复数小题限时训练-2025届高三数学二轮复习

这是一份复数小题限时训练-2025届高三数学二轮复习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·扬州模拟]已知复数(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i(m∈R)是纯虚数，则m＝( )
A.1 B.1或－4 C.4 D.4或6
2.[2024·瑞金模拟]若复数z满足eq \f(（1－i）\(z,\s\up6(－)),i)＝2i－3，则z的虚部为( )
A.－eq \f(5,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(5,2) D.eq \f(5,2)i
3.[2023·郑州模拟]已知(3＋ai)(－1＋i)＝－b＋2i(a，b∈R，i为虚数单位)，则复数|a－eq \f(1,2)bi|＝( )
A.2 B.eq \r(5) C.eq \r(7) D.6
4.[2024·东莞模拟]若复数z满足(3－4i)·z＝|4＋3i|，则eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A.eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i B.eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)IC.－eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i D.－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i
5.[2024·武汉模拟]如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，则eq \f(z1＋z2,i·z2)＝( )
A.eq \f(3,2)－eq \f(1,2)i B.eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)i C.－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)i D.－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)i
6.[2023·德州质检]若复数z满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z＋\(z,\s\up6(－))＜0，,（z－\(z,\s\up6(－))）i3＜0，))其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
7.[2023·广州模拟]棣莫弗公式(cs x＋isin x)n＝cs nx＋isin nx(i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的，根据棣莫弗公式，已知复数ω＝cs eq \f(2π,3)＋i·sin eq \f(2π,3)，则ω4的值是( )
A.－ω B.eq \f(1,ω) C.ω D.eq \(ω,\s\up6(－))
8.[2024·安庆模拟]设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋eq \r(3)＋i|取最大值时的复数z为( )
A.eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i B.－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)IC.eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i D.－eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)i
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2023·漳州质检]已知复数z满足z(1＋i)＝2，则( )
A.|z|＝2 B.eq \(z,\s\up6(－))＝1＋IC.z2＝2i D.z·eq \(z,\s\up6(－))＝2
10.[2023·青岛质检]若关于x的方程x2＝－4的复数解为z1，z2，则( )
A.z1·z2＝－4
B.z1与z2互为共轭复数
C.若z1＝2i，则满足z·z1＝2＋i的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D.若|z|＝1，则|z－z1·z2|的最小值是3
11.[2024·杭州模拟]已知非零复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，则( )
A.当|z1＋z2|＝|z1－z2|时，eq \(OZ1,\s\up6(→))·eq \(OZ2,\s\up6(→))＝0
B.当|z1＋z2|＝|z1－z2|时，z1·z2＝0
C.若|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|，则存在实数t，使得z2＝tz1
D.若|z1＋1|＝|z2＋1|，则|z1|＝|z2|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·绍兴模拟]已知a，b∈R，若1＋i是关于x的实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根，其中i是虚数单位，则a＋b＝__________.
13.[2023·开封质检]已知复数z满足|z＋2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________.
14.[2023·常州质检]18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z|＝|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离. 若复数z满足1≤|z|≤eq \r(2)，则复数z对应的点所构成的图形面积为______________.
复数
1.A [因为复数(m2＋3m－4)＋(m2－2m－24)i(m∈R)是纯虚数，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋3m－4＝0，,m2－2m－24≠0，))解得m＝1.故选A.]
2.C [因为eq \f(（1－i）\(z,\s\up6(－)),i)＝2i－3，所以eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(i（2i－3）,1－i)＝eq \f(－2－3i,1－i)＝eq \f(（－2－3i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq \f(1,2)－eq \f(5,2)i，
所以z＝eq \f(1,2)＋eq \f(5,2)i，其虚部为eq \f(5,2).故选C.]
3.B [∵(3＋ai)(－1＋i)＝－b＋2i，
∴(3－a)i－a－3＝2i－b，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a－3＝－b，,3－a＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝4，))
所以|a－eq \f(1,2)bi||＝|1－2i|＝eq \r(5).故选B.]
4.A [因为|4＋3i|＝eq \r(42＋32)＝5，
所以z＝eq \f(5,3－4i)＝eq \f(5（3＋4i）,（3－4i）（3＋4i）)＝eq \f(5（3＋4i）,25)＝eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，所以eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i.故选A.]
5.C [由题图知：z1＝1－2i，z2＝1＋i，
所以eq \f(z1＋z2,i·z2)＝eq \f(2－i,i·（1＋i）)＝eq \f(2－i,－1＋i)
＝eq \f(（2－i）（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)i，故选C.]
6.C [设z＝a＋bi，a，b∈R，则eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，z＋eq \(z,\s\up6(－))＝a＋bi＋a－bi＝2a＜0，(z－eq \(z,\s\up6(－)))i3＝(a＋bi－a＋bi)i3＝2bi4＝2b＜0，所以a＜0，b＜0，所以z在复平面内所对应的点(a，b)在第三象限.故选C.]
7.C [依题意知，ω＝cs eq \f(2π,3)＋i·sin eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，由棣莫弗公式，
得ω4＝(cs eq \f(2π,3)＋i·sin eq \f(2π,3))4＝cs eq \f(8π,3)＋i·sin eq \f(8π,3)＝cs(3π－eq \f(π,3))＋i·sin(3π－eq \f(π,3))＝－cs eq \f(π,3)＋i·sin eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，
所以ω4＝ω.故选C.]
8.A [复数z满足条件|z|＝1，
它对应的点构成复平面上的单位圆，|z＋eq \r(3)＋i|表示单位圆上的点到Q(－eq \r(3)，－1)的距离，使此距离取得最大值的复数z对应的点是(－eq \r(3)，－1)和(0，0)的连线与单位圆在第一象限的交点M.
∵点(－eq \r(3)，－1)到原点距离是2，单位圆半径是1，又∠MOx＝30°，所以M(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2)).
故对应的复数为eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)i.故选A.]
9.BD [∵z(1＋i)＝2, ∴z＝eq \f(2,1＋i)＝1－i，
∴|z|＝eq \r(12＋（－1）2)＝eq \r(2)，eq \(z,\s\up6(－))＝1＋i，
z2＝(1－i)2＝－2i，
z·eq \(z,\s\up6(－))＝(1－i)(1＋i)＝2，故选BD.]
10.BD [因为(±2i)2＝－4，因此不妨令方程
x2＝－4的复数解z1＝2i，z2＝－2i.
对于A，z1·z2＝2i·(－2i)＝4，A错误；
对于B，z1与z2互为共轭复数，B正确；
对于C，z1＝2i，由z·z1＝2＋i，
得z＝eq \f(2＋i,2i)＝eq \f(（2＋i）·（－i）,2i·（－i）)＝eq \f(1－2i,2)＝eq \f(1,2)－i，则复数z在复平面内对应的点(eq \f(1,2)，－1)在第四象限，C错误；
对于D，设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|＝1，
得x2＋y2＝1，显然有－1≤x≤1，
由选项A知z1·z2＝4，
因此|z－z1·z2|＝|(x－4)＋yi|＝eq \r(（x－4）2＋y2)＝eq \r(17－8x)≥3，
当且仅当x＝1，即z＝1时取等号，D正确.
故选BD.]
11.AC [对A，|z1＋z2|＝|z1－z2|
即|eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))|＝|eq \(OZ1,\s\up6(→))－eq \(OZ2,\s\up6(→))|，
两边平方可得eq \(OZ1,\s\up6(→))·eq \(OZ2,\s\up6(→))＝0，A对；
对B，取z1＝1，z2＝i，
则|z1＋z2|＝|z1－z2|，但z1·z2≠0，B错；
对C，|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|即
|eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))|＝|eq \(OZ1,\s\up6(→))|＋|eq \(OZ2,\s\up6(→))|，两边平方可得eq \(OZ1,\s\up6(→))·eq \(OZ2,\s\up6(→))＝|eq \(OZ1,\s\up6(→))|·|eq \(OZ2,\s\up6(→))|，
故cs 〈eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OZ1,\s\up6(→))·\(OZ2,\s\up6(→)),|\(OZ1,\s\up6(→))|·|\(OZ2,\s\up6(→))|)＝1，
故eq \(OZ1,\s\up6(→))∥eq \(OZ2,\s\up6(→))，
因此存在实数t，使得z2＝tz1，C对；
对D，取z1＝2i，z2＝1＋i，但|z1|≠|z2|，
D错.故选AC.]
12.0 [∵1＋i是关于x的实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根，∴1－i是另一个根，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a＝1＋i＋1－i＝2，,b＝（1＋i）（1－i），))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2，))∴a＋b＝0.]
13.1－i(答案不唯一，虚部为－1即可) [设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z＋2i|＝|a＋bi＋2i|＝|a＋(b＋2)i|＝eq \r(a2＋（b＋2）2)，
|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
∵|z＋2i|＝|z|，
∴eq \r(a2＋（b＋2）2)＝eq \r(a2＋b2)，
∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，化简得4b＋4＝0，解得b＝－1.
∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部为－1即可).]
14.π [因为复数z满足1≤|z|≤eq \r(2)，则复数z对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为eq \r(2)的圆环上，故所构成的图形面积为2π－π＝π.]