山西省太原市常青藤中学校、李林中学2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

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卷面分数：100分 答题时间：90分钟
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，，所以.故选：B
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝，N＝B．M＝，N＝
C．M＝，N＝D．M＝，N＝
【答案】D
【详解】A、M＝，M集合的元素表示点的集合，N＝，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；
B、M＝，M集合的元素表示点的集合，N＝，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误；
C、M＝集合M的元素是点，N＝，集合N的元素是点，故C错误；
D、M＝，N＝根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确；
故选：D．
3．命题，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】特称量词命题的否定是全称量词命题，并且否定结论，
所以命题，的否定是，.故选：C.
4．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】直接由作差法逐一判断即可.
【分析】对于A：，
因为，则，，所以，当时，，当时，，
当时，，A错误；
对于B：因为，则，，，
则，所以，B正确；
对于C，因为，则，，，
由题意，即，故C错误；
对于D，由题意，即，故D错误.故选：B.
5．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】A
【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成，
所以集合表示为.故选：A.
6．已知函数，若，则的值等于（ ）.
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】函数，由，得，则，解得，
所以的值等于.故选：C
7．已知不等式的解集是，则的值为（ ）．
A．1B．C．0D．
【答案】C
【分析】根据不等式的解集是，利用方程的根与系数的关系求解.
【详解】解：因为不等式的解集是，所以，
解得，所以，故选：C．
8．已知集合,.若,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】,，，则，解得.
故选：D.
二、多选题
9．已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（ ）．
A．若，则
B．
C．A可能仅含有2个元素
D．A所含的元素的个数一定是
【答案】ABD
【分析】根据集合的定义对各选项进行验证：直接计算判断A，用反证法判断B，设，由定义求出集合中其他元素后判断CD．
【详解】若，则，，A正确．
若，则，而中分母不能为0，即，所以，B正确．
若，则，所以，所以，．
若，即，此方程无实数解，所以，
若，即，此方程无实数解，所以，
若，即，此方程无实数解，所以，
所以若，则，，，且x，，，互不相等．
所以A所含的元素的个数一定是，非空集合A所含的元素最少有4个，C错误，D正确．
故选：ABD．
10．已知且， 则下列不等式恒成立的是（ ）
A．的最小值为2B．的最小值为
C．ab的最大值为 1D．的最大值为2
【答案】ACD
【详解】对A，，当且仅当时等号成立，A正确；
对B，，
当且仅当，即时等号成立，B错误；
对C，，当且仅当时等号成立，C正确；
对D，，当且仅当时等号成立，所以，D正确.
故选：ACD
11．下列说法不正确的是（ ）
A．已知，若，则组成集合为
B．不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是
C．的定义域为，则的定义域为
D．不等式解集为，则
【答案】ACD
【分析】A选项，考虑时，，满足要求，可判断A；B选项，考虑时，两种情况讨论可得充要条件为，可判断B；C选项，由，可求定义域判断C；D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，计算可判断D.
【详解】A选项，，又，
当时，，满足，当时，，
当时，，满足，当时，，满足，
综上，组成集合为，A说法不正确；
B选项，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立，
当时，由对一切实数恒成立，
可得，解得，
综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，
所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，故B正确；
C选项，因为的定义域为，所以，解得，
故的定义域为，C说法不正确；
D选项，不等式解集为−∞,−2∪3,+∞，
则且为方程的两个根，故，
则，故，D说法不正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】结合被开方数大于等于和分母不为可得函数的定义域.
【详解】由得，且，∴函数的定义域为.
故答案为：.
13．当时，函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数变形为，利用基本不等式可得.
【详解】因为，所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.故答案为：
14．已知集合、．若，则 ．
【答案】
【详解】由，解得，或，或，或，
当时，、，满足，则；
当时，，构不成集合，舍去；
当时，，构不成集合，舍去；
当时，、，满足，则；
由，解得，或，或，或，
当时，，构不成集合，舍去；
当时， ，构不成集合，舍去；
当时， 、，满足，则；
当时，、，满足，则，综上，，.
故答案为：.
四、解答题
15．已知全集，集合，．
(1)若，求，；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)，或x≥4(2)
【详解】（1）当时，，则或x≥4，
因为，所以；
（2）当时，成立，此时，解得，
当时，由，得，解得，综上，.
16．已知二次函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若对于，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设二次函数，
因为，
所以，
化为，
所以，
所以
（2）若对于，恒成立，
即，恒成立，
又，
故当时，，
故的取值范围为
17．（1）若正数a，b，满足，求的最小值；
（2）若正实数x，y满足，求xy的最大值．
【答案】（1）18；（2）1.
【详解】（1）正数a，b，满足，则，
当且仅当，即时取等号，所以时，取得最小值18.
（2）正实数x，y满足，则，
当且仅当时取等号，于是，解得，即，
所以当时，xy取得最大值1.
18．某小区内有如图所示的一矩形花坛,现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛,要求点在上,点在上,且对角线过点,已知米,米．
（Ⅰ）要使矩形的面积大于32平方米,则的长应在什么范围内?
（Ⅱ）当的长度是多少时,矩形花坛的面积最小?并求出最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）时，面积的最小值是平方米．
试题解析：解：（Ⅰ）设的长为（）米,则米
∵,∴∴
由得 ，又,得 ,
解得： 即长的取值范围是
（Ⅱ）矩形花坛的面积为
当且仅当矩形花坛的面积取得最小值．
故的长度是米时，矩形的面积最小，最小值为平方米．