时，，，所以；
当即时，，.
故选：C.
3.（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围.
【详解】设不等式的解集为，，
因为不等式成立的充分条件是，，所以，
所以，所以.
由，所以.
由可得.
故选：D
1．（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断．
【详解】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意.
对于B，由，得，所以，可推出，符合题意.
对于C，，可得，不符合题意.
对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意.
故选：B．
2．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．
【详解】对于A，若，，当时，成立，
所以“，”“”，A不满足条件；
对于B，，，则，即，
所以“，”“”，
若，则，不妨取，，，则，
所以“，”“”，
所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件；
对于C，若，则，使得，即，
即“”“，”，
所以“，”是“”的充分条件，C不满足条件；
对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，
所以“，”“”，D不满足条件.
故选：B.
3．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得.
【详解】对于A，，A不是；
对于B，当时，由，得，B不是；
对于C，，可能有，如，C不是；
对于D，由，得，则；若，则，D是.
故选：D
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出当直线与圆有公共点时的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】圆的圆心为，半径为，
若直线与圆有公共点，则，解得，
因为，，，
所以，直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是为.
故选：B.
5．（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案．
【详解】不等式等价于，
使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集，
由此对照各项，可知只有A项符合题意．
故选：A．
6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由线面垂直的性质定理与判定定理可得结论.
【详解】因为，所以，当时，由线面垂直的性质定理可知；
只有当且时才能得到.
所以的必要不充分条件是.
故选：.
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质、结合对数函数、幂函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】对于A， ，不能推出，如，反之 ，则有 ，
即是的既不充分也不必要条件，A错误；
对于B，由，得，即，
不能推出 ，反之，则，
因此是的必要不充分条件，B正确；
对于C，，是的充分必要条件，C错误；
对于D，由，得，反之不能推出，
因此是的充分不必要条件，D错误.
故选：B.
8．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设.下列选项中，的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，分和，利用基本不等式，求出的取值范围，即可求出结果.
【详解】令，
当时，，当且仅当，即时，取等号，
当时，，当且仅当，即时，取等号，
所以或，当且仅当时取等号，故的充要条件是且，
故选：D.
9．（24-25高三上·山东德州·期中）已知：，：，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先解分式不等式，根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可.
【详解】由可得，解之得或，
设：，对应，
：，其解集对应，
则是的充分不必要条件等价于A是B的真子集，所以.
故选：A
10．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据充分不必要条件转化为，即可求解.
【详解】由于的一个充分不必要条件是，故是的充分不必要条件，
故，故，
故选：D
11．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式，确定集合，通过讨论的范围，确定集合，根据题意推出集合是集合的真子集，由此列出不等式组，即可求得答案．
【详解】由题可知，，
若，则，
若时，则.
因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，显然时成立，
当时，则，且这两个不等号不能同时取到，故解得且，
综上所述：.
故选：B.
易错点05：由命题真假求参数范围

典例 （24-25高三上·福建龙岩·期中）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】存在性命题为假等价于“”为真，应用参变分离求解即可.
【详解】解：因为命题“”为假命题
等价于“”为真命题，
所以，
所以只需.
设，
则在上单增，所以.
所以，即.
故选：A
【易错剖析】
对全称量词和存在量词理解不到位，不能在恒成立和有解之间进行合理的转化而出错.
【避错攻略】
1.根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:
第一步：先判断命题是恒成立问题还是有解（存在）问题;
第二步：转化为函数的最值问题或方程解的问题;
第三步：求解参数的取值范围.
2.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
易错提醒：写出命题的否定，然后再根据否命题的真假求参数，是等价转化思想在解题过程中的运用，可以有效避免命题为假不易判断的问题.
1.（23-24高三下·广东·开学考试）已知，；，．若为假命题，为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题以及特称命题的真假，结合二次函数的最值以及一元二次方程的判别式，即可求得答案.
【详解】由题意知，为假命题，
则，为真命题，
当时，的图象的对称轴为，
此时其最大值为，则；
又，为真命题，
即，即得，
综合可得的取值范围为，
故选：A
2.（24-25高三上·河南·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.
【详解】由题意，命题“”是假命题，
等价于其否定“”是真命题，
令，则对恒成立，
即，需满足，
而，，当且仅当，即时取等号.
所以，即.
故选：A.
3.（24-25高三上·江西·阶段练习）命题“，使（且）成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到“，都有成立”为真命题，且，利用与的图像关于对称，转化为，即，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】由命题“，使成立”是假命题，
可得命题“，都有成立”为真命题，显然，
如图所示，因为与的图象关于对称，
可得转化为，两边取以为底的对数，可得，所以，
令，可得，
当，，单调递增；当，，单调递减，
所以，所以，解得.
故选：B.
1．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】假设命题“”为真命题，可得，由此可得，再求其补集可得结论.
【详解】若命题“”是真命题，
则，
又因为，
所以，
所以若命题“”是假命题，则实数的取值范围是．
故选：B.
2．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.
【详解】因为命题“”为真命题，所以．
令与在上均为增函数，
故为增函数，当时，有最小值，即，
故选：A．
3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案.
【详解】恒成立，
当时，，满足要求，
当时，需满足，解得，
故为真命题，需满足，
，，则，解得，
故为真命题，需满足，
综上，的取值范围为
故选：D
4．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.
【详解】命题“，”是假命题，
则“，”是真命题，
所以有解，
所以，
又，
因为，所以，
即.
故选：B.
5．（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】原命题为假命题，所以命题的否定为真命题，从而，恒成立.分离常数，结合对勾函数的单调性求最值即可.
【详解】原命题为假命题，则否定为真命题，即，恒成立，
，令，则，，
所以，
根据对勾函数的性质知在上单调递增，所以当时，，
∴.
故选：A.
6．（24-25高三上·福建·阶段练习）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将不等式成立的存在性问题转化为函数的最值问题，得到的取值范围，再由充分不必要条件的定义得到结果.
【详解】因为“，”，所以，所以．
结合选项及充分不必要条件知“”是“”的充分不必要条件．
故选：D．
7．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知命题p：．若p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据是真命题列不等式，分离参数，利用基本不等式求得的取值范围.
【详解】若是假命题，则是真命题，即恒成立，
则，，
由于，当且仅当时等号成立，
所以.
故选：D．
8．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题与命题至少有一个是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出即可，由函数单调性求出，故，解不等式得到答案；
（2）求出为真命题时的，进而分为真命题，为假命题或为假命题，为真命题，或，都为真命题三种情况，求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为为真命题，所以对任意，不等式恒成立，
只需，
其中在上单调递增，当故，
所以，解得，所以的取值范围；
（2）若为真命题，即存在，使得不等式成立，
则，其中，
而，故当时，，
所以，故；
因为，至少有一个为真，
所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题，或，都为真命题
若为真命题，为假命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则或，所以.
若，都为真命题，则，所以
综上，，
所以的取值范围为.