黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，文件包含2024-2025学年度第一学期高一期中考试题数学试卷参考答案评分标准docx、黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2024-2025学年高一上学期期中数学试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共5页， 欢迎下载使用。
单选题
CCDD CBCB
多选题
9．AC. 10．BC. 11．ABD.
三、填空题
12．2. 13． 14．.
四、解答题
15．（13分）已知集合，或.
（1）求；
（2）若，实数的取值范围.
【答案】（1）或，；（2）.
【详解】（1）∵，或，
∴，
又，∴；
（2），且，则需，解得，故实数的取值范围为.
16．（15分）求值：（1）；
（2）求值：.
（3）已知，，求
【详解】（1）；
；
（3）由，，则，，则，，
所以.
17．（15分）已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，试确定实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设，∵，∴，
又，
∴，∴，
∴，∴，
∴；
（2）当时，的图象恒在图象下方，
∴时，恒成立，即恒成立，
令，，对称轴为，故函数在上单调递减，
所以当时，，
故只要，即，所以实数的范围.
18．（17分）已知函数（，且）.
(1)若点在函数的图象上，求实数的值；
(2)已知，函数，.若的最大值为8，求实数的值.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）依题意，，即，而，且，解得，所以.
（2）依题意，，，，
令，有 ，
函数是关于t的开口向上，对称轴为 的二次函数，
显然，且，
因此函数在时取得最大值，
则，又，解得，所以.
19．（17分）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形、、、与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长为（单位：）．

(1)用表示的长度，并写出的取值范围；
(2)用表示花坛与地坪的造价之和；
(3)设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价．
【答案】(1)，(2)(3)当时，总造价最小为元
【详解】（1）由题意：矩形的面积为，
因此，
因为，所以．
（2）.
由题意可得：
，（）
由基本不等式，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，总造价最小，最小值为元．