分布列、期望与方差 小题限时训练--2025届高三数学二轮复习

这是一份分布列、期望与方差 小题限时训练--2025届高三数学二轮复习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·新乡质检]已知随机变量X的分布列如表所示，则E(X)＝( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,3)
2.[2024·葫芦岛调研]设随机变量ξ的分布列如下表，则P(eq \f(2ξ－5,ξ－4)＜1)＝( )
A.eq \f(5,12) B.eq \f(1,2) C.eq \f(7,12) D.eq \f(1,6)
3.[2024·东莞调研]一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为X，则等于eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,22)＋Ceq \\al(3,22),Ceq \\al(3,25))的是( )
A.P(X＞2) B.P(1＜X＜2)
C.P(X≤1) D.P(X＞1)
4.[2024·菏泽调研]已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：
甲产业收益分布列
乙产业收益分布列
则下列说法正确的是( )
A.甲产业收益的期望大，风险高 B.甲产业收益的期望小，风险小
C.乙产业收益的期望大，风险小 D.乙产业收益的期望小，风险高
5.[2024·张家口调研]设随机变量X的分布列如表(其中0＜p＜1)，D(X)表示X的方差，则当p从0增大到1时( )
A.D(X)增大 B.D(X)减小
C.D(X)先减后增 D.D(X)先增后减
6.[2024·北京十二中调研]某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为p1＝0.9，p2＝0.75，p3＝0.3，p4＝0.2，用“ξi＝1”表示员工支持第i种方案，用“ξi＝0”表示员工不支持第i种方案(i＝1，2，3，4)，那么方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)的大小关系为( )
A.D(ξ1)＜D(ξ2)＜D(ξ3)＜D(ξ4) B.D(ξ4)＜D(ξ3)＜D(ξ2)＜D(ξ1)
C.D(ξ2)＜D(ξ3)＜D(ξ1)＜D(ξ4) D.D(ξ1)＜D(ξ4)＜D(ξ2)＜D(ξ3)
7.[2024·鞍山调研]已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是( )
A.E(2X＋1)＝160
B.P(X＝30)＝Ceq \\al(30,100)
C.D(2X＋1)＝32
D.存在k≠50，使得P(X＝k)＝P(X＝100－k)成立
8.[2024·厦门调研]某高二学生在参加物理、历史的学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的学考科目数”，其分布列如表所示，则D(X)的最大值是( )
A.eq \f(32,81) B.eq \f(4,9) C.eq \f(17,36) D.eq \f(47,81)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2023·扬州模拟]已知两个离散型随机变量X，Y，满足Y＝2X－1，其中X的分布列如表.若E(X)＝1，则( )
A.a＝eq \f(1,6) B.b＝eq \f(2,3) C.E(Y)＝2 D.D(Y)＝eq \f(4,3)
10.[2024·山东省实验中学调研]设0＜p＜1，已知随机变量ξ的分布
列如表，则下列结论正确的是( )
A.P(ξ＝2)的值最大 B.P(ξ＝0)＞P(ξ＝1)
C.E(ξ)随着p的增大而减小 D.当p＝eq \f(1,3)时，D(ξ)＝eq \f(68,81)
11.[2024·长春实验中学调研]将5个质地和大小均相同的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋中装有1个黑球和1个白球，乙袋中装有2个黑球和1个白球.采用不放回抽取的方式，先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋中的1个黑球被取出后再用同一方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋中的2个黑球全部取出后停止.记总抽取次数为X，下列说法正确的是( )
A.P(X＝3)＝eq \f(1,6)
B.E(X)＝eq \f(25,6)
C.已知从甲袋第一次就取到了黑球，则P(X＝4)＝eq \f(1,2)
D.若把这5个球放进一个袋子里去，每次随机抽取一个球，取后不放回，直到将袋中的黑球全部取出后停止，记总抽取次数为Y，则E(Y)＜E(X)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·珠海调研]已知离散型随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝eq \f(a,k（k＋1）)，k＝1，2，3，4，5，6，其中a是常数，则P(eq \f(1,2)＜X＜4)＝________.
13.[2023·汕头质检]现要发行10 000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张，则1张彩票中奖金额的均值是______元.
14.[2024·北京房山调研]袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，每次任取一个球(不放回)，直至取到白球后停止取球，给出下列四个结论：
①抽取2次后停止取球的概率为eq \f(3,5)；②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的概率为eq \f(9,10)；③取球次数X的期望为2；④取球次数X的方差为eq \f(9,20).
其中所有正确结论的序号是__________.
分布列、期望与方差
1.D [由题可知，eq \f(1,3)＋m＋eq \f(7,6)－2m＝1，
解得m＝eq \f(1,2)，
则E(X)＝0×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＋4×eq \f(1,6)＝eq \f(5,3).
故选D.]
2.C [根据题意，eq \f(2ξ－5,ξ－4)＜1，解得1＜ξ＜4，
则P(eq \f(2ξ－5,ξ－4)＜1)＝P(1＜ξ＜4)，
结合分布列：P(1＜ξ＜4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝4)＝1－eq \f(1,12)－eq \f(1,3)＝eq \f(7,12).故选C.]
3.C [由题设，取出的3个球中没有白球的概率为eq \f(Ceq \\al(3,22),Ceq \\al(3,25))，取出的3个球中有一个白球的概率为eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,22),Ceq \\al(3,25))，所以目标式表示P(X≤1).故选C.]
4.A [由题意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，
D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；
E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1.0，
D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，
故E(X)＞E(Y)，D(X)＞D(Y)，即甲产业收益的期望大，风险高，故选A.]
5.D [由分布列可得E(X)＝0×eq \f(1－p,2)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)＋p，
D(X)＝eq \f(1－p,2)(eq \f(1,2)＋p)2＋eq \f(1,2)(eq \f(1,2)＋p－1)2＋eq \f(p,2)(eq \f(1,2)＋p－2)2＝－p2＋p＋eq \f(1,4)
＝－(p－eq \f(1,2))2＋eq \f(1,2)，
因为0＜p＜1，所以D(X)先增后减，故选D.]
6.D [由题意可知：用“ξi＝1”表示员工支持第i种方案，用“ξi＝0”表示员工不支持第i种方案(i＝1，2，3，4)，所以随机变量ξi(i＝1，2，3，4)服从两点分布，
则D(ξ1)＝p1(1－p1)＝0.9×0.1＝0.09，
D(ξ2)＝p2(1－p2)＝0.75×0.25＝0.187 5，
D(ξ3)＝p3(1－p3)＝0.3×0.7＝0.21，
D(ξ4)＝p4(1－p4)＝0.2×0.8＝0.16，
所以D(ξ1)＜D(ξ4)＜D(ξ2)＜D(ξ3)，D选项正确.故选D.]
7.B [由题意可得X～B(100，0.8)，
则E(X)＝100×0.8＝80，
D(X)＝100×0.8×(1－0.8)＝16，
所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝161，
D(2X＋1)＝4D(X)＝64，故AC错误；
由二项分布的概率公式得
P(X＝30)＝Ceq \\al(30,100)，故B正确；
P(X＝k)＝Ceq \\al(k,100)·0.8k·0.2100－k，
P(X＝100－k)＝Ceq \\al(100－k,100)·0.8100－k·0.2k，
若P(X＝k)＝P(X＝100－k)，
则Ceq \\al(k,100)·0.8k·0.2100－k＝Ceq \\al(100－k,100)·0.8100－k·0.2k，化简得0.82k－100＝0.22k－100，解得k＝50，与条件矛盾，即D错误.故选B.]
8.B [由分布列的性质可得
a＋b＝1－eq \f(1,9)＝eq \f(8,9)，所以a＝eq \f(8,9)－b，
所以E(X)＝0＋b＋2×eq \f(1,9)＝b＋eq \f(2,9)，
E(X2)＝0＋b＋4×eq \f(1,9)＝b＋eq \f(4,9)，
所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝b＋eq \f(4,9)－(b＋eq \f(2,9))2＝－b2＋eq \f(5,9)b＋eq \f(32,81).
设该生物理、历史学考获得等级A的概率分别为p1，p2，则有p1p2＝eq \f(1,9)，则b＝p1(1－p2)＋p2(1－p1)＝p1＋p2－2p1p2＝p1＋p2－eq \f(2,9)≥2eq \r(p1p2)－eq \f(2,9)＝eq \f(4,9)，
当且仅当p1＝p2＝eq \f(1,3)时取等号，
所以eq \f(4,9)≤b＜eq \f(8,9).
因为函数f(b)＝－b2＋eq \f(5,9)b＋eq \f(32,81)
在[eq \f(4,9)，eq \f(8,9)))上单调递减，
所以D(X)＝－b2＋eq \f(5,9)b＋eq \f(32,81)≤－(eq \f(4,9))2＋eq \f(5,9)×eq \f(4,9)＋eq \f(32,81)＝eq \f(4,9).故选B.]
9.ABD [由分布列的性质，
可得eq \f(1,6)＋a＋b＝1，解得a＋b＝eq \f(5,6).①
因为E(X)＝1，
所以0×a＋1×b＋2×eq \f(1,6)＝1，即b＝eq \f(2,3)，②
联立①②解得a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(2,3)，
所以D(X)＝(0－1)2×eq \f(1,6)＋(1－1)2×eq \f(2,3)＋(2－1)2×eq \f(1,6)＝eq \f(1,3).
因为Y＝2X－1，所以E(Y)＝2E(X)－1＝1，D(Y)＝4D(X)＝4×eq \f(1,3)＝eq \f(4,3).故选ABD.]
10.BCD [当p＝eq \f(1,2)时，P(ξ＝2)＝0，
P(ξ＝1)＝eq \f(1,4)，
P(ξ＝1)＞P(ξ＝2)，故A错误；
∵0＜p＜1，∴p(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝2p－p2－p2＝2p(1－p)＞0，
∴P(ξ＝0)＞P(ξ＝1)，故B正确；
∵E(ξ)＝p2＋2－4p＝(p－2)2＋2，0＜p＜1，
∴E(ξ) 随着 p 的增大而减小， 故C正确；
当 p＝eq \f(1,3) 时， E(ξ)＝0×eq \f(5,9)＋1×eq \f(1,9)＋2×eq \f(1,3)＝eq \f(7,9)，
D(ξ)＝(0－eq \f(7,9))2×eq \f(5,9)＋(1－eq \f(7,9))2×eq \f(1,9)＋(2－eq \f(7,9))2×eq \f(1,3)＝eq \f(68,81)，故D正确.
故选BCD.]
11.AB [设从甲袋第一次就取到了黑球为事件A，则P(A)＝eq \f(1,2)，设X＝4为事件B，
则P(AB)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
所以P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(\f(1,3),\f(1,2))＝eq \f(2,3)，
C选项错误；
X可能的取值为3，4，5，
P(X＝3)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，
P(X＝4)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,2)，
P(X＝5)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
E(X)＝3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,2)＋5×eq \f(1,3)＝eq \f(25,6)，
选项AB正确；
Y可能的取值为3，4，5，
P(Y＝3)＝eq \f(3,5)×eq \f(2,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10)，
P(Y＝4)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,10)，
P(Y＝5)＝Ceq \\al(2,4)×eq \f(2,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,5)，
E(Y)＝3×eq \f(1,10)＋4×eq \f(3,10)＋5×eq \f(3,5)＝4.5，
E(Y)＞E(X)，选项D错误；故选AB.]
12.eq \f(7,8) [因为P(X＝k)＝eq \f(a,k（k＋1）)，k＝1，2，3，4，5，6，
所以eq \f(a,2)＋eq \f(a,6)＋eq \f(a,12)＋eq \f(a,20)＋eq \f(a,30)＋eq \f(a,42)＝1，
所以a＝eq \f(7,6)，
所以P(eq \f(1,2)＜X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(7,12)＋eq \f(7,36)＋eq \f(7,72)＝eq \f(7,8).]
13.2 [设每张彩票的中奖金额为随机变量X，则X＝0，2，10，50，100，1 000.
由题意可知，
P(X＝2)＝eq \f(1 000,10 000)＝0.1，
P(X＝10)＝eq \f(300,10 000)＝0.03，
P(X＝50)＝eq \f(100,10 000)＝0.01，
P(X＝100)＝eq \f(50,10 000)＝0.005，
P(X＝1 000)＝eq \f(5,10 000)＝0.000 5，
所以P(X＝0)＝1－0.1－0.03－0.01－0.005－0.000 5＝0.854 5.
所以X的分布列为
所以E(X)＝0＋2×0.1＋10×0.03＋50×
0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2.]
14.②④ [①抽取2次后停止取球的情况为“第一次是黑球，第二次是白球”，
所以概率为eq \f(Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(1,5))×eq \f(Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(1,4))＝eq \f(3,10)，故①错；
②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的情况为：“白球1个，黑球0个，第1次是白球”或“白球1个，黑球1个，且第2次是白球”，所以概率为：eq \f(Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(1,5))＋eq \f(Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(1,5))×eq \f(Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(1,4))＝eq \f(9,10)，故②正确；
③取球次数X的取值为1，2，3，
则P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(1,5))＝eq \f(3,5)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(1,5))×eq \f(Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(1,4))＝eq \f(3,10)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(1,5))×eq \f(Ceq \\al(1,1),Ceq \\al(1,4))×eq \f(Ceq \\al(1,3),Ceq \\al(1,3))＝eq \f(1,10)，
所以分布列为
E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(15,10)＝eq \f(3,2).
取球次数X的期望为eq \f(3,2)，故③错误；
④取球次数X的方差D(X)＝(1－eq \f(3,2))2×eq \f(3,5)＋(2－eq \f(3,2))2×eq \f(3,10)＋(3－eq \f(3,2))2×eq \f(1,10)＝eq \f(9,20).故④正确.]
X
0
2
4
P
eq \f(1,3)
m
eq \f(7,6)－2m
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,12)
a
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
收益X/亿元
－1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y/亿元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
X
0
1
2
P
eq \f(1－p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(p,2)
X
0
1
2
P
a
b
eq \f(1,9)
X
0
1
2
P
a
b
eq \f(1,6)
ξ
0
1
2
P
2p－p2
p2
1－2p
ξ
0
1
2
P
eq \f(5,9)
eq \f(1,9)
eq \f(1,3)
X
0
2
10
50
100
1 000
P
0.854 5
0.1
0.03
0.01
0.005
0.000 5
X
1
2
3
P
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,10)