江苏省常州市金坛区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省常州市金坛区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．9
3．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
4．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，衬衫的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，点A，B，C，在上，．则的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．90°
6．如图，四边形ABCD内接于，、为对角线，经过圆心．若，则的度数是（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
7．如图，AC是的切线，B为切点，连接，．若，，，则的长度是（ ）
A．3B．C．D．6
8．如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取、的中点P、Q，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9．方程的根是______．
10．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是______．
11．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
12．若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是______．
13．一个直角三角形的两条边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是______．
14．如图，四边形内接于圆O，若，则的度数是______．
15．如图，正六边形的边长是2，以点E为圆心，长为半径画弧，则的长是______．
16．如图，是的直径，是的半径，垂直于弦，垂足为．若，，则______．
17．如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是______．
18．如图，，半径为3的与的两边相切，点P是上任意一点，过点P向的两边作垂线，垂足分别是E、F．设，则p的取值范围是______．
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（本小题16分）
（1）；（2）；
（3）；（4）．
20．（本小题6分）
已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，且．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
21．（本小题6分）
某学校为建设“书香校园”，购买图书的费用逐年增加．2020年购书费用为5000元，2022年购书费用为7200元，求2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率．
22．（本小题8分）
如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个2m宽的门（建在处，另用其他材料）．设的长是xm．
（1）填空：______m；
（2）若羊圈的面积是，求x的值．
23．（本小题8分）
如图，在中，，O为上一点，以O为圆心，为半径作交于另一点D，E为上一点，且．
（1）判断与的位置关系，说明理由；
（2）若，，，求的长．
24．（本小题10分）
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x、y轴分别交于点A、B，将直线绕点O顺时针方向旋转90°，与x、y轴分别交于点C、D．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）求直线的函数表达式：
（3）P是直线上一个动点，以点P为圆心，长为半径作，若与的一边所在直线相切，求点P的坐标．
25．（本小题10分）
在平面直角坐标系中，对于点R和线段，给出如下定义：M为线段上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段的长，则称点R为线段的“等距点”．
（1）已知点．
①在点，，，中，线段的“等距点”是______；
②若点C在直线上，并且点C是线段的“等距点”，求点C的坐标；
（2）已知点，点，图形W是以点为圆心，1为半径的位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段的“等距点”，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】解：，，，．
故选：C．
先把移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2．【答案】C
【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，解得．故选：C．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的等式，即可求解．
此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：
（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
3．【答案】C
【解析】解：一元二次方程的两根为，，
，，解得，，．故选：C．
首先根据根与系数的关系得出，再根据，求得，，进一步得出求得答案即可．
本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
4．【答案】D
【解析】解：根据题意得，
故选：D．
根据题意得等量关系为：降价后的销量×每件的利润＝1250，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
5．【答案】D
【解析】解：，，．故选：D．
由圆周角定理即可得到答案．本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
6．【答案】D
【解析】解：经过圆心．是的直径，，
，，故选：D．
直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余即可求解．
本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．【答案】C
【解析】解：连接，
是的切线，，，
，，，
，，
故选：C．
根据切线的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．【答案】B
【解析】解：由题意得：，
、分别是、的中点，
，，
当、、三点共线时，取到最大值和最小值，
的最小值为，的最大值为；
的取值范围是，故选：B．
利用勾股定理求出的长，再根据旋转的性质、三角形中位线的性质及三角形的三边关系即可求出结果．
本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质求出、的值是解题的关键．
9．【答案】
【解析】解：
直接开方即可求解．
解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．
10．【答案】5
【解析】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，
解得，即方程的另一个根为5．故答案为：5．
设方程的另一个根为，则利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
11．【答案】
【解析】解：根据题意得：，解得：，
即的取值范围为．故答案为：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
12．【答案】7
【解析】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，原式．
故答案为：7．
根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
13．【答案】6或
【解析】解：，或．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是；
②当长是4的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是．
故答案为：6或．
先解出方程的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．
14．【答案】80°
【解析】解：四边形内接于圆，，
，，故答案为：80°．
由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案．
本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质．
15．【答案】
【解析】解：六边形是正六边形，
，弧的长为．
故答案为：．故答案为：．
根据正六边形的性质求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质以及弧长的计算方法是正确解答的关键．
16．【答案】4
【解析】解：是的直径，，
，，，，
是的半径，垂直于弦，垂足为，是的中点，
是的中点，，．
故答案为：4．
根据圆周角定理得，根据勾股定理得，根据垂径定理得是的中点，再根据三角形中位线定理得，即可得出答案．
本题考查了圆周角定理，勾股定理和垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
17．【答案】或
【解析】解：根据等腰直角三角形的性质，求得圆心到直线的距离是．
若相切时，则此时圆的半径是4：
当圆和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，则．
则或．故答案为：或．
此题应分情况讨论：当圆和射线相切时，则圆心到直线的距离等于圆的半径；当圆和射线相交时亦可．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
此题考查了直线与圆的位置关系，注意考虑两种情况，不要漏掉相交的情况，因为此题只要保证和射线有一个公共点即可．
18．【答案】
【解析】解：设与两边的切点分别为、，连接、，延长交于点，
由切线的性质可得，
，，，，
如图，延长交于点，
同理，，，
当与相切时，有最大或最小值，连接，
、都是切点，，四边形是矩形，
，四边形是正方形，的最大值为；
如图，
同理，的最小值为；
综上，的取值范围是．
故答案为：．
利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
本题主要考查了切线的性质，估算无理数的大小，证明，并且当与相切时，有最大或最小值是解题的关键．
19．【答案】解：（1），
，或，，；
（2），
，；
（3），
，，或，所以，；
（4），
整理得：，，或，所以，．
【解析】（1）移项后直接开平方解一元二次方程即可；
（2）因式分解解一元二次方程即可；
（3）先移项得到，然后利用因式分解法解方程；
（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）
20．【答案】解：（1）关于的一元二次方程的两个实数根为，，且．，，解得．故的取值范围为；
（2）由题意可得：，，
又，，
解得，，又，的值为5或．
【解析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的意义得到，解关于的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系，，代入代数式求出的值即可．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
21．【答案】解：设2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为，
则：，解得：，或（舍去），
答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%．
【解析】根据“2020年购书费用为5000元，2022年购书费用为7200元”列方程求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到相等关系的解题的关键．
22．【答案】
【解析】解：设矩形的边，则边，
故答案为：；
（2）根据题意得：，化简得：，
解得：，，故的值为16或20．
（1）根据栅栏总长－列式即可；
（2）利用矩形面积公式即可求出．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程．
23．【答案】解：（1）是的切线；理由如下：
连接，如图1，
，，
，，
又，，
，，
是圆的半径，是的切线；
（2）连接，，如图2，
，，，
，，
设，则，
，
由勾股定理得：，，
，，．
【解析】（1）连接，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得，则可得出结论；
（2）连接，求出，设，则，由勾股定理求出的值，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定是解此题的关键．
24．【答案】解：（1）在中，令得，令得，，；
（2）直线绕点顺时针方向旋转90°，与、轴分别交于点、，
，，，，
设直线的函数表达式为，，解得，
直线的函数表达式；
（3）设，
，，
①当以点为圆心，长为半径的与直线相切时，
，解得，；
②当以点为圆心，长为半径的与直线相切时，
，解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或．
【解析】（1）在中，令得，令得，即可得，；
（2）求出，，用待定系数法可得直线的函数表达式；
（3）设，则，①当以点为圆心，长为半径的与直线相切时，，②当以点为圆心，长为半径的与直线相切时，，解方程求出的值即可得到答案．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
25．【答案】解：（1）①如图1中，
，，
，，，，
，点到的距离为5，点到的距离为3，点到的距离为6，
，是线段的“等距点”，故答案为：，；
②设，
点是线段的“等距点”，，，
解得或0，或；
（2），，，
如图，根据定义以为半径，，为圆心，作，，分别交轴的负半轴，轴正半轴于点，，则，设与轴的正半轴交于点，
，上的点到的距离为，图形上存在线段的“等距点”，
则与线段，有交点，
根据题意可知，，，．
当半圆与只有一个交点时，在负半轴上时，，
当在轴的正半轴上时，，
当与内切时，．
当与外切时，，
综上所述，满足条件的的值为：，．
【解析】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，两圆的位置关系，“等距点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
（1）①根据“等距点”的定义一一判断即可：
②设，由点是线段的“等距点”，可得，由此构建方程求出即可．
（2）如图，根据定义以为半径，，为圆心，作，，分别交轴的负半轴，轴正半轴于点，，则，设与轴的正半轴交于点，推出，上的点到的距离为，推出图形上存在线段的“等距点”，则与线段，有交点，求出几种特殊位置的值，可得结论．