河北省廊坊市第六中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省廊坊市第六中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分卷I和卷Ⅱ两部分；卷I为选择题，卷Ⅱ为非选择题．
本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
卷Ⅰ（选择题，共36分）
一、选择题（本大题有12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】解：若关于x的方程是一元二次方程，则．
故选：B．
2. 已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由解析式求得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据、到对称轴的距离的大小即可判断．
【详解】解：，
二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
和，
，
，
故选：C．
3. 若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程（）的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根可知，求出即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等实数根，
，
解得：．
故选：．
4. 函数和函数（是常数，且）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，关键是的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a>0时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与y轴的交点坐标为．
【详解】A．由函数的图象可知，即函数开口向上，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数的图象可知，即函数开口向上，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C．由函数的图象可知m>0，即函数开口向下，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数的图象可知，即函数开口向上，对称轴为，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：D．
5. 已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查估算一元二次方程的解，是解本题的方法．
本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解．利用夹逼思想求一元二次方程的近似解．根据表格当时，；当时，，即的一个根在2和3之间．
【详解】解：由可得：，
根据表内数据，可以发现：
的值随着x的增大而增大，
且：当时，；当时，；
∴一元二次方程的其中一个解x的范围是，
故选：D．
6. 如图，在中，，，．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P在上以的速度向B点移动，点Q在上以的速度向C点移动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设当运动时间为秒时，的面积为，由题意得出，，则，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】解：设当运动时间为秒时，的面积为，
由题意得：，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5
C. 当时，
D. 直线与二次函数图象有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的性质，求函数解析式，利用对称性求二次函数与轴交点坐标，据此分别判断各选项，进而得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，
∴二次函数解析式为，即，故A错误；
∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点，
∴图象与轴交于另一点，
∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误；
将代入，得
∴
当时，；当时，，
∵图象开口向上，顶点坐标为，
∴函数有最小值，
∴当时，，故C错误；
令，整理得，
∴，
∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确；
故选：D．
8. 某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，熟练掌握题意是解题的关键．根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意中的等量关系可得：，
故选B．
9. 已知关于的方程的根是整数，其中是实数，则可取的值有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的根的概念，因式解法求一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键，根据关于x的方程的根为整数，分类讨论，当时，运用因式分解求一元二次方程的根；当时，解一元二次方程得，结合题意判定是否符合题意；由此即可求解．
【详解】解：①当时，即和时，
由原方程，得,
解得，或，
∵关于的方程的根是整数，
∴；
②当时，
解得，，
分别可得x=0，x=2，
因此也可以；
综上所述，满足条件的值共有个．
故选：C．
10. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A. 只有甲B. 甲和丙C. 乙和丙D. 丙和丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
根据配方法解一元二次方程判断作答即可．
【详解】解：由题意知，甲中，
丙中，
∴甲和丙出现了错误，
故选：B．
11. 为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（ ）
A. 月和月B. 月至月
C. 月D. 月、月和月
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题意可知没有盈利时，利润为和小于的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】解：，且为整数，
当时，或，
当时，，
故选：D．
12. 如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标．
【详解】解：如图，
把点纵坐标代入中得：
(舍去负值)，即，
所以．
故选：C．
卷Ⅱ（非选择题，共84分）
注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．
2．答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔直接写在试卷上．
二、填空题（本大题有4个小题，每空3分，共12分，把答案写在题中横线上）
13. 将抛物线向左平移5个单位长度后得到的抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移，解题关键是掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，据此即可解答．
【详解】解：抛物线向左平移5个单位长度后得到的抛物线的解析式为，
故答案为：．
14. 一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用．设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，然后根据“十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数”即可列出方程求解．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，
依题意得：，
整理得：，即，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，
∴这个两位数为46．
故答案为：46．
15. 方程有两个实数根，则的取值范围______
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件，由题意得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
16. 如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面时，测得拱桥内水面宽为．当水面升高后，拱桥内水面的宽度减少_____________m．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扫物线的性质及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
建立平面直角直角坐标系，设抛物线方程为，由题意知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，求出抛物线方程为．由此能求出结果．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线为，
由题意知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，
解得：
∴抛物线方程为．
当水面升高后，，则，解得．
∴当水面升高后，拱桥内水面宽度是米．
当水面升高后，拱桥内水面的宽度减少m．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，数轴上点代表的数为，点代表的数为．

（1）若，求的值．
（2）A、B之间距离能否为1，并说明理由．
【答案】（1）3或
（2）A、B之间距离不能为1，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数轴和有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．
（1）先根据数轴上两点间的距离公式求，再根据，列出关于的方程，解方程即可；
（2）先求出，再假设，列出关于的方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况，从而判断即可．
【小问1详解】
点代表的数为，点代表的数为，，
，
，
，
，
或，
解得：或；
【小问2详解】
不能为1，理由如下：
若点代表的数为，点代表的数为，，
则，
，
，
，，，
，
原方程无解，
，之间的距离不能为1．
18. 在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求4△3的值；
（2）求（x+2）△5=0中x的值．
【答案】(1)7；（2）x1=3, x2=-7
【解析】
【详解】试题分析：（1）将a=4，b=3代入公式计算出结果即可；（2）根据运算规则计算出方程左边的结果，再解方程即可.
试题解析：
（1）4△3＝42－32 ＝16－9＝7.
（2）（x+2）△5=0，(x+2)2－52=0，(x+2)2=52，x+2=±5，x1=3，x2=－7 .
点睛：遇到新运算规则，理解题目的意思，套用公式即可.
19. 抛物线顶点，与x轴交于A、B两点，且．

（1）求y1的解析式及A、B间距离．
（2）将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且．求出新坐标系下抛物线解析式及n值．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，熟悉二次函数的性质和平移的特点是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，最后根据两点间的距离公式，即可求解；
（2）由题意得，令，求出，则，即可求解．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为：，
将点代入得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
根据函数的对称性，点，
则；
【小问2详解】
由题意得，，
令，则，
则，
则，
解得：，
则．
20. 小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
（1）小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）配方；三
（2），
【解析】
【分析】（1）根据配方法解答即可．
（2）根据配方法的基本步骤规范解答即可．
本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误，
故答案为：配方法，第三步．
【小问2详解】
原方程可变形为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
21. 如图，拋物线过点，顶点，与轴交于点，点（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点和点的坐标；
（3）关于的方程的解的情况怎样？结合图像说明理由．
【答案】（1）；
（2），；
（3）方程没有实数根，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与轴的交点、二次函数的图象性质，关键是求出抛物线解析式．
（1）根据抛物线过点、顶点，由待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，解方程即可；
（3）把方程的解的情况转化为抛物线与直线的交点情况即可．
【小问1详解】
抛物线过点、顶点，
则，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
令，则，
解得，，
，；
【小问3详解】
抛物线最低点为，
抛物线与直线没有交点，
方程没有实数根．
22. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】（1），
（2）每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．
【小问1详解】
解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
【小问3详解】
解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
23. 【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
（1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若汽车刹车后，行驶了多长距离；
（3）若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【答案】（1）关于的函数解析式为；
（2）汽车刹车后，行驶了米；
（3）该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由见解析．
【解析】
【分析】（）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；
（）将 代入（）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
（）求出（）中函数的最大值，与比较，即可解决问题；
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：设关于的函数解析式为，将，，代入，
，解得：，
∴关于的函数解析式为；
【小问2详解】
解：由（）得关于的函数解析式为，
当时，，
∴汽车刹车后，行驶了米；
【小问3详解】
解：由（）得关于的函数解析式为，
∴，
∴当时，汽车停下，行驶了米，
∵，
∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
24. 如图，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将二次函数的图像向右平移2个单位长度，与二次函数的图像组成一个新的函数图像，记为，设上的一点的坐标为．
①当满足_______时，随的增大而增大；
②直接写出的函数表达式；
③当时，过点作轴的垂线，分别交，于点，，若点是线段的三等分点，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②；③或
【解析】
【分析】（1）将二次函数的一般式转化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）①画出二次函数平移后的草图即可得出结论；②对于二次函数的平移，需要在顶点式的基础上进行，左右平移只针对，依据左加右减即可得出结论；③根据草图可知的对称轴为直线，两点关于直线对称，，又因点是线段的三等分点，所以可分为两种情况，和，将线段长度代入即可求得点的坐标．
【小问1详解】
解：，
抛物线的顶点坐标为．
【小问2详解】
① 由题意可知，的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随增大而增大，
当时，随的增大而增大，
；
②的表达式为，
当时，的图像向右平移2个单位长度，函数解析式为：，
当时，，
表达式为；
③ 如图，由题意可知，的对称轴为直线，两点关于直线对称，两点关于直线对称，
，
，
由平移得，，
当时，即，
解得，
此时点的坐标为，
当时，即，
解得，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
x
解：原方程可变形为，（第一步）
∴，（第二步）
∴，（第三步）
∴，（第四步）
∴，（第五步）
∴，．（第六步）
刹车后行驶的时间
刹车后行驶的距离