山西省太原市常青藤中学校、李林中学2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题

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卷面分数：150分 答题时间：120分钟
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（ ）
B．
C． D．
3．已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6.已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知AC，BD为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为( )
A．4B．C．5D．
8．正四面体的棱长为，是它内切球的直径，为正四面体表面上的动点，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆必相交 B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切
10．下面四个结论正确的是（ ）
A．已知向量，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线
11．已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（ ）
A．若圆与圆C恰有3条公切线，则
B．圆与圆C的公共弦所在直线为
C．直线与圆C恒有两个公共点
D．点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的
中点为，若定点，则的最大值为6
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知直线：，：，若，则实数 .
13．已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 .
14．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）已知，.
(1)若()∥()，求x，y的值；
(2)若，且，求x的值.
16．（本小题满分15分）已知直线与直线的交点为．
(1)求点关于直线的对称点；
(2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程．
17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M为中点.
(1)求点M到直线的距离；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.
18．（本小题满分17分）已知圆，直线过点．
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)若直线与圆相切，求直线的方程；
(3)若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程.
19．（本小题满分17分）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模是.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点.
求的值．
(2)若为的中点，求二面角的正弦值．
(3)若为线段上一点，且满足，求．