专题03 函数的性质及应用（6大易错点 典例分析 避错攻略 举一反三 易错通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）

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题型一：函数的性质
易错点01 复合函数定义域的理解不当致错
易错点02 使用换元法忽略新元的范围
易错点03 研究单调性、奇偶性时忽略定义域
易错点04 对分段函数的理解不到位出错
题型二 函数与方程
易错点05 忽略函数零点存在定理的条件
易错点06 二次函数零点分布问题考虑不全
题型一：函数的性质
易错点01：复合函数定义域理解不当致错

典例 （23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.
【详解】由题可知的定义域为，
则为使有意义必须且只需，
解得，
所以的定义域为.
故选：D
【易错剖析】
在求解过程中，根据函数解析式求出的定义域为，然后由=然后错误的由分别求出的范围进而求出函数的定义域而出错，出错原因在于没有理解复合函数定义域的正确意义.
【避错攻略】
1复合函数的概念：
若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当时，称函数y=f[g(x)]为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
2抽象函数或复合函数的定义域：
（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同.
（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围.
（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.
易错提醒：已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·山东烟台·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·河南新乡·期中）已知函数，则函数的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·山东·一模）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知的定义域为，则函数的定义域为
9．（23-24高三上·福建莆田·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
10．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）函数的定义域为
易错点02：使用换元法忽略新元的范围

典例 （24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【易错剖析】
本题求解时设，换元后要注意这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.
【避错攻略】
1.换元法
换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法.
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.
常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。
易错提醒：换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
1．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（ ）
A．B．
C．D．
1．（24-25高三上·全国·随堂练习）函数的值域是（ ）
A．0,1B．C．D．0,1
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
7．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 .
8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）若，则的解析式为 ．
9．（23-24高三上·广东江门·开学考试）函数的值域为 .
10．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则 .
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ．
易错点03：研究单调性、奇偶性时忽略定义域

典例 （2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，再根据复合函数单调性的判断方法求解出的单调递减区间.
【详解】由可得，所以函数的定义域为，
令，利用复合函数单调性判断方法来分析的单调性，如下表：
由表知，的单调递减区间为．
故选：C．
【易错剖析】
本题再求单调区间时容易忽略定义域，而求出单调递减区间为而致错.
【避错攻略】
函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。
1.函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
（1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2.函数奇偶性与定义域
偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为偶函数．
奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．
(1)奇偶函数定义的等价形式．
奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0．
(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝eq \r(x) ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性．
易错提醒：利用函数性质解决题目的时候，应该养成先求定义域的习惯，要注意定义域对自变量的限制.
1．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·上海·期中）函数的奇偶性为 .
1．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．和D．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·陕西汉中·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（ ）.
A．B．C．D．
6．已知函数，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．6
7．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 .
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，则不等式的解集为 ．
若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝ ，b＝ ．
易错点04：对分段函数的理解不到位出错

典例 （24-25高三上·河北沧州·期中）若函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由分段函数在R上递增需满足条件可得答案.
【详解】设；.
为使在R上递增，则在上递增，在上递增，
且，即.
故选：B
【易错剖析】
本题在求解过程中容易只注意到分段函数递增，则每一段都递增，忽略比较分段点处函数值的大小而错选A.
【避错攻略】
1．分段函数的定义
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集．
2．分段函数的题型
（1）分段函数图象的画法
①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.
（2）分段函数的求值
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
（3）求某条件下自变量的值(或范围)
先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
（4）根据分段函数的解析式解不等式
①对变量分类讨论代入相应的解析式求解．
②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解．
（5）求分段函数的最值
分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值
（6）根据单调性求参数
从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.
易错提醒：(1)求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．
已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如下：
类型1：函数，在上单调増递，则满足两个条件：
(1)在上单调増递增；
(2)在上单调増递增；
(3).
类型2：函数，在上单调増递减，则满足两性个条件：
(1)在上单调増递减；
(2)在上单调増递减；
(3).
1．（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（ ）
A．1B．4C．1或4D．2
2．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( ).
A．B．C．D．
3．（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
1．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数，则（ ）
A．8B．C．D．
2．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．3D．5
3．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数则的值域为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高三上·山东聊城·期中）设，若为的最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·新疆·模拟预测）已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．B．若，则x的值是
C．的解集为D．的值域为
9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中对任意的，，且，总满足不等关系，则实数的取值范围是 .
10．（2024高三·全国·专题练习）若函数在R上是增函数，则实数的取值范围为 .
11．（2024·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ．
题型二：函数与方程
易错点04：忽略函数零点存在定理的条件

典例 （24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在内仅有一个零点，则的符号是（ ）
A．大于B．小于C．等于D．不能确定
【答案】D
【分析】利用零点存在定理、特例法判断即可得出结论.
【详解】因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，
且函数在内仅有一个零点，
若函数在上单调，则；
不妨取，则函数在只有唯一的零点，但；
取，则函数在只有唯一的零点，但.
因此，的符号不能确定.
故选：D.
【易错剖析】
本题
【避错攻略】
1.函数的零点
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点.
3.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断__的曲线，且有f(a)f(b)