广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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命题人：高二备课组
满分：150 时间：120分钟
一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分）
1．已知点A2,1,B-1,4，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
2．在空间四边形PABC中，PB-AB+AC=（ ）
A．AP B．PC C．AB D．AC
3．圆x2+y2+2x-4y-6=0的圆心和半径分别是（ ）
A．-1,-2，11B．-1,2，11C．-1,-2，11D．-1,2，11
4．若直线m2-6x+3y=m与直线x+y=1平行，则（ ）
A．m=3或-3 B．m=-3 C．m=3 D．m=3或-3
5．如图，已知四面体ABCD的棱长都是2，点M为棱AD的中点，则AB⋅CM的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-2 D．2
6．已知点A-2,-1,B2,3到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a=（ ）
A．－1或0 B．-12 C．－1 D．2
7． 已知圆，直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆相切
C．直线与圆相交 D．直线与圆相离
8． 在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分)
9．下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有（ ）
A．线段的中点的坐标为
B．点关于轴对称的点的坐标为
C．点关于坐标原点对称的点的坐标为
D．点关于平面对称的点的坐标为
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．过点，斜率为2的直线的方程可写为
C．过两点的直线都可用方程表示
D．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为
11．在棱长为2的正方体中，E为的中点，若点P在底面四边形内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A．与平面的夹角的余弦值为
B．点到的距离为
C．线段的长度的最大值为
D．与 的数量积的范围是
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，，，则 .
13．已知点 在直线 上，点，则当 △ABP的周长取得最小值时，点 的坐标为 .
14．已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 .
四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）△ABC的三个顶点是，求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)边上的垂直平分线所在直线的方程.
16．（本题满分15分）如图，在正四棱柱中，，，，分别为，的中点.
(1)证明：平面.
(2)求与平面所成角的正弦值.
17．（本题满分15分）已知圆C的圆心在x轴上，经过点和．
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线l与圆C交于A、B两点．
（ⅰ）若，求直线l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．
18．（本题满分17分）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
19．（本题满分17分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且，.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由
参考答案：
一、单选题
1．D
【分析】利用A,B两点坐标可求得直线AB的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系可得结果.
【详解】由A2,1,B-1,4可得直线AB的斜率为kAB=1-42+1=-1，
设直线AB的倾斜角为θ∈[0,π)，可得tanθ=-1，所以θ=135∘.
故选：D
2．B
【分析】根据空间向量的加减法运算即可得解.
【详解】PB-AB+AC=PB+BA+AC=PC.
故选：B．
3．D
【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.
【详解】先化为标准方程可得x+12+y-22=11，故圆心为-1,2，半径为11.
故选：D.
4．B
【分析】根据两直线平行可直接构造方程组求解.
【详解】两直线方程可整理为：m2-6x+3y-m=0与x+y-1=0，
∵两直线平行，∴m2-6=3-3≠-m，解得：m=-3.
故选：B.
5．A
【分析】根据空间向量数量符号的运算性质，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】因为点M为棱AD的中点，
所以AB⋅CM=AB⋅CA+AM=AB⋅CA+12AD=-AB⋅AC+12AB⋅AD，
因为四面体ABCD的棱长都是2，
所以AB⋅CM=-2×2×12+12×2×2×12=-2+1=-1，
故选：A
6．C
【分析】根据点到直线距离公式直接求解.
【详解】根据点到直线距离公式和已知可得-2aa2+1=2a+4a2+1，解得a=-1.
故选：C
7． C
【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可.
【详解】圆的圆心C(2,0)，半径，
直线l:m(x-3)+y-1=0恒过定点(3,1)， 显然(3-2)2+12=2