不等式小题限时训练-2025届高三数学二轮复习

这是一份不等式小题限时训练-2025届高三数学二轮复习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·成都调研]不等式eq \f(x－3,x－2)≥0的解集是( )
A.{x|x＜2或x≥3} B.{x|2＜x≤3}
C.{x|x≤2或x≥3} D.{x|2≤x≤3}
2.[2024·滨州调研]已知x＞2，则x＋eq \f(1,x－2)的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.2
3.[2024·汉中调研]已知a，b，c，d为实数，a＞b且c＞d，则下列不等式一定成立的是( )
A.ac＞bd B.a＋c＞b＋d
C.ac＜bd D.eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)
4.[2023·合肥调研]某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝(500＋30x)元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x的取值范围是( )
A.{x|20≤x≤30，x∈N*} B.{x|20≤x≤45，x∈N*}
C.{x|15≤x≤30，x∈N*} D.{x|15≤x≤45，x∈N*}
5.[2024·淮安调研]若x＞0，y＞0，称a＝eq \r(xy)是x，y的几何平均数，b＝eq \f(2,\f(1,x)＋\f(1,y))是x，y的调和平均数，则“a＞3”是“b＞3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.[2024·浙江模拟]已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则eq \f(1,x＋1)＋eq \f(2,y＋1)的最小值为( )
A.eq \f(1,2)＋eq \r(2) B.eq \f(3＋\r(2),2) C.eq \f(9,4) D.eq \f(34,15)
7.[2024·济宁调研]已知函数f(x)＝|lg x|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
8.[2023·长沙模拟]已知a＝lg32，b＝lg53，c＝lg85，则下列结论正确的是( )
A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.a＜c＜b D.b＜c＜a
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·佳木斯模拟]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是( )
A.a＜0
B.不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6}
C.a＋b＋c＞0
D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为(－∞，－eq \f(1,3))∪(eq \f(1,2)，＋∞)
10.[2024·长沙长郡中学模拟]已知实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，则下列说法正确的是( )
A.eq \f(1,c－a)＞eq \f(1,b－a) B.eq \f(b,a)＞eq \f(b＋c,a＋c)
C.eq \f(1,a（c－a）)＞eq \f(1,b（c－a）) D.ab＋c2＞ac＋bc
11.[2024·衡阳调研]设区间[m，n]的长度为n－m.已知一元二次不等式(x＋a)(x－eq \f(5,a))≤0(a＞0)的解集的区间长度为l，则( )
A.当a＝1时，l＝6 B.l的最小值为4
C.当a＝1时，l＝5 D.l的最小值为2eq \r(5)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·华师大二附中模拟]设关于x的不等式x2－ax＋b＜0的解集为(－1，2)，则a＋b＝________.
13.[2024·广州调研]已知x≥4，y≥4，且x＋4y－xy＝0，若不等式a≤x＋y恒成立，则a的最大值为______.
14.[2024·佛山模拟]已知A，B两城市的距离是100 km.根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在50～100 km/h，假设油价是6元/L，以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为(3＋eq \f(x2,360))L/h，其它费用是36元/h.为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是________km/h(精确到1 km/h，参考数据eq \r(10)≈3.162)
不等式
1.A [由eq \f(x－3,x－2)≥0⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－3）（x－2）≥0,x－2≠0))⇒x＜2或x≥3，所以不等式的解集为：{x|x＜2或x≥3}，故选A.]
2.B [由于x＞2，故x－2＞0，所以x＋eq \f(1,x－2)＝x－2＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(（x－2）（\f(1,x－2)）)＋2＝4，
当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时等号成立，故x＋eq \f(1,x－2)最小值为4，故选B.]
3.B [对于A，C选项，取a＝2，b＝－2，c＝1，
d＝－1，则ac＝bd，A，C都错；
对于B选项，由不等式的基本性质可得a＋c＞b＋d，B正确；
对于D选项，取a＝2，b＝－2，
则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，D错误.故选B.]
4.B [设该厂每天获得的利润为y元，
则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，0＜x＜80，x∈N*，
依题意，－2x2＋130x－500≥1 300，
解得20≤x≤45，
所以当20≤x≤45，且x∈N*时，
每天获得的利润不少于1 300元.故选B.]
5.B [因为b＝eq \f(2,\f(1,x)＋\f(1,y))＝eq \f(2xy,x＋y)≤eq \f(2xy,2\r(xy))＝eq \r(xy)＝a，当且仅当x＝y时取等号，所以由b＞3可推出a＞3，
而由a＞3⇒/ b＞3，所以“a＞3”是“b＞3”的必要不充分条件.故选B.]
6.C [由题意可得，x＋2y＝1，
则(x＋1)＋2(y＋1)＝4，
所以eq \f(1,x＋1)＋eq \f(2,y＋1)
＝eq \f(1,4)(eq \f(1,x＋1)＋eq \f(2,y＋1))[(x＋1)＋2(y＋1)]
＝eq \f(1,4)[5＋eq \f(2（y＋1）,x＋1)＋eq \f(2（x＋1）,y＋1)]
≥eq \f(1,4)[5＋2eq \r(\f(2（y＋1）,x＋1)·\f(2（x＋1）,y＋1))]＝eq \f(9,4)，
当且仅当eq \f(2（y＋1）,x＋1)＝eq \f(2（x＋1）,y＋1)，
即x＝y＝eq \f(1,3)时，取得等号，故选C.]
7.C [因为函数f(x)＝|lg x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg x，x＞1,－lg x，0＜x≤1))，
且0＜a＜b时，f(a)＝f(b)，所以0＜a＜1＜b，－lg a＝lg b⇔ab＝1，所以a＋b＝a＋eq \f(1,a)，由对勾函数y＝x＋eq \f(1,x)在区间(0，1)上单调递减可得a＋eq \f(1,a)＞1＋eq \f(1,1)＝2，所以a＋b的取值范围是(2，＋∞)，故选C.]
8.A [因为lg32＝lg3eq \r(3,8)＜lg3eq \r(3,9)＝lg33eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)＝lg55eq \f(2,3)＝lg5eq \r(3,25)＜lg5eq \r(3,27)＝lg53，
所以a＜b.
因为ln 3ln 8＜(eq \f(ln 3＋ln 8,2))2
＝(ln eq \r(24))2＜(ln 5)2，
所以eq \f(ln 3,ln 5)＜eq \f(ln 5,ln 8)，所以lg53＜lg85，
所以b＜c，所以a＜b＜c.故选A.]
9.BD [不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为
(－∞，－2)∪(3，＋∞)，
则－2，3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
且a＞0，则－eq \f(b,a)＝1，eq \f(c,a)＝－6，a＞0，
即b＝－a，c＝－6a，a＞0，A错误；
不等式bx＋c＞0化为－ax－6a＞0，
解得x＜－6，即不等式bx＋c＞0的解集是
{x|x＜－6}，B正确；
a＋b＋c＝－6a＜0，C错误；
不等式cx2－bx＋a＜0化为
－6ax2＋ax＋a＜0，
即6x2－x－1＞0，解得x＜－eq \f(1,3)或x＞eq \f(1,2)，
所以不等式cx2－bx＋a＜0的解集为
(－∞，－eq \f(1,3))∪(eq \f(1,2)，＋∞)，D正确.
故选BD.]
10.BCD [因为0＜a＜b＜c，所以有c－a＞b－a＞0，eq \f(1,c－a)＜eq \f(1,b－a)，故A错误；
eq \f(b,a)＞eq \f(b＋c,a＋c)⇔b(a＋c)＞a(b＋c)⇔bc＞ac⇔b＞a，故B正确；
eq \f(1,a（c－a）)＞eq \f(1,b（c－a）)⇔eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)⇔b＞a，
故C正确；
ab＋c2＞ac＋bc⇔c(c－b)－a(c－b)＞0⇔(c－a)(c－b)＞0，故D正确.故选BCD.]
11.AD [因为一元二次不等式(x＋a)(x－eq \f(5,a))≤0(a＞0)的解集为[－a，eq \f(5,a)]，
所以l＝eq \f(5,a)－(－a)＝a＋eq \f(5,a).
当a＝1时，l＝6，故A正确，C错误；
因为a＞0，所以l＝a＋eq \f(5,a)≥2eq \r(a·\f(5,a))＝2eq \r(5)(当且仅当a＝eq \f(5,a)，即a＝eq \r(5)时，等号成立)，所以l的最小值为2eq \r(5)，故D正确，B错误.故选AD.]
12.－1 [因为关于x的不等式x2－ax＋b＜0的解集为(－1，2)，所以一元二次方程x2－ax＋b＝0的两个根为－1，2，
所以根据根与系数的关系可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1＋2＝a,－1×2＝b))，解得a＝1，b＝－2，所以a＋b＝－1.]
13.eq \f(28,3) [当x＝4时，x＋4y－xy＝4＋4y－4y＝0不成立，所以x≠4.
由x＋4y－xy＝0得y＝eq \f(x,x－4).
因为x≥4，y≥4，所以eq \f(x,x－4)≥4，
解得4＜x≤eq \f(16,3)，
即0＜x－4≤eq \f(4,3).
所以a≤x＋y＝x＋eq \f(x,x－4)＝x＋eq \f(x－4＋4,x－4)
＝x＋1＋eq \f(4,x－4)＝x－4＋eq \f(4,x－4)＋5，
令t＝x－4，则0＜t≤eq \f(4,3)，
于是a≤t＋eq \f(4,t)＋5.
令f(t)＝t＋eq \f(4,t)＋5，0＜t≤eq \f(4,3)，
则a≤f(t)min.
由对勾函数的图象知，f(t)在(0，eq \f(4,3)]上单调递减，
故f(t)min＝f(eq \f(4,3))＝eq \f(4,3)＋3＋5＝eq \f(28,3)，
所以a≤eq \f(28,3)，即a的最大值为eq \f(28,3).]
14.57 [设汽车以x km/h行驶时，行车的总费用y＝[36＋6·(3＋eq \f(x2,360))]·eq \f(100,x)
＝eq \f(5 400,x)＋eq \f(5,3)x，
因为50≤x≤100，
所以y＝eq \f(5 400,x)＋eq \f(5,3)x≥2eq \r(\f(5 400,x)·\f(5,3)x)＝60eq \r(10)，
当且仅当eq \f(5 400,x)＝eq \f(5,3)x，
即x＝18eq \r(10)≈57时，等号成立，故为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是57 km/h.]