等差数列小题限时训练-2025届高三数学二轮复习

这是一份等差数列小题限时训练-2025届高三数学二轮复习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·福州模拟]已知{an}为等差数列，a2＝－2，a1＋a10＝a3＋4，则a5＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.[2023·宝鸡质检]在等差数列{an}中，a6，a18是方程x2－8x－17＝0的两个根，则{an}的前23项的和为( )
A.－184 B.－92 C.92 D.184
3.[2023·佛山质检]记数列{an}的前n项和为Sn，则“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.[2024·厦门模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝18，S3＝3，则S6＝( )
A.9 B.eq \f(21,2) C.12 D.eq \f(27,2)
5.[2023·新余质检]记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a2＝S3，a1a3＝S4，则数列{an}的公差为( )
A.－2 B.－1 C.2 D.4
6.[2023·郑州模拟]已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an(an＋1)，则a2 023＝( )
A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025
7.[2023·咸阳质检]已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若(2n＋3)Sn＝nTn，则eq \f(a5,b5)＝( )
A.eq \f(3,7) B.eq \f(1,3) C.eq \f(9,25) D.eq \f(11,25)
8.[2024·广州质检]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列.若{an＋1－an}是公差不为零的等差数列，则称数列{an}为二阶等差数列.现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，…，则第40层放小球的个数为( )
A.1 640 B.1 560 C.820 D.780
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2023·阳泉质检]设无穷数列{an}为正项等差数列且其前n项和为Sn，若S2 023＝2 023，则下列判断正确的是( )
A.a1 012＝1 B.a1 013≥1
C.S2 022＞2 022 D.S2 024≥2 024
10.[2023·张家口质检]已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝8，则下列递推关系中能使Sn存在最大值的有( )
A.an＋1＝－2an B.an＋1＝an－2
C.an＋1＝an－n D.an＋1＝eq \f(1,1－an)
11.[2024·桐城模拟]已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－2 ，则( )
A.S4＝ S7
B.当n ＝ 6或7时，Sn取得最小值
C.数列{|an|}的前10项和为50
D.当n≤2 023时，{an}与数列{3m＋10}(m∈N*)共有671项互为相反数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·襄阳模拟]已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16，若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为__________.
13.[2024·厦门外国语学校模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＜S7，S7＝S8，S8＞S9，则符合题意的等差数列{an}的一个通项公式为an＝________.
14.[2023·开封质检]若数列{an}满足aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知{Sn}为“等方差数列”，且S2＋S4＝2＋eq \r(2)，a3＋a4＝2－eq \r(2)，则a4＋S4＝________.
等差数列
1.A [设等差数列的公差为d，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋d＝－2，,a1＋a1＋9d＝a1＋2d＋4，))
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－3，,d＝1，))故a5＝－3＋(5－1)×1＝1，
故选A.]
2.C [a6，a18是方程x2－8x－17＝0的两个根，所以a6＋a18＝8，
所以{an}的前23项的和S23＝eq \f(23（a1＋a23）,2)＝eq \f(23（a6＋a18）,2)＝92.故选C.]
3.B [等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3＝a1＋a2＋a3＝3a2；数列{an}的前n项和为Sn，取a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，显然有S3＝3a2，而a4－a3＝2≠a3－a2，即数列{an}不是等差数列，所以“S3＝3a2”是“{an}为等差数列”的必要不充分条件.故选B.]
4.A [由已知S3，S6－S3，S9－S6，即3，S6－3，18－S6成等差数列，所以2×(S6－3)＝3＋(18－S6)，所以S6＝9，故选A.]
5.A [由a2＝S3可得：a1＋d＝3a1＋3d①，
由a1a3＝S4可得：
a1(a1＋2d)＝4a1＋eq \f(4×3,2)d②，
由①②可得：d＝－2或d＝0(舍去).故选A.]
6.B [由题意，2Sn＝aeq \\al(2,n)＋an，2Sn－1＝aeq \\al(2,n－1)＋an－1(n≥2)，
两式相减，得2an＝aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＋an－an－1，
∴aeq \\al(2,n)－aeq \\al(2,n－1)＝an＋an－1.
∵an＞0，∴an－an－1＝1.
当n＝1时，2S1＝aeq \\al(2,1)＋a1，∴a1＝1，
∴{an}是首项为1，公差为1的等差数列.
∴a2 023＝1＋(2 023－1)×1＝2 023.故选B.]
7.A [(2n＋3)Sn＝nTn⇒eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(n,2n＋3)，
又S9＝eq \f(9,2)(a1＋a9)＝eq \f(9,2)×2a5＝9a5，
T9＝eq \f(9,2)(b1＋b9)＝eq \f(9,2)×2b5＝9b5，
所以eq \f(S9,T9)＝eq \f(a5,b5)，
又eq \f(S9,T9)＝eq \f(9,2×9＋3)＝eq \f(3,7)，所以eq \f(a5,b5)＝eq \f(3,7).故选A.]
8.C [设第n层放小球的个数为an，
由题意a2－a1＝2，a3－a2＝3，……，
数列{an＋1－an}是首项为2，公差为1的等差数列，所以an－an－1＝2＋(n－2)＝n(n≥2，n∈N*).
故an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋…＋n＝eq \f(1,2)n(n＋1)，故a40＝eq \f(1,2)×40×41＝820.故选C.]
9.ABD [因为数列{an}为正项等差数列，
所以S2 023＝eq \f(2 023（a1＋a2 023）,2)
＝2 023·a1 012＝2 023，
所以a1 012＝1，
因为数列{an}为正项等差数列，
所以a1＞0，d≥0，
所以a1 013＝a1 022＋d≥1，S2 022＝S2 023－a2 023≤2 023－1＝2 022，S2 024＝S2 023＋a2 024≥2 023＋1＝2 024，故选ABD.]
10.BC [对于A，由an＋1＝－2an，a1＝8，
可得an＝8×(－2)n－1，Sn＝eq \f(8[1－（－2）n],1＋2)＝eq \f(8,3)[1－(－2)n]，
当n为正奇数且趋近于无穷大时，Sn也趋近于正无穷大，
故Sn不存在最大值，故A不正确；
对于B，由an＋1＝an－2，得an＋1－an＝－2，
又a1＝8，所以an＝8－2(n－1)＝－2n＋10，
当1≤n≤4时，an＞0，
当n＝5时，an＝0，当n＞5时，an＜0，
所以当n＝4或n＝5时，Sn取得最大值，故B正确；
对于C，由an＋1＝an－n，a1＝8，
得a2＝a1－1＝7，a3＝a2－2＝5，
a4＝a3－3＝2，a5＝a4－4＝－2，
又an＋1－an＝－n＜0，{an}递减，
所以当n＝4时，Sn取最大值，故C正确；
对于D，由an＋1＝eq \f(1,1－an)，a1＝8，
得a2＝－eq \f(1,7)，a3＝eq \f(7,8)，a4＝8，…，
所以数列{an}的周期为3，故Sn不存在最大值，故D不正确.故选BC.]
11.AC [对于A，等差数列{an}中，a1＝10，公差d＝－2，则an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋12，S7－S4＝a5＋a6＋a7＝3a6＝0，
故A正确；
对于B，由A的结论，an＝－2n＋12，
则a6＝0，
当n＜6时，an＞0，
当n＞6时，an＜0，
则当n＝5或6时，Sn取得最大值，
且其最大值为eq \f(（10＋0）×6,2)＝30，B错误；
对于C，|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10＝S6＋2＋4＋6＋8＝30＋20＝50，故C正确；
对于D，由n≤2 023，则an≥a2 023＝－4 034，则数列{an}中与数列{3m＋10}中的项互为相反数的项依次为：－16，－22，－28，……，－4 030，可以组成以－16为首项，－6为公差的等差数列，
设该数列为{cn}，则cn＝－10－6n，
若cn＝－10－6n＝－4 030，解可得n＝670，即两个数列共有670项互为相反数，D错误.故选AC.]
12.eq \f(65,2) [设等差数列{an}的公差为d，
则a1＋d＝4，a1＋5d＝16，
所以a1＝1，d＝3.
设在数列{an}每相邻两项之间插入三个数所得新数列为{bn}，
则新的等差数列{bn}的公差为eq \f(d,4)＝eq \f(3,4)，
首项为b1＝a1＝1，
所以新数列的通项公式为
bn＝1＋eq \f(3,4)(n－1)＝eq \f(3,4)n＋eq \f(1,4)，
故b43＝eq \f(3,4)×43＋eq \f(1,4)＝eq \f(65,2).]
13.8－n(答案不唯一) [因为S6＜S7，S7＝S8，S8＞S9，所以a7＞0，a8＝0，a9＜0.
设数列{an}的公差为d，则d＜0，取d＝－1，
又a8＝0，可得a1＝7，
故数列{an}的一个通项公式为an＝8－n(答案不唯一).]
14.4－eq \r(3) [Sn为正项数列{an}的前n项和，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S2＋S4＝2＋\r(2)，,a3＋a4＝S4－S2＝2－\r(2)，))
解得S4＝2，S2＝eq \r(2)，
已知{Sn}为“等方差数列”，
则2Seq \\al(2,3)＝Seq \\al(2,2)＋Seq \\al(2,4)＝(eq \r(2))2＋22＝6，
有S3＝eq \r(3)，a4＋S4＝S4－S3＋S4＝2－eq \r(3)＋2＝4－eq \r(3).]