平面解析几何专题训练 -2025届高三数学二轮专题复习

这是一份平面解析几何专题训练 -2025届高三数学二轮专题复习，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·黄山模拟]直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：ax＋y＋2＝0平行，则a＝( )
A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2) C.2 D.－2
2.[2024·绵阳诊断]与椭圆eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,6)＝1有公共焦点，且离心率e＝eq \f(3,2)的双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,13)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1
3.[2024·锦州模拟]南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3 cm，则该杯盏的高度为( )
A.eq \f(23,6) cm B.eq \f(13,4) cmC.eq \f(11,3) cm D.eq \f(7,2) cm
4.[2024·南京模拟]某研究性学习小组发现，由双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y＝eq \f(5,x)的离心率为( )
A.eq \r(2) B.2 C.eq \r(5) D.5
5.[2024·石家庄模拟]“a≥eq \f(\r(2),2)”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.[2024·泉州模拟]已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A，B两点，点A在l上的投影为D.若|AB|＝|BD|，则eq \f(|AF|,|BF|)＝( )
A.eq \f(3,2) B.2 C.eq \f(5,2) D.3
7.[2024·郑州模拟]已知直线l：3x＋4y－11＝0与椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m2)＝1交于A，B两点，若点P(1，2)恰为弦AB的中点，则椭圆C的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),3)
8.[2024·青岛模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝eq \r(3)x与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形AF1BF2为矩形，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3)＋1,2) B.3 C.eq \r(3)＋1 D.eq \r(5)＋1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·长沙模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是( )
A.若a≠0，则点O在圆C外
B.圆C与x轴相切
C.若圆C截y轴所得弦长为4eq \r(2)，则a＝1
D.点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2
10.[2024·南京六校联考]已知双曲线C：mx2＋ny2＝1，其焦点(0，10)到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是( )
A.eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝100
B.双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x
C.双曲线C的离心率为eq \f(5,4)
D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2
11.[2024·苏北四市联考]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则( )
A.|AB|的最小值为2 B.以AB为直径的圆与直线x＝－1相切
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－3 D.eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·南昌模拟]已知圆C：(x－1)2＋y2＝1与圆E：x2＋(y－eq \r(3))2＝1，写出圆C和圆E的一条公切线的方程________.
13.[2024·石家庄模拟]如图1是一个“双曲狭缝”模型，直杆旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线.已知某模型(如图2)左、右两侧的两段曲线AB与CD中间最窄处间的距离为10 cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且AB＝30 cm，AD＝20 cm，则该双曲线的离心率是________.
14.[2024·温州模拟]已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆C的离心率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·成都模拟]如图，已知圆M：(x－2)2＋y2＝81，圆N：(x＋2)2＋y2＝1.动圆S与这两个圆均内切.
(1)求圆心S的轨迹C的方程；
(2)若P(2，3)，Q(2，－3)是曲线C上的两点，A，B是曲线C上位于直线PQ两侧的动点.若直线AB的斜率为eq \f(1,2)，求四边形APBQ面积的最大值.
16.(15分)[2024·绍兴质检]已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F斜率为1的直线与抛物线相交所截得的弦长为2.
(1)求p的值并写出抛物线焦点F的坐标；
(2)设点P是抛物线外任意一点，过点P作抛物线C的切线，切点分别为Q，R，探究：是否存在以点Q为直角顶点的等腰直角三角形PQR？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
17.(15分)[2024·烟台模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，点(eq \r(6)，1)在C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，斜率为k(k≠0)且不过F1的直线l与C交于点A，B，若k为直线AF1，BF1斜率的等差中项，求F2到直线l的距离d的取值范围.
18.(17分)[2024·深圳模拟]已知定点F(2，0)，关于原点O对称的动点P，Q到定直线l：x＝4的距离分别为dP，dQ，且eq \f(|PF|,dP)＝eq \f(|QF|,dQ)，记P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？
(2)已知点M，N是直线m：x＝eq \f(1,k)y＋2与曲线C的两个交点，M，N在x轴上的射影分别为M1，N1(M1，N1不同于原点O)，且直线M1N与直线l：x＝4相交于点R，求△RMN与△RM1N1面积的比值.
19.(17分)[2023·武汉调研]已知过点(4，2)的动直线l与双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于M，N两点，当l与x轴平行时，|MN|＝4eq \r(2)，当l与y轴平行时，|MN|＝4eq \r(3).
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)点P是直线y＝x＋1上一定点，设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若k1k2为定值，求点P的坐标.
平面解析几何
1.A [由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1×1－2a＝0，,1×2＋a≠0，))
解得a＝eq \f(1,2).故选A.]
2.B [椭圆eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,6)＝1的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，在双曲线中c＝3，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)，所以a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.故选B.]
3.C [以抛物线的顶点为坐标原点，
对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得A(eq \f(9,2)，3)，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
则eq \f(81,4)＝6p，解得p＝eq \f(27,8)，
所以抛物线的标准方程为x2＝eq \f(27,4)y.
可设B(eq \f(3,2)，t)，代入抛物线方程得
eq \f(9,4)＝eq \f(27,4)t，可得t＝eq \f(1,3)，
所以该杯盏的高度为3－eq \f(1,3)＋1＝eq \f(11,3) cm.
故选C.]
4.A [双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，所以两条渐近线所在直线的斜率分别为－eq \f(b,a)，eq \f(b,a).
设双曲线y＝eq \f(5,x)的实轴长为2a′，虚轴长为2b′，焦距为2c′，因为双曲线y＝eq \f(5,x)的两条渐近线分别为x轴，y轴，即两条渐近线互相垂直，所以－eq \f(b′,a′)·eq \f(b′,a′)＝－1，即eq \f(b′2,a′2)＝1，所以离心率e＝eq \f(c′,a′)＝eq \r(1＋（\f(b′,a′)）2)＝eq \r(2)，故选A.]
5.A [记圆C1、圆C2的半径分别为r1，r2，由题意可知C1(0，0)，r1＝2，C2(a，－a)，r2＝1，连接C1C2，当且仅当圆C1和圆C2内含时，两圆没有公切线，即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为|C1C2|≥r1－r2＝2－1＝1，即eq \r(2a2)≥1，解得a≤－eq \f(\r(2),2)或a≥eq \f(\r(2),2).因为“a≥eq \f(\r(2),2)”是“a≤－eq \f(\r(2),2)或a≥eq \f(\r(2),2)”的充分不必要条件，所以“a≥eq \f(\r(2),2)”是“圆C1与圆C2有公切线”的充分不必要条件，故选A.]
6.B [如图，
过B作BE⊥l，垂足为E，过B作BH⊥AD，垂足为H.
因为AD⊥l，所以四边形BEDH为矩形，
所以|BE|＝|DH|.
因为|AB|＝|BD|，
所以|DH|＝|AH|，
所以|AD|＝2|DH|＝2|BE|.
由抛物线的定义，可得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
所以|AF|＝2|BF|，
即eq \f(|AF|,|BF|)＝2.故选B.]
7.A [依题意，直线l的斜率为－eq \f(3,4)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(3,4)，
且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝4，))
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),4)＋\f(yeq \\al(2,1),m2)＝1,\f(xeq \\al(2,2),4)＋\f(yeq \\al(2,2),m2)＝1))两式相减得：
eq \f(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2),4)＝－eq \f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),m2)，
于是eq \f(m2,4)＝－eq \f(y1－y2,x1－x2)·eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,1)＝eq \f(3,2)，解得m2＝6，
此时椭圆C为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,6)＝1，显然点P(1，2)在椭圆C内，符合要求，
所以椭圆C的离心率e＝eq \f(\r(2),\r(6))＝eq \f(\r(3),3).故选A.]
8.C [法一 若四边形AF1BF2是矩形，
则|AB|＝|F1F2|＝2c.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1))消去y，
得(b2－3a2)x2＝a2b2，
解得x1＝－eq \f(ab,\r(b2－3a2))，x2＝eq \f(ab,\r(b2－3a2))，
则|AB|＝eq \r(1＋（\r(3)）2)·|x1－x2|＝eq \f(4ab,\r(b2－3a2))，则eq \f(4ab,\r(b2－3a2))＝2c，
又c2＝a2＋b2，整理得b4－6a2b2－3a4＝0，
即(eq \f(b2,a2))2－6·eq \f(b2,a2)－3＝0，
得eq \f(b2,a2)＝3＋2eq \r(3)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(4＋2\r(3))＝eq \r(3)＋1，故选C.
法二 由y＝eq \r(3)x，知该直线的倾斜角为60°，记O为坐标原点，则∠BOF2＝60°，所以△BOF2是边长为c的等边三角形，所以|BF2|＝c，在△BOF1中，|OB|＝|OF1|＝c，∠BOF1＝120°，故|BF1|＝eq \r(3)c，
又|BF1|－|BF2|＝2a，故eq \r(3)c－c＝2a，
则eq \f(c,a)＝eq \r(3)＋1，故选C.]
9.ABD [对于A，因为a≠0，所以将原点(0，0)代入圆的方程可得a2＞0 ，所以点O在圆C外，故A正确；
对于B，将圆C的方程化为标准形式，
得(x－a)2＋(y－3)2＝9，其圆心为C(a，3)，半径r＝3，则圆心C到x轴的距离为3，等于半径，所以圆C与x轴相切，故B正确；
对于C，圆心C(a，3)到y轴的距离为|a|，
则由题意，得4eq \r(2)＝2eq \r(32－a2)，
解得a＝±1，故C不正确；
对于D，当a＝0时，圆C：x2＋(y－3)2＝9，所以圆心在y轴上，且点O在圆C上，所以点O到圆C上一点的最小距离为0，最大距离为2r＝6，其乘积等于a2；当a≠0时，由选项A知，点O在圆C外，|OC|＝eq \r(a2＋9)，所以点O到圆C上一点的最大距离为|OC|＋r，最小距离为|OC|－r，乘积为|OC|2－r2＝a2＋9－32＝a2.故D正确.综上所述，选ABD.]
10.BCD [由双曲线C的焦点 (0，10)到渐近线的距离为6，可得双曲线C的焦点在y轴上，设双曲线C的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则双曲线C的半焦距c＝10，b＝6，所以a2＝c2－b2＝100－36＝64，
得双曲线C的标准方程为eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
对于A，m＝－eq \f(1,36)，n＝eq \f(1,64)，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝－36＋64＝28，所以选项A错误；
对于B，双曲线C的渐近线方程为
y＝±eq \f(8,6)x＝±eq \f(4,3)x，所以选项B正确；
对于C，双曲线C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(10,8)＝eq \f(5,4)，所以选项C正确；
对于D，双曲线C上的所有点中上、下顶点到相应焦点的距离最小，所以最小值为c－a＝10－8＝2，所以选项D正确.综上，选BCD.]
11.BC [因为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，
所以p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x，所以准线方程为x＝－1.设直线l的倾斜角为α，则|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(4,sin2α)，所以当α＝90°时，|AB|取得最小值，最小值为4，所以选项A错误；
eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，所以选项D错误；
由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，
|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，则AB的中点到抛物线C的准线的距离d＝eq \f(x1＋x2＋p,2)＝eq \f(|AB|,2)，所以以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，又直线x＝－1是抛物线C：y2＝4x的准线，所以以AB为直径的圆与直线x＝－1相切，所以选项B正确；
设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程y2＝4x联立，得y2＝4(my＋1)，
即y2－4my－4＝0，所以y1y2＝－4，则x1x2＝eq \f(yeq \\al(2,1),4)·eq \f(yeq \\al(2,2),4)＝eq \f(（y1y2）2,16)＝eq \f(16,16)＝1，
又eq \(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3，
所以选项C正确.故选BC.]
12.x－eq \r(3)y＋1＝0或eq \r(3)x＋y－eq \r(3)－2＝0或eq \r(3)x＋y－eq \r(3)＋2＝0(写一条即可). [设两圆的公切线方程为y＝kx＋b，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(|k＋b|,\r(k2＋1))＝1,\f(|b－\r(3)|,\r(k2＋1))＝1))⇒
|k＋b|＝|b－eq \r(3)|，k＝－eq \r(3)或k＝eq \r(3)－2b，
代入求解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\r(3),b＝\r(3)±2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝\f(\r(3),3),k＝\f(\r(3),3)))，
所以切线方程为：y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3)＋2，
或y＝－eq \r(3)x＋eq \r(3)－2或x－eq \r(3)y＋1＝0(写一条即可).]
13.2 [如图，
以双曲线的对称中心O为坐标原点建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
则a＝eq \f(10,2)＝5.
易得A(10，15)，所以eq \f(102,52)－eq \f(152,b2)＝1，
解得b＝5eq \r(3)，所以c2＝a2＋b2＝25＋75＝100，所以c＝10，
所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝2.]
14.eq \f(\r(2),2) [因为点M在椭圆C上，
所以|MF1|＋|MF2|＝2a，
则|MF1|＝2a－|MF2|(a－c≤|MF2|≤a＋c)，
所以|MF1|·|MF2|＝(2a－|MF2|)|MF2|＝－(|MF2|－a)2＋a2，所以当|MF2|＝a时，|MF1|·|MF2|有最大值a2，
当|MF2|＝a－c或|MF2|＝a＋c时，
|MF1|·|MF2|有最小值a2－c2.
因为|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，所以a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，所以e2＝eq \f(1,2)，所以e＝eq \f(\r(2),2).]
15.解 (1)如图1，设动圆S与两个已知圆的切点分别为T1，T2，因为|ST1|＝|ST2|，
所以9－|SM|＝|SN|＋1，
所以|SM|＋|SN|＝8＞2＋2＝4，
所以点S的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
所以2a＝8，a＝4，2c＝4，c＝2，
b2＝a2－c2＝16－4＝12，
所以点S的轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.

图1 图2
(2)如图2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝eq \f(1,2)x＋t，
代入eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1中，
整理得x2＋tx＋t2－12＝0，Δ＝t2－4(t2－12)＞0，解得－4＜t＜4，
又A，B在直线PQ两侧，
故－4＜t＜2，x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12，
四边形APBQ的面积S＝eq \f(1,2)×6×|x1－x2|
＝3×eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝3eq \r(48－3t2)，
当t＝0时，Smax＝12eq \r(3)，
所以四边形APBQ面积的最大值为12eq \r(3).
16.解 (1)依题意，设直线方程为y＝x＋eq \f(p,2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋\f(p,2),x2＝2py))，消去x，
得y2－3py＋eq \f(p2,4)＝0，
则y1＋y2＝3p，|AB|＝y1＋y2＋p＝4p＝2，解得p＝eq \f(1,2)，
所以抛物线方程为x2＝y，F(0，eq \f(1,4)).
(2)假设符合条件的等腰直角三角形存在，于是设点Q(x3，xeq \\al(2,3))，R(x4，xeq \\al(2,4))，
则由y′＝2x可得，切线PQ为y＝2x3x－xeq \\al(2,3)，
切线PR为
y＝2x4x－xeq \\al(2,4)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x3x－xeq \\al(2,3),y＝2x4x－xeq \\al(2,4)))，
解得x＝eq \f(x3＋x4,2)，y＝x3x4，
所以P(eq \f(x3＋x4,2)，x3x4).
设线段PR的中点M，
则点M(eq \f(x3＋3x4,4)，eq \f(x3x4＋xeq \\al(2,4),2))，
且kQM＝eq \f(2（2x3＋x4）,3)，kPR＝2x4，kQR＝x3＋x4，kPQ＝2x3，
联立方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kPQ·kRQ＝－1,kPR·kQM＝－1))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x3·（x3＋x4）＝－1,2x4·\f(2（2x3＋x4）,3)＝－1))，
解得x3＝－1或x3＝1，
所以存在点Q(－1，1)或Q(1，1).
17.解 (1)因为点(eq \r(6)，1)在C上，
所以eq \f(6,a2)－eq \f(1,b2)＝1.①
由题意知，2c＝4，c＝2，
所以a2＋b2＝4.②
由①②解得a2＝3，b2＝1，
故双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋m，
联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)－y2＝1，))消y可得，
(1－3k2)x2－6kmx－3(m2＋1)＝0，
由根与系数关系可得，x1＋x2＝eq \f(6km,1－3k2)，x1x2＝－eq \f(3（m2＋1）,1－3k2)，且Δ＝36k2m2＋12·
(1－3k2)(m2＋1)＞0，得m2＋1＞3k2.
因为k为直线AF1，BF1的斜率的等差中项，
所以eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)＝2k，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入可得(kx1＋m)(x2＋2)＋(kx2＋m)(x1＋2)＝2k(x1＋2)(x2＋2)，
整理可得(m－2k)(x1＋x2＋4)＝0，
当m－2k＝0时，直线l为y＝k(x＋2)，此时直线过焦点F1，不合题意，
所以x1＋x2＝－4，即eq \f(6km,1－3k2)＝－4，
可得m＝2k－eq \f(2,3k)，代入m2＋1＞3k2化简可得，9k4－15k2＋4＞0，
解得eq \f(1,3)＜k2＜eq \f(4,3)，
又因为d＝eq \f(|2k＋m|,\r(1＋k2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4k－\f(2,3k))),\r(1＋k2))＝eq \f(4－\f(2,3k2),\r(1＋\f(1,k2)))，
令eq \r(1＋\f(1,k2))＝t∈(eq \f(\r(7),2)，2)可得，
eq \f(1,k2)＝t2－1，
所以d＝eq \f(14,3t)－eq \f(2t,3)，在(eq \f(\r(7),2)，2)上单调递减，所以d∈(1，eq \r(7)).
综上，F2到直线l的距离d的取值范围是(1，eq \r(7)).
18.解 (1)设P(x，y)，Q(－x，－y).
由eq \f(|PF|,dP)＝eq \f(|QF|,dQ)得
eq \f(\r(（x－2）2＋y2),|x－4|)＝eq \f(\r(（－x－2）2＋（－y）2),|－x－4|)，
|x|≠4，
两边平方得
(x＋4)2(x2＋y2＋4－4x)＝(x－4)2(x2＋y2＋4＋4x)，化简得x(x2＋2y2－8)＝0，
即曲线C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1或x＝0.
曲线C是以点(－2，0)，(2，0)为焦点，长轴长为4eq \r(2)的椭圆与y轴组成的曲线.
(2)设直线m与椭圆相交于M(x1，y1)，
N(x2，y2)两点，则M1(x1，0)，N1(x2，0).
令eq \f(1,k)＝t，将x＝ty＋2代入eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1并整理得(t2＋2)y2＋4ty－4＝0，
y1＋y2＝－eq \f(4t,t2＋2)，y1y2＝－eq \f(4,t2＋2).
直线M1N的方程为：y＝eq \f(y2,x2－x1)(x－x1).
设R(4，y0)，则y0＝eq \f(y2（4－x1）,x2－x1)＝eq \f(y2（2－ty1）,x2－x1)，
同理设直线MN1与直线l：x＝4相交于点R′(4，y′0)，则y′0＝eq \f(y1（2－ty2）,x1－x2).
y0－y′0＝eq \f(y2（2－ty1）,x2－x1)－eq \f(y1（2－ty2）,x1－x2)＝eq \f(2（y2＋y1）－2ty2y1,x2－x1)，
其中2(y2＋y1)－2ty2y1
＝－eq \f(8t,t2＋2)＋eq \f(8t,t2＋2)＝0.
从而y0＝y′0，R与R′重合.
因为MM1∥NN1，
所以S△MM1N1＝S△MM1N.
又S△RM1N1＝S△MM1N1＋S△RMM1，S△RMN＝S△MN1N＋S△RMM1，则eq \f(S△RMN,S△RM1N1)＝1.
所以△RMN与△RM1N1面积的比值为1.
19.解 (1)根据双曲线的对称性，可知双曲线E过点(±2eq \r(2)，2)和点(4，±2eq \r(3))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(8,a2)－\f(4,b4)＝1，,\f(16,a2)－\f(12,b2)＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝4，))
故双曲线E的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－4)＋2(k≠±1)，与双曲线方程联立，消去y，得(k2－1)x2－(8k2－4k)x＋16k2－16k＋8＝0，Δ＞0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(8k2－4k,k2－1)，
x1x2＝eq \f(16k2－16k＋8,k2－1).
设P(t，t＋1)，
则k1k2＝eq \f(（y1－t－1）（y2－t－1）,（x1－t）（x2－t）)
＝eq \f(（kx1－4k－t＋1）（kx2－4k－t＋1）,（x1－t）（x2－t）)
＝eq \f(k2x1x2－k（4k＋t－1）（x1＋x2）＋（4k＋t－1）2,x1x2－t（x1＋x2）＋t2)
＝eq \f(k2（16k2－16k＋8）－k（4k＋t－1）（8k2－4k）＋（4k＋t－1）2（k2－1）,16k2－16k＋8－t（8k2－4k）＋t2（k2－1）)
＝eq \f(（t2＋2t－11）k2－8（t－1）k－（t－1）2,（t－4）2k2＋4（t－4）k－（t2－8）).
当t＝4时，不满足k1k2为定值.
当t≠4时，若k1k2为定值，
则eq \f(t2＋2t－11,（t－4）2)＝eq \f(－8（t－1）,4（t－4）)＝eq \f(－（t－1）2,－（t2－8）)，
解得t＝3，此时k1k2＝4.
经检验，当直线l的斜率不存在时，
对P(3，4)，也满足k1k2＝4.
所以点P的坐标为(3，4).
题号
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答案