基本初等函数 小题限时训练--2025届高三数学二轮复习

这是一份基本初等函数 小题限时训练--2025届高三数学二轮复习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·天津滨海新区调研]lg 5×lg 20＋lg22－elneq \f(2,3)的值为( )
A.0 B.1 C.eq \f(1,3) D.eq \f(5,3)
2.[2024·济宁调研]已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为( )
A.－3 B.－1 C.3 D.－1或3
3.[2024·开封模拟]已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(ln 2 024)＋f(ln eq \f(1,2 024))的值为( )
A.2 024 B.－2 024 C.0 D.1
4.[2024·西安模拟]已知函数f(x)＝eq \f(1,ex－1)，则对任意非零实数x，有( )
A.f(－x)－f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝－1
C.f(－x)＋f(x)＝1 D.f(－x)＋f(x)＝－1
5.[2024·福州质检]为落实党的二十大提出的加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x(单位：万元)的Lgistic模型：P(x)＝eq \f(e－0.968 0＋kx,1＋e－0.968 0＋kx)，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为(精确到0.01万元，参考数据：ln 3≈1.098 6，ln 2≈0.693 1)( )
万元 万元 万元 万元
6.[2024·长春调研]函数f(x)＝xa－2与g(x)＝(eq \f(4,a))－x在(0，＋∞)上均单调递减的一个充要条件是( )
A.a∈(0，2) B.a∈[0，1)
C.a∈[1，2) D.a∈(1，2]
7.[2024·上海模拟]下列函数中，在定义域内不是奇函数的是( )
A.y＝lg(x＋eq \r(x2＋10)) B.y＝ln(eq \f(10－x,10＋x))
C.y＝eq \f(10x－1,10x＋1) D.y＝x－eq \f(10,x)
8.[2024·南京调研]已知函数f(x)＝lg2[x(a－x)]在区间(0，1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2] B.[－2，0)C.(0，2] D.[2，＋∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·汕尾模拟]已知实数a，b满足等式(eq \f(1,2))a＝(eq \f(1,3))b，则下列各式不可能成立的有( )
A.a＝b B.0＞b＞aC.b＞a＞0 D.0＞a＞b
10.[2024·福州调研]已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－9对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，都满足eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，若f(a)＋f(b)＞0，则( )
A.a＋b＜0 B.a＋b＞0
C.f(eq \f(a＋b,2))≥eq \f(f（a）＋f（b）,2) D.f(eq \f(a＋b,2))≤eq \f(f（a）＋f（b）,2)
11.[2024·成都石室中学调研]已知函数f(x)＝a(eq \f(1,2))|x|＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与y＝2相交，函数g(x)＝2－x2.下列关于函数F(x)＝max{f(x)，g(x)}的判断正确的有( )
A.函数F(x)是偶函数 B.函数F(x)在(－∞，－2)上单调递减
C.函数F(x)的最大值为2 D.方程F(x)＝eq \f(1,2)恰有两根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·嘉兴模拟]若函数f(x)＝lg2|a＋x|的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________.
13.[2023·广州模拟]十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(eq \f(1,3)，eq \f(2,3))，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0，eq \f(1,3)]，[eq \f(2,3)，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于eq \f(99,100)，则需要操作的次数n的最小值为__________.(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
14.[2023·湖南长郡中学模拟]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lgax，0＜x＜\f(1,2),a－x，x≥\f(1,2)))(a＞0且a≠1)，若对任意x＞0，f(x)≥x2，则实数a的取值范围为________.
基本初等函数
1.C [lg 5×lg 20＋lg22－eln eq \f(2,3)＝(1－lg 2)×(lg 2＋1)＋lg22－eq \f(2,3)＝1－lg22＋lg22－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).故选C.]
2.B [因为函数f(x)＝(m2－2m－2)xm为幂函数，所以m2－2m－2＝1，即m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1，又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m＝－1，故选B.]
3.C [因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
即f(0)＝0，
所以f(ln 2 024)＋f(ln eq \f(1,2 024))＝f(ln 2 024－ln 2 024)＝f(0)＝0.故选C.]
4.D [函数f(x)＝eq \f(1,ex－1)，x≠0，
则f(－x)－f(x)＝eq \f(1,e－x－1)－eq \f(1,ex－1)＝eq \f(ex,1－ex)－eq \f(1,ex－1)＝－eq \f(ex＋1,ex－1)，显然f(－x)－f(x)≠0，且f(－x)－f(x)≠－1，A，B错误；
f(－x)＋f(x)＝eq \f(1,e－x－1)＋eq \f(1,ex－1)＝eq \f(ex,1－ex)＋eq \f(1,ex－1)＝－1，D正确，C错误.故选D.]
5.A [依题意，x＝8时，P(x)＝0.5，
即eq \f(e－0.968 0＋8k,1＋e－0.968 0＋8k)＝0.5，e－0.968 0＋8k＝1，
解得k＝0.121 0.
令eq \f(e－0.968 0＋0.121 0x,1＋e－0.968 0＋0.121 0x)＝0.4，
得e－0.968 0＋0.121 0x＝eq \f(2,3)，
－0.968 0＋0.121 0x＝ln 2－ln 3≈－0.405 5，解得x≈4.65.故选A.]
6.A [由函数f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上单调递减，得a－2＜0即a＜2；由函数g(x)＝(eq \f(4,a))－x＝(eq \f(a,4))x在(0，＋∞)上单调递减，可得0＜eq \f(a,4)＜1，解得0＜a＜4.若函数f(x)＝xa－2与g(x)＝(eq \f(4,a))－x均单调递减，
可得0＜a＜2，所以函数f(x)＝xa－2与
g(x)＝(eq \f(4,a))－x均单调递减的一个充要条件是a∈(0，2).故选A.]
7.A [对于A，令f(x)＝lg(x＋eq \r(x2＋10))，
由eq \r(x2＋10)＞eq \r(x2)≥－x，
得x＋eq \r(x2＋10)＞0，f(x)的定义域为R，
f(－x)＋f(x)＝lg[－x＋eq \r(（－x）2＋10)]＋lg(x＋eq \r(x2＋10))＝1，
函数f(x)不是奇函数；
对于B，令g(x)＝ln(eq \f(10－x,10＋x))，
由eq \f(10－x,10＋x)＞0，得－10＜x＜10，
即函数g(x)的定义域为(－10，10)，
g(－x)＋g(x)＝ln(eq \f(10＋x,10－x))＋ln(eq \f(10－x,10＋x))＝0，函数g(x)是奇函数；
对于C，令h(x)＝eq \f(10x－1,10x＋1)，
显然函数h(x)的定义域为R，
h(－x)＝eq \f(10－x－1,10－x＋1)＝eq \f(1－10x,1＋10x)＝－h(x)，
函数h(x)是奇函数；
对于D，令φ(x)＝x－eq \f(10,x)，函数φ(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，φ(－x)＝－x＋eq \f(10,x)
＝－φ(x)，函数φ(x)是奇函数.故选A.]
8.D [函数f(x)＝lg2[x(a－x)]可看作函数y＝lg2t，t＝x(a－x)的复合函数，
又函数y＝lg2t在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝lg2[x(a－x)]在区间(0，1)上单调递增，则有函数t＝x(a－x)＝－(x－eq \f(a,2))2＋eq \f(a2,4)在区间(0，1)上单调递增，且x(a－x)＞0在区间(0，1)上恒成立，因此eq \f(a,2)≥1，
解得a≥2，所以实数a的取值范围是
[2，＋∞).故选D.]
9.CD [作出函数y＝(eq \f(1,2))x和y＝(eq \f(1,3))x的图象如图所示：
设(eq \f(1,2))a＝(eq \f(1,3))b＝m，m＞0，
当m＞1时，由图可知a＜b＜0；
当m＝1时，由图可知a＝b＝0；
当0＜m＜1时，由图可知a＞b＞0，
故选CD.]
10.BD [因为f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－9为幂函数，所以m2－2m－2＝1，
解得m＝－1或m＝3.
因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，都满足eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以m2＋m－9＞0.当m＝－1时，(－1)2＋(－1)－9＝－9＜0，不合题意，
当m＝3时，32＋3－9＝3＞0，
所以f(x)＝x3.
因为f(－x)＝(－x)3＝－x3，
所以f(x)为奇函数，
所以由f(a)＋f(b)＞0，
得f(a)＞－f(b)＝f(－b).
因为f(x)＝x3在R上为增函数，
所以a＞－b，所以a＋b＞0，
所以A错误，B正确；
对于CD，因为a＋b＞0，
所以eq \f(f（a）＋f（b）,2)－f(eq \f(a＋b,2))＝eq \f(a3＋b3,2)－(eq \f(a＋b,2))3＝eq \f(4a3＋4b3－（a3＋3a2b＋3ab2＋b3）,8)
＝eq \f(3（a3＋b3－a2b－ab2）,8)＝eq \f(3[a2（a－b）－b2（a－b）],8)
＝eq \f(3（a－b）2（a＋b）,8)≥0，
所以eq \f(f（a）＋f（b）,2)≥f(eq \f(a＋b,2))，
所以C错误，D正确，故选BD.]
11.ABC [由条件可知，f(0)＝a＋b＝0，
当x趋向正无穷时，y趋向b，
所以b＝2，
则a＝－2，
即f(x)＝－2·(eq \f(1,2))|x|＋2.
令f(x)＝g(x)，
即－2·(eq \f(1,2))|x|＋2＝2－x2，得x＝±1，
如图，画出函数F(x)＝max{f(x)，g(x)}的图象，函数F(x)是偶函数，在区间(－∞，－2)上单调递减，当x＝0时，函数取得最大值2，F(x)＝eq \f(1,2)无实数根，故ABC正确，D错误.故选ABC.]
12.[1，＋∞) [函数f(x)＝lg2|a＋x|的图象关于x＝－a对称，其定义域为{x|x≠－a}，
作出函数
f(x)＝lg2|a＋x|的大致图象如图所示，由图可得，要使函数
f(x)＝lg2|a＋x|的图象不过第四象限，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）≥0,－a＜0))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2|a|≥0,－a＜0))，解得a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，＋∞).]
13.12 [由题意可知，每次操作剩下的区间长度都是原来的eq \f(2,3)，第n次操作后剩下的区间长度为(eq \f(2,3))n，则所有去掉的区间长度之和为1－(eq \f(2,3))n，
由题意知，1－(eq \f(2,3))n≥eq \f(99,100)，
得(eq \f(2,3))n≤eq \f(1,100)，
两边取对数得n(lg 2－lg 3)≤－2，解得n≥11.36，
又n为整数，∴n的最小值为12.]
14.[eq \f(1,16)，e－eq \f(2,e)] [当0＜x＜eq \f(1,2)时，f(x)＝lgax≥x2，
由图可知，0＜a＜1，
此时若对任意0＜x＜eq \f(1,2)，
lgax≥x2，只需lgaeq \f(1,2)≥eq \f(1,4)，
即lgaeq \f(1,2)≥lgaaeq \s\up6(\f(1,4))，
∴aeq \s\up6(\f(1,4))≥eq \f(1,2)，
即a≥eq \f(1,16)，∴eq \f(1,16)≤a＜1；
当x≥eq \f(1,2)时，f(x)＝(eq \f(1,a))x≥x2，
此时若对任意x≥eq \f(1,2)，(eq \f(1,a))x≥x2，
即ln(eq \f(1,a))x≥ln x2，
∴xln(eq \f(1,a))≥2ln x，
∴ln(eq \f(1,a))≥eq \f(2ln x,x)，
∴只需ln(eq \f(1,a))≥(eq \f(2ln x,x))max.
令g(x)＝eq \f(2ln x,x)，
则g′(x)＝eq \f(2－2ln x,x2)，
当x∈(0，e)，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当x∈(e，＋∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
∴g(x)max＝g(e)＝eq \f(2,e)，
∴ln(eq \f(1,a))≥eq \f(2,e)，a≤e－eq \f(2,e).
综上，eq \f(1,16)≤a≤e－eq \f(2,e).]