湖北省襄阳市第四中学 义教部2024-2025学年九年级上学期数学10月月考试卷（解析版）-A4

这是一份湖北省襄阳市第四中学 义教部2024-2025学年九年级上学期数学10月月考试卷（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 总分：120分
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，求含未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，整理，得：，是一元一次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选D．
2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将方程常数项移到等号右边，两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可得到结果
【详解】解：方程整理得：，
配方得：，即．
故选：D．
【点睛】此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式．
3. 若函数是二次函数，则m的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得：．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数．
4. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线C. 抛物线的顶点坐标为D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
5. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线在平面直角坐标系中平移的规律：左加右减，上加下减，即可得到答案．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为，
故选∶D
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握抛物线在平面直角坐标系中平移的规律是解答此题的关键．
6. 据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合到第三个月月末累计进馆6080人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，
根据题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 若抛物线的对称轴是直线，且经过点，则使函数值成立的x的取值范围是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一交点为，再由，结合函数图象即可求得．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，且经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∵，
∴使函数值成立的x的取值范围是或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8. 设是抛物线上的三点，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得，，的值，比较大小即可．
【详解】解：∵，，是抛物线上的三点，
∴，，，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
9. 函数和（a是常数，且），在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项错误；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项正确．
故选：D．
10. 如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；……如此进行下去，直至得．若在第13段抛物线上，则（）
A. 3B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出的值．
【详解】解：∵一段抛物线：，
∴图象与轴交点坐标为：，
∵将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；
如此进行下去，直至得．
∴的解析式与轴的交点坐标为，，且图象在轴上方，
∴的解析式为：，
当时，．
故选：D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 若关于的方程有一根是－3，则另一根为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到-3t=-6，然后解一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得-3t=-6，
解得：t=2，
即方程的另一个根为2.
故答案为：2．
【点睛】本题考查根与系数关系，注意掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
12. 已知关于x的二次函数的图象经过原点，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象经过原点，把代入函数表达式，即可求出m的值，再根据二次函数的定义，排除不符合题意的m的值即可．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
∵为二次函数，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义，图象经过原点时，是本题的关键．
13. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，那么这个微信群共有_____人．
【答案】10
【解析】
【分析】设这个微信群共有x人，则每人需发（x−1）个红包，根据该微信群共发了90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这个微信群共有x人，则每人需发（x−1）个红包，
依题意得：x（x−1）＝90，
整理得：x2−x−90＝0，
解得：x1＝10，x2＝−9（不合题意，舍去）．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14. 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m
【答案】3
【解析】
【分析】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为：y=ax2+b，
由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，
∵菜农的身高为1.8m，即y=1.8，
则1.8=﹣x2+2.4，
解得：（负值已舍去）
故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：m，
故答案为：3．
15. 已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．
【详解】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，
若，当时，函数值y最小，最小值为1，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16. 解方程：
（1）3x2﹣10x+6=0
（2）5x（x﹣1）=2﹣2x．
【答案】（1）x=或x=；（2）x=1或x=﹣．
【解析】
【分析】（1）直接利用求根公式计算结果即可；
（2）移项后提取公因式即可得到结果．
【详解】解：（1）3x2﹣10x+6＝0
∵a＝3 b＝﹣10 c＝6
∴b2﹣4ac＝（﹣10）2﹣4×3×6＝100﹣72＝28＞0，
∴x
∴x或x
（2）5x（x﹣1）＝2﹣2x
移项得：5x（x﹣1）+2x﹣2＝0
整理得5x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0
提取公因式得：（x﹣1）（5x+2）＝0
解得：x＝1或x．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的方法是选择合适的解方程的方法并认真的求解．
17. 已知二次函数.
（1）用配方法将化成的形式.并写出对称轴和顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图．
【答案】（1），对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，求抛物线与坐标轴的交点，画二次函数图象，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）利用配方法把函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2）列表、描点、连线画出函数图象即可．
【小问1详解】
解：，
则对称轴为直线，顶点坐标为；
【小问2详解】
解：列表：
描点、连线画出函数图象如图：
．
18. 已知关于的方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【答案】（1）证明过程见详解
（2）这个等腰三角形的周长是10
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质，
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解；
（2）根据一元二次方程根的情况，分类讨论，当为腰时，，解得，根据解一元二次方程的方法得到两根，再结合等腰三角形的性质进行分析；当为腰时，，同理解得，解一元二次方程得两根，再结合等腰三角形的性质进行分析即可求解．
【小问1详解】
证明：关于的方程中，，
∴
∵，
∴无论取何值，此方程总有实数根；
小问2详解】
解：是关于的方程的两根，
当是等腰的底边，是腰时，，
∴，
解得，，
∴关于的方程为，即，
解得，，
此时，，不能构成等腰三角形，不符合题意，舍去；
当是等腰的腰，是腰，是底边时，，
∴b=4是关于方程的一个根，
∴，
解得，，
∴，即，
解得，，
∴，
∴等腰边长分别为，能构成等腰三角形；
∴这个等腰三角形的周长是．
19. 尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
【答案】（1）280；（2）23元或19元；（3）19元
【解析】
【分析】（1）根据每天的平均销售量=80+降低的价格÷0.5×20，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，根据每天的总利润=销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）由（2）的结论结合平均每天至少要销售200件该商品，可确定x的值，再将其代入（25-x）中即可求出结论．
【详解】解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．
故答案为：280．
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件，
依题意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，
整理，得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∴25-x=23或19．
答：每件商品的定价应为23元或19元．
（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；
当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，
∴25-x=19．
答：商品的销售单价为19元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-利润问题，读懂题意，根据商品降价表示出商品销售件数从而列出方程是解题关键．
20. 如图，某市民政局欲给敬老院修建一个半径为7米的圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点处安一个喷水头，测得喷水头A距地面的高度为，水柱在距喷水头A水平距离处达到最高．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．

（1）求抛物线的表达式；
（2）请你通过计算说明喷出的水柱是否会落到圆形喷水池的外面．
【答案】（1）
（2）喷出的水柱不会落到圆形喷水池的外面，详见解析
【解析】
【分析】（1）由顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入，求出即可．
（2）当时，求出的值，与半径米进行比较即可得到结果．
【小问1详解】
由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
则，，
抛物线的表达式为，
将代入上式得，，
解得，，
抛物线的表达式为．
【小问2详解】
当时，，
解得，，（舍去），
，
喷出的水柱不会落到圆形喷水池的外面．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
21. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．
【答案】(1) k≤;(2)-2.
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值．
【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），
即k2﹣4k﹣12=0，
解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
22. 如图，对称轴为直线x=-1抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）
【解析】
【分析】（1）由点A与点B关于直线x＝﹣1对称可求得点B的坐标．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．然后依据S△POC＝2S△BOC列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：
解得：b＝2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
∴OC＝3．
∵点B的坐标为（1，0），
∴OB＝1．
设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．
∵S△POC＝2S△BOC，
∴OC•|a|＝OC•OB，即×3×|a|＝2××3×1，解得a＝±2．
当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；
当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．
∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想，属于中考常考题型．
23. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【小问1详解】
解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
24. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；
（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
∴二次函数的表达式是y=x2-4x+3；
（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），
设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得
，
解这个方程组，得

直线BC的解析是为y=-x+3，
过点P作PE∥y轴
，
交直线BC于点E（t，-t+3），
PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=时，S△BCP最大=.
（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）
MN=m2-3m，BM=|m-3|，
当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，
②m2-3m=-（m-3），解得m=-
当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，
m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）
当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，
-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．