等比数列小题限时训练-2025届高三数学二轮复习

这是一份等比数列小题限时训练-2025届高三数学二轮复习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·开封模拟]等比数列{an}中，a3＝－4，a6＝32，则数列{an}的前6项和为( )
A.21 B.－21 C.11 D.－11
2.[2023·石家庄质检]在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a13＝144，a5＝6，则a2＝( )
A.6 B.4 C.3 D.2
3.[2023·辽阳质检]已知{an}是等比数列，则“a4＋a7＝27(a1＋a4)”是“数列{an}的公比为3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.[2024·洛阳模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，则以下满足Sn＜an＋1的数列的通项是( )
A.an＝n B.an＝eq \f(1,2) C.an＝2n－1 D.an＝2－n
5.[2024·淮安模拟]已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足eq \f(S2m,Sm)＝9，eq \f(a2m,am)＝eq \f(5m＋1,m－1)，则数列{an}的公比为( )
A.0 B.2 C.－3 D.3
6.[2023·南昌质检]已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1(Sn＋1－3n)＝Sn(Sn＋3n)，则S2 023＝( )
A.32 023－1 B.32 023＋1 C.eq \f(32 023＋1,2) D.eq \f(32 022＋1,2)
7.[2023·北京昌平质检]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的是( )
A.若a6＞0，则S2n＜0 B.若a6＞0，则S2n＞0
C.若a5＞0，则S2n＋1＜0 D.若a5＞0，则S2n＋1＞0
8.[2024·福州模拟]英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1 200个音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1 200个音分的频率值构成一个公比为eq \r(1 200,2)的等比数列.已知音分M的频率为m，音分值为k，音分N的频率为n，音分值为l.若m＝eq \r(2)n，则k－l＝( )
A.400 B.500 C.600 D.800
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·昆明模拟]已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是( )
A.若a，b，c成等比数列，则eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等比数列
B.若a，b，c成等差数列，则eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列
C.若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等比数列
10.[2023·唐山质检]如图，△ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△A1B1C1，再连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，…，如此继续下去，设△AnBnCn的边长为an，△AnBnCn的面积为Mn，则( )
A.Mn＝eq \f(\r(3),4)aeq \\al(2,n) B.aeq \\al(2,4)＝a3a5
C.a1＋a2＋…＋an＝2－22－n D.M1＋M2＋…＋Mn＜eq \f(\r(3),3)
11.[2023·辽阳质检]“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧、内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象，数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋线便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图1.它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案.设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，…，an，…，如图2阴影部分，设直角三角形AEH面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，…，bn，….下列说法正确的是( )
A.数列{an}是以4为首项，eq \f(\r(10),4)为公比的等比数列
B.从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为eq \f(129,4)
C.使得不等式bn＞eq \f(1,2)成立的n的最大值为4
D.数列{bn}的前n项和Sn＜4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·南昌模拟]已知数列{an}满足aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2，若a1＝eq \f(1,3)，a4＝9，则a6＝________.
13.[2023·衡水中学模拟]已知等比数列{an}的首项a1＞0，公比q＜0，a2a4＝4，且an＋2－2an＝an＋1，则{an}的前2 023项和为______.
14.[2023·抚顺质检]英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列{xn}满足xn＋1＝xn－eq \f(f（xn）,f′（xn）)，则称数列{xn}为牛顿数列.若f(x)＝eq \f(1,x)，数列{xn}为牛顿数列，且x1＝1，xn≠0，数列{xn}的前n项和为Sn，则满足Sn≤2 023的最大正整数n的值为________.
等比数列
1.A [由题意，n∈N*，在等比数列{an}中，a3＝－4，a6＝32，
设公比为q，前n项和为Sn，
∴a6＝a3q3＝－4q3＝32，
解得q＝－2，∴an＝a3qn－3＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1，
∴a1＝－(－2)1－1＝－1，Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(－1[1－（－2）n],1－（－2）)＝eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（－2）n－1))，
∴S6＝eq \f(1,3)×[(－2)6－1]＝21，故选A.]
2.C [等比数列{an}中，an＞0，
由aeq \\al(2,8)＝a3a13＝144，得a8＝12，
由a2a8＝aeq \\al(2,5)＝36，得a2＝3，所以a2＝3.故选C.]
3.B [由a4＋a7＝27(a1＋a4)，
得a1(1＋q3)(q3－27)＝0，
解得q＝－1或q＝3，故充分性不满足；
由{an}的公比为3，可得a4＋a7＝(a1＋a4)·q3＝27(a1＋a4)，故必要性满足，则“a4＋a7＝27(a1＋a4)”是“数列{an}的公比为3”的必要不充分条件.故选B.]
4.C [对于A，S2＝a3，与题意矛盾，A选项错误；
对于B，S1＝a2，与题意矛盾，B选项错误；
对于C，Sn＝2n－1＜2n＝an＋1，故C正确；
对于D，S1＝eq \f(1,2)＞a2＝eq \f(1,4)，与题意矛盾，故D错误.故选C.]
5.B [设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则eq \f(S2m,Sm)＝2，与题中条件矛盾，故q≠1，
所以eq \f(S2m,Sm)＝eq \f(\f(a1（1－q2m）,1－q),\f(a1（1－qm）,1－q))＝qm＋1＝9，
解得qm＝8，
又因为eq \f(a2m,am)＝eq \f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq \f(5m＋1,m－1)，
解得m＝3，即q3＝8，所以q＝2.故选B.]
6.C [因为Sn＋1(Sn＋1－3n)＝Sn(Sn＋3n)，
所以Seq \\al(2,n＋1)－3nSn＋1＝Seq \\al(2,n)＋3nSn，
即Seq \\al(2,n＋1)－Seq \\al(2,n)＝3nSn＋1＋3nSn，
所以(Sn＋1＋Sn)(Sn＋1－Sn)＝3n(Sn＋1＋Sn).
因为数列{an}的各项都是正项，
即Sn＋1＋Sn＞0，
所以Sn＋1－Sn＝3n，即an＋1＝3n，
所以当n≥2时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3n,3n－1)＝3，
所以数列{an}从第二项起，构成以a2＝3为首项，公比q＝3的等比数列.
所以S2 023＝a1＋eq \f(a2（1－q2 022）,1－q)
＝2＋eq \f(3×（1－32 022）,1－3)＝eq \f(32 023＋1,2).故选C.]
7.D [由数列{an}是等比数列，
若a6＝a1q5＞0，则可知a1，q同号，
由S2n＝eq \f(a1（1－q2n）,1－q)知，当q＝－1时，S2n＝0，故A，B错误；
若a5＝a1q4＞0，则可知a1＞0，当q＝1时，该等比数列为常数列，则S2n＋1＞0，故C错误；
当q≠1时，S2n＋1＝eq \f(a1（1－q2n＋1）,1－q)，
q＞1时，1－q2n＋1＜0，1－q＜0，
当q＜1时，1－q2n＋1＞0，1－q＞0，
所以由a1＞0且1－q2n＋1，1－q同号，可知S2n＋1＞0，故D正确.故选D.]
8.C [由题意可知，1 200个音分的频率值构成一个公比为eq \r(1 200,2)的等比数列，
设第一个音分为a1，所以an＝a1(eq \r(1 200,2))n－1，
故m＝a1(eq \r(1 200,2))k－1，n＝a1(eq \r(1 200,2))l－1，
因为m＝eq \r(2)n，所以eq \f(m,n)＝eq \f(a1（\r(1 200,2)）k－1,a1（\r(1 200,2)）l－1)＝(eq \r(1 200,2))k－l＝eq \r(2)⇒2eq \f(k－l,1 200)＝2eq \f(1,2)⇒eq \f(k－l,1 200)＝eq \f(1,2)⇒
k－l＝600. 故选C.]
9.AD [A.若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，则(eq \f(1,b))2＝eq \f(1,a)·eq \f(1,c)，所以eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等比数列，故A正确；
B.数列1，2，3是等差数列，但数列eq \f(1,1)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)不是等差数列，故B错误；
C.若a2，b2，c2成等比数列，则b4＝a2c2，b2＝ac或b2＝－ac，若b2＝－ac，则a，b，c不成等比数列，故C错误；
D.若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，
则(2b)2＝22b＝2a·2c＝2a＋c成立，
所以2a，2b，2c成等比数列，故D正确.
故选AD.]
10.ABD [显然△AnBnCn是正三角形，因此Mn＝eq \f(\r(3),4)aeq \\al(2,n)，A正确；
由中位线性质易得an＝eq \f(1,2)an－1，
即{an}是等比数列，公比为eq \f(1,2)，
因此aeq \\al(2,4)＝a3a5，B正确；
a1＝eq \f(1,2)AB＝1，a1＋a2＋…＋an＝eq \f(1－（\f(1,2)）n,1－\f(1,2))＝2－21－n，C错误；
M1＝eq \f(\r(3),4)×12＝eq \f(\r(3),4)，{an}是等比数列，
公比为eq \f(1,2)，则{Mn}也是等比数列，
公比是eq \f(1,4)，M1＋M2＋…＋Mn＝eq \f(\f(\r(3),4)×[1－（\f(1,4)）n],1－\f(1,4))＝eq \f(\r(3),3)(1－eq \f(1,4n))＜eq \f(\r(3),3)，D正确.故选ABD.]
11.ABD [对于A选项，由题意知，
aeq \\al(2,n＋1)＝(eq \f(an,4))2＋(eq \f(3an,4))2＝eq \f(5,8)aeq \\al(2,n)且an＞0，
所以an＋1＝eq \f(\r(10),4)an，
又因为a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，eq \f(\r(10),4)为公比的等比数列，故A正确；
对于B选项，由上知，an＝4×(eq \f(\r(10),4))n－1，a1＝4，a2＝eq \r(10)，a3＝eq \f(5,2)，
所以aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3)＝42＋(eq \r(10))2＋(eq \f(5,2))2＝eq \f(129,4)，故B正确；
对于C选项，bn＝eq \f(1,2)·eq \f(an,4)·eq \f(3an,4)＝eq \f(3aeq \\al(2,n),32)＝
eq \f(3,32)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4×（\f(\r(10),4)）n－1))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,2)×(eq \f(5,8))n－1，
易知{bn}是单调递减数列，且b3＝eq \f(3,2)×(eq \f(5,8))2＝eq \f(75,128)＞eq \f(1,2)，b4＝eq \f(3,2)×(eq \f(5,8))3＝eq \f(375,1 024)＜eq \f(1,2)，故使得不等式bn＞eq \f(1,2)成立的n的最大值为3，故C错误；
对于D选项，由C中分析知，{bn}是以eq \f(3,2)为首项，eq \f(5,8)为公比的等比数列，
所以Sn＝eq \f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－（\f(5,8)）n)),1－\f(5,8))
＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－（\f(5,8)）n))，且n∈N*，
所以0＜1－(eq \f(5,8))n＜1，所以Sn＜4，
故D正确，故选ABD.]
12.81 [因为aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2，
所以{an}为等比数列，
设公比为q，又a1＝eq \f(1,3)，a4＝9，
所以a4＝a1q3，解得q＝3，
所以a6＝a1q5＝81.]
13.2 [因为an＋2－2an＝an＋1，
所以anq2－2an＝anq，
化为q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，
又因为q＜0，所以q＝－1，
又因为a2a4＝4，所以aeq \\al(2,1)q4＝aeq \\al(2,1)(－1)4＝4，
得到a1＝2或a1＝－2，
又a1＞0，所以a1＝2，故an＝2×(－1)n－1，
所以S2 023＝eq \f(2×[1－（－1）2 023],1－（－1）)＝2.]
14.10 [因为f(x)＝eq \f(1,x)，所以f′(x)＝－eq \f(1,x2)，
则xn＋1＝xn－eq \f(f（xn）,f′（xn）)＝xn－eq \f(\f(1,xn),－\f(1,xeq \\al(2,n)))＝2xn，
又x1＝1，xn≠0，所以{xn}是首项为x1＝1，公比q＝2的等比数列，则Sn＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.
令Sn＝2n－1≤2 023，则2n≤2 024，
又因为y＝2x在定义域内单调递增，且210＝1 024＜2 024，211＝2 048＞2 024，
所以n≤10，
所以最大正整数n的值为10.]