河北省保定市莲池区爱和城学校2024-2025学年九年级上学期10月测试数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省保定市莲池区爱和城学校2024-2025学年九年级上学期10月测试数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：考试时间120分钟，满分120分．
一、单选题（1-10每题3分，11-15每题2分，共40分）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． ，是分式方程，不是一元二次方程；故该选项不符合题意；
B． ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C． ，化简后为：，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D． ，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选D．
2. 一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A. （x﹣3）2＝15B. （x﹣3）2＝3C. （x+3）2＝15D. （x+3）2＝3
【答案】A
【解析】
【分析】先移项，化为再方程两边都加9，从而可得答案.
【详解】解： x2﹣6x﹣6＝0，

两边都加9得：

故选A
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.
3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）．
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了成比例线段．根据成比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、，四条线段不成比例，故本选项不合题意；
B、，四条线段不成比例，故本选项不合题意；
C、，四条线段成比例，故本选项符合题意；
D、，四条线段不成比例，故本选项不合题意．
故选：C．
4. 已知和中，，则与的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据题意，易得，根据相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴与的周长之比为；
故选B．
5. 在一个不透明的袋子中装有黄球个、白球个，这些球除颜色外无其他差别，随机从中摸出一个小球后不放回，则两次摸到的球都是白球的概率是（ ）
A. B. C. 13D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用列表法列出所有可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：列表如下：
∴所有等可能的情况数为种，其中两次都是都是白球的情况数是种
∴两次摸出球都是白球的概率是：
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6. 若，是方程两个根，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，，再进行计算，即可．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，，
∴，，
∴．
故选：B．
7. 某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．
设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则五月份生产零件个，六月份生产零件个，根据“第二季度共生产零件91万个”即可列出方程．
【详解】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为，根据题意，得
．
故选：D
8. 如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（ ）
A. 甲和乙B. 甲和丙C. 乙和丙D. 甲、乙和丙
【答案】B
【解析】
【分析】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断．
【详解】解：∵，
∴是相似形的是甲和丙
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟知相似多边形对应边成比例是解题的关键．
9. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种，
所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是，
故选：D．
10. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值 （ ）
A. －1B. C. 1D. －1或
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a−1≠0，a2−1＝0，求出a的值即可．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】把x＝0代入方程得：a2−1＝0，
解得：a＝±1，
∵（a−1）x2＋x＋a2−1＝0是关于x的一元二次方程，
∴a−1≠0，
即a≠1，
∴a的值是−1．
故选：A．
【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．
11. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
12. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯21次，则参加酒会的人数为（ ）
A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人
【答案】C
【解析】
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯21次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】设参加酒会的人数为x人，
依题意，得：x（x－1）＝21，
解得：x1＝7，x2＝－6（舍去）．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13. 有一个长、宽分别为和的矩形水池，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与AB平行，另两条与平行，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的，道路的宽为（ ）
A. 0.8mB. 1mC. 1.2mD. 0.8m或1.2m
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．设道路的宽为m，根据道路的宽为正方形边长的，得出道路与正方形的面积进而得出答案．
【详解】解：设道路的宽为m．
∵道路的宽为正方形边长的，
∴正方形边长m，
列方程，
整理得，
解得，．
答：道路的宽为1m；
故选：B．
14. 现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A. 第4张B. 第5张C. 第6张D. 第7张
【答案】C
【解析】
【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解．
【详解】
设这张正方形纸条是第n张.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
解得：n=6.
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.
15. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ）
A. 只有①②B. 只有①②④
C. ①②③④D. 只有①②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可．
【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确；
若方程有两个不相等的实根，则：，
则：的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根；故②正确；
若是方程的一个根，则，
当时，，故③错误；
若是一元二次方程的根，则：，
∴，
∴；故④正确；
故选B．
二、填空题（每题3分，共12分）
16. 若，则________．
【答案】##06
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解．
【详解】解：，
设，，
，
故答案为：．
17. 某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法________（填“公平”或“不公平”）．
【答案】不公平
【解析】
【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题，根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
【详解】解：红球有个，白球有个，
，，
，
这个办法不公平．
故答案为：不公平．
18. 如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB＝6，则△DEF移动的距离AD＝________．
【答案】2
【解析】
【分析】如图，根据平移的性质得到，则可判断，利用相似三角形的性质可计算出，则AE，然后计算DE﹣AE即可．
【详解】解：如图所示，AC与EF的交于点G，
∵△DEF沿DE平移到△ABC的位置，
∴，，
∴△AEG∽△DEF，
，
，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平移的性质，也考查了相似三角形面积与比相似比间的关系，将题中给出的面积比转化为相似比是解题的关键．
19. 如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高______m．

【答案】7.5
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，并根据比例关系求值是解题的关键．根据题意证，根据线段比例关系求出即可求出的长．
【详解】解：，，
，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：7.5
三、解答题（共68分）
20. 解下列方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程：熟练掌握直接开方法及公式法解一元二次方程是解题关键．
（1）先整理，再利用直接开方法即可求解；
（2）提取公因式，利用因式分解法即可求解．
【小问1详解】
解：整理，得：，
开方，得：，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
因式分解，得，
∴，，
解得：，．
21. 已知关于的方程：．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为和，若，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，进行解答，即可．
（1）根据一元二次方程根的判别式，验证时，方程有两个不相等的实数根，即可；
（2）根据根与系数的关系，，结合，求出，把代入，即可．
【小问1详解】
解：证明：∵关于的方程：中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：由题意得，，
∵，
∴，
把代入中，得，
解得：．
22. 在一个袋子中装有大小相同的个小球，其中个蓝色，个红色．
从袋中随机摸出个，求摸到的是蓝色小球的概率；
从袋中随机摸出个，用列表法或树状图法求摸到的都是红色小球的概率；
(3)在这个袋中加入个红色小球，进行如下试验：随机摸出个，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？
【答案】（1）； （2）6.
【解析】
【分析】（1）根据概率公式可得；
【详解】（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得；
（3）根据大量重复实验时，频率可估计概率列出方程求解可得．
解：∵个小球中，有个蓝色小球，
∴（蓝色小球）；
画树状图如下：
共有种情况，摸到的都是红色小球的情况有种，
（摸到的都是红色小球）；
(3)∵大量重复试验后发现，摸到红色小球的频率稳定在，
∴摸到红色小球的概率等于，
∴，
解得：x=6．
【点睛】考查概率的求法，用频率估计概率，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.画出树状图是解题的关键.
23. 如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：；
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，首先证明四边形为平行四边形，从而得到，于是得到，又因为，从而可证明．
【详解】证明：∵，是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
24. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？
【答案】（1）平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．
（2）要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元..
【解析】
【分析】（1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润；
（2）设每个模型降价x元，则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可.
【小问1详解】
解：依题意得：
降价4元后每件利润：（元），
降价4元后销量：（个），
降价4元后每天获利：（元），
答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．
【小问2详解】
解：设每个模型降价x元，
则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，
依题意得：
即：，
解得，，
因为每个模型盈利不少于元，
所以
即，
故，
答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键.
25. 如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键．
（1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形，，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
26. 某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x (元/箱)与销售量y(箱)有如表关系：
已知y与x之间的函数关系是一次函数．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元?
（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从7月17号开始水蜜桃销售价格在（2）的条件下，下降了，同时水蜜桃的进货成本下降了，销售量也因此比原来每天获得1600元盈利时上涨了，7月份(按31天计算)降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前的销售总盈利少元，求的值．
【答案】（1）y与x之间的函数关系是：
（2）要使顾客获得实惠，每箱售价是56元
（3）20
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润，列出一元二次方程方程，解方程求出答案；
（3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而列出一元二次方程方程，解方程求出答案．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系是：，
根据题意可得：，
解得：，
故y与x之间的函数关系是：；
小问2详解】
由题意可得：，
解得：，
顾客要得到实惠，售价低，所以舍去，所以，
答：要使顾客获得实惠，每箱售价是元；
【小问3详解】
在（2）的条件下，x=56时，y=100，由题意得到方程：
，
解得（舍去），
答：的值为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
白
白
黄
白
———
（白，白）
（黄，白）
白
（白，白）
———
（黄，白）
黄
（白，黄）
（白，黄）
———
每箱售价x（元）
68
67
66
65
...
40
每天销量y（箱）
40
45
50
55
...
180