函数与方程 小题限时训练--2025届高三数学二轮复习

这是一份函数与方程 小题限时训练--2025届高三数学二轮复习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·南通调研]函数f(x)＝x＋2x的零点所在区间是( )
A.(－2，－1) B.(－1，0)C.(0，1) D.(1，2)
2.[2023·梅州质检]用二分法求方程lg4x－eq \f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是( )
A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)
3.[2023·阳泉质检]若函数f(x)＝lg2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点.则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－5) B.(－5，－1)C.(1，5) D.(5，＋∞)
4.[2024·成都检测]函数f(x)＝lgeq \f(2,5π)x－sin x的零点个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.[2023·成都三诊]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋2a，若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是( )
A.(－eq \f(1,2)，＋∞) B.[0，＋∞)C.[－eq \f(1,2)，0) D.[－eq \f(1,2)，＋∞)
6.[2023·天津和平区质检]已知a，b，c满足2－a＝a＋2，b＋lg2b＝－2，c3－c－2＝0，则a，b，c的大小关系为( )
A.b＜a＜c B.a＜b＜cC.a＜c＜b D.c＜b＜a
7.[2023·上海嘉定质检]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin πx，x∈[0，2]，,lg2 023（x－1），x∈（2，＋∞），))若满足f(a)＝f(b)＝f(c)(a，b，c互不相等)，则a＋b＋c的取值范围是( )
A.(3，2 023) B.(3，2 024)C.[3，2 024) D.[3，2 025)
8.[2024·海口模拟]关于函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x＋2）－a，0≤x＜3.5，,b－x，x≥3.5，))其中a，b∈R，给出下列四个结论：
甲：5是该函数的零点.乙：4是该函数的零点. 丙：该函数的所有零点之积为0. 丁：方程f(x)＝1有两个不等的实根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2023·徐州调研]对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是( )
A.函数一定有两个零点
B.a＞0时，函数一定有两个零点
C.a＜0时，函数一定有两个零点
D.函数的零点个数是1或2
10.[2023·安徽联考]已知f(x)为R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(－1)＝f(3)＝2，则下列命题中一定正确的是( )
A.f(－2)＞－2 B.f(x)有3个零点
C.f(2)＜－2 D.f(f(5))＞f(f(－eq \f(1,2)))
11.[2024·衡水调研]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x＋t，x≤0，,2ln（x＋1）－1，x＞0，))若函数y＝f(f(x))恰好有4个不同的零点，则实数t的取值可以是( )
A.－3 B.－2C.0 D.2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·上海徐汇区模拟]已知幂函数y＝f(x)的图象过点P(2，8)，则函数y＝f(x)－x的零点为________.
13.[2024·北京调研]一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间的关系为：y＝－20x2＋2 200x.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生产的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是__________________.
14.[2024·烟台调研]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex＋a，x≤0，,ln（x＋3a），x＞0，))若方程f(x)＝1有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为____________.
函数与方程
1.B [因为函数y＝x，y＝2x均为R上的增函数.故函数f(x)＝x＋2x为R上的增函数，因为f(－1)＝－1＋2－1＝－eq \f(1,2)＜0，f(0)＝1＞0，由零点存在定理可知，函数f(x)＝x＋2x的零点所在区间是(－1，0).故选B.]
2.B [令f(x)＝lg4x－eq \f(1,2x)，因为函数y＝lg4x，y＝－eq \f(1,2x)在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)＝lg4x－eq \f(1,2x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－eq \f(1,2)＜0，f(2)＝lg42－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)＞0，所以函数f(x)＝lg4x－eq \f(1,2x)在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程lg4x－eq \f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2).故选B.]
3.B [由y1＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，
y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数
f(x)＝lg2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝lg2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（1）＜0,f（2）＞0))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg21＋12＋m＜0,lg22＋22＋m＞0))，
解得－5＜m＜－1，
所以实数m的取值范围是(－5，－1).故选B.]
4.B [令f(x)＝0可得lgeq \f(2,5π)x＝sin x，作出函数y＝lgeq \f(2,5π)x，y＝sin x的图象如下图所示：
当x＞eq \f(5π,2)时，lgeq \f(2,5π)x＜lgeq \f(2,5π)eq \f(5π,2)＝－1，
又因为－1≤sin x≤1，所以函数y＝lgeq \f(2,5π)x，
y＝sin x在(eq \f(5π,2)，＋∞)上的图象没有交点，观察图象可知，函数y＝lgeq \f(2,5π)x，y＝sin x的图象有三个交点，因此函数f(x)的零点个数为3.故选B.]
5.D [g(x)＝f(x)＋x＋2a存在2个零点，
故函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－2a有2个交点，画出函数f(x)的图象，如图，平移直线y＝－x，可以看出当且仅当－2a≤1，
即a≥－eq \f(1,2)时，直线y＝－x－2a与函数y＝f(x)的图象有2个交点. 故选D.]
6.B [由题意知，如图1，把a的值看成函数y1＝2－x与y2＝x＋2图象的交点的横坐标，因为2－(－1)＞－1＋2，20＜0＋2，易知－1＜a＜0；如图2，把b的值看成函数y3＝lg2x与y4＝－x－2图象的交点的横坐标，由lg21＞－1－2，易知0＜b＜1；
如图3，把c的值看成函数y5＝x3与y6＝x＋2图象的交点的横坐标，由13＜1＋2，与23＞2＋2，易知1＜c＜2，所以a＜b＜c.故选B.]
7.D [作出函数
f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin πx，x∈[0，2]，,lg2 023（x－1），x∈（2，＋∞）))的图象，
如图所示：
不妨设a＜b＜c，因为f(a)＝f(b)＝f(c)，
由函数的性质得a＋b＝1，
0＜lg2 023(c－1)＜1，
即c∈[2，2 024)，所以a＋b＋c∈[3，2 025)，
故选D.]
8.B [当x∈[3.5，＋∞)时，f(x)＝b－x为减函数，故5和4只有一个是函数的零点，即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确.由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0，则f(0)＝lg22－a＝0，可得a＝1.
①若甲正确，则f(5)＝b－5＝0，则b＝5，
可得 f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x＋2）－1，0≤x＜3.5，,5－x，x≥3.5；))
由f(x)＝1，可得lg2(x＋2)－1＝1，0≤x＜3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f(x)＝1有两个不等的实根，故丁正确.
若甲正确，则乙错误；
②若乙正确，则f(4)＝0，
即b－4＝0，则b＝4，
可得f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2（x＋2）－1，0≤x＜3.5，,4－x，x≥3.5，))
由f(x)＝1，可得lg2(x＋2)－1＝1，0≤x＜3.5或4－x＝1，x≥3.5，解得x＝2，
方程f(x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意.综上，甲正确，乙错误，故选B.]
9.BCD [当a＝0时，函数y＝ax2－x－2a有唯一零点x＝0，故A不正确；当a≠0时，由y＝ax2－x－2a＝0，Δ＝1＋8a2＞0，所以函数一定有两个零点，故B、C正确；所以函数的零点个数是1或2，故D正确.故选BCD.]
10.AB [由已知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上也单调递增，f(0)＝0，由f(－1)＝f(3)＝2，得f(1)＝f(－3)＝－2.
对于A，因为f(x)在(－∞，0)上单调递增，
所以f(－2)＞f(－3)＝－2，A正确；
对于B，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f(1)＝－2，f(3)＝2，
故在(0，＋∞)上有且只有一个x0∈(1，3)，使f(x0)＝0，同理f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝2，f(－3)＝－2，
故在(－∞，0)上有且只有一个x1∈(－3，－1)，使f(x1)＝0，
又f(0)＝0，所以f(x)有3个零点，B正确；
对于C，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f(2)＞f(1)＝－2，C错误；
对于D，f(5)＞f(3)＝2，
f(－eq \f(1,2))＞f(－1)＝2，
易知f(5)与f(－eq \f(1,2))无法比较大小，D不一定正确.故选AB.]
11.BC [由题意
可知：当x≤0时，f(x)在
(－∞，0]上单调递减，则f(x)≥f(0)＝t；
当x＞0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)＞2ln 1－1＝－1.
若函数y＝f(f(x))恰好有4个不同的零点，
令u＝f(x)，则y＝f(u)有两个零点，可得：
当u＞0时，则2ln(u＋1)－1＝0，
解得u＝eq \r(e)－1＞0；
当u＜0时，则u2－2u＋t＝0，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t≤0，,u＝1－\r(1－t)，))
可得f(x)＝eq \r(e)－1和f(x)＝1－eq \r(1－t)均有两个不同的实根，
即y＝f(x)与y＝eq \r(e)－1，y＝1－eq \r(1－t)均有两个交点，
不论t与－1的大小关系，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(e)－1＞－1，,\r(e)－1≥t))且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－\r(1－t)＞－1，,1－\r(1－t)≥t，))
解得－3＜t≤0，综上所述：实数t的取值范围为(－3，0].
又－3∉(－3，0]，－2∈(－3，0]，0∈(－3，0]，2∉(－3，0]，故A，D错误，B，C正确.
故选BC.]
12.0，1，－1 [设幂函数f(x)＝xα，因为函数y＝f(x)的图象过点P(2，8)，所以8＝2α，
解得α＝3，所以f(x)＝x3，
则函数y＝f(x)－x的零点为方程
f(x)－x＝x3－x＝x(x2－1)＝0的根，
解得x＝0或x＝±1，
所以函数y＝f(x)－x的零点为0，1，－1.]
13.生产的摩托车数量在51到59辆 [由题意得－20x2＋2 200x＞60 000，
化简得x2－110x＋3 000＜0，
得(x－50)(x－60)＜0，解得50＜x＜60，
因为x取正整数，所以该工厂在这周内生产的摩托车数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标.]
14.[0，eq \f(e,3)) [当x≤0时，0＜ex≤1，
则a＜f(x)≤1＋a.
若a＞0，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋3a)＞
ln(3a)，
因为方程f(x)＝1有两个不相等的实数根，如图1，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＞0，,a＜1≤1＋a,ln（3a）＜1，))
即0＜a＜eq \f(e,3).
若a≤0，当x＞0时，f(x)＝ln(x＋3a)，
此时方程f(x)＝1有1个解，
如图2，当x≤0时，方程f(x)＝1有1个解需满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a≤0,a＜1≤1＋a))，即a＝0.
综上所述，实数a的取值范围为[0，eq \f(e,3)).]