四川省绵阳市涪城区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省绵阳市涪城区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了 抛物线的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共36分）
1. 一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（ ）
A. 2，1，B. ，1，C. 1，，8D. 8，1，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式、一元二次方程的概念，形如，先将式子化为一般式，即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的概念是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是，1，，
故选：B．
2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．由一元二次方程的概念对四个选项进行验证，可得正确答案．
【详解】解：A、当时，即该方程的二次项系数是0时，不是一元二次方程，故本选项错误；
B、由，得，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误；
C、是分式方程，不是整式方程，；
D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确．
故选：D．
3. 将一元二次方程化成一般形式为，则的值为（ ）
A. 10B. −10C. 8D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．把化为一般形式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程化成一般形式为，
∴．
故选A．
4. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A 1B. 0C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义，把代入方程，即可解得m的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．
5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ）
A. 13B. 12C. 11D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故选：D．
6. 用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：B．
7. 下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解．
【详解】解：A：，y是x的二次函数，符合题意；
B：， y是x的反比例函数，不符合题意；
C：，y是x的一次函数，不符合题意；
D：， y不是x的二次函数，不符合题意；
故选：A
8. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与y轴交点的坐标是B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为D. 当时，y随x增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据对称轴解析式，顶点坐标以及二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：将代入，求出，故图象与y轴交点的坐标是，选项A错误；
对称轴是直线，故选项B错误；
顶点坐标为，故选项C错误，
因为函数开口向下，当时，y随x的增大而增大，故选项D正确．
故选：D．
9. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：因为抛物线，
所以抛物线的顶点坐标是．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
10. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上B. 当时，y随x的增大而增大
C. 有最小值4D. 顶点坐标是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据函数图象与各系数之间的关系，结合二次函数图象的性质逐一判断即可．
【详解】解：在中，，
图象开口向下，故选项A错误；
二次函数的图象关于直线对称，且开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项B正确；
∴当时，有最大值4，故选项C错误；
∵二次函数
∴顶点坐标是，故选项D错误；
故选：B．
11. 关于的二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质进行判断即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线顶点坐标为，与轴交点为，
∵，
∴，
∴顶点坐标在第四象限，与轴交点在轴正半轴上，
∴选项图象符合题意，
故选：．
12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．
【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示，
∴开口向下，
∵图象过点，对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．
∴
∴
故①错误；
∵
∴
故③正确；
∵如图：
则图象过点，抛物线开口向下
把代入
∴
∴
故②错误；
∵则图象过点，对称轴为直线
∴抛物线与轴的另一个交点为
∵抛物线开口向下
∴当时，
故④正确的；
把代入，
得
∵
∴
∴
∵
∴
故⑤正确的
故选：B．
二．填空题（共18分）
13. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值，解题关键是根据题意得到，再代入求值．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：2024．
14. 将一元二次方程配方后得到，则_________．
【答案】26
【解析】
【分析】此题考查是解一元二次方程−−配方法，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．把配方后与比较得出b，c的值，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵方程配方后得到，
∴，
∴．
故答案为：26．
15. 把函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的图象的解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据左加上加的平移原则计算即可．
本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握做加上加，左右平移，位于x上，上下平移，对于y实施是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：．
16. 在二次函数中，二次项系数与一次项系数的和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项；
由题意可得二次项系数是2，常数项是，再求和即可．
【详解】解：在二次函数中，
二次项系数为2， 一次项次数为，
∴二次项系数与一次项系数的和是：，
故答案为：．
17. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为__________
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解．
【详解】解：由题意得，，对称轴，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵当时，；时，，
∴当时，函数值y的取值范围为，
故答案为：．
18. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑三条同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．若设道路宽为，则根据题意可列方程为_______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪变为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程．
【详解】解：设小路宽为，根据题意得：
，
故答案为：．
三．解答题（共46分）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解与公式法解一元二次方程是解本题的关键．
（1）把原方程化为，可得两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先计算，再利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得：，．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，．
20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形的对角线为4，求实数m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，据此求解即可；
（2）设该方程的两个实数根为，则由根与系数的关系得到，，再由矩形的性质和勾股定理得到，则由完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
∴
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设该方程的两个实数根为，
∴，，
∵该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形的对角线为4，
∴由矩形的性质和勾股定理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，矩形的性质，勾股定理等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
21. 已知关于的方程．
（1）若是方程的解，求的值；
（2）若原方程有实数根，求的取值范围；
（3）若方程的两根分别为，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）m的值不存在
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程根与系数的关系．
（1）把代入方程，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当，即时，原方程可化为一元一次方程，有实数根；当，即时，原方程为一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式得到，代入即可求解；
（3）根据一元二次方程根与系数关系得到，求解并检验即可解答．
【小问1详解】
解：∵是方程的解，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：当，即时，
原方程可化为，是一元一次方程，有实数根；
当，即时，原方程为一元二次方程，
要使方程有实数根，
则，
解得．
综上，要使方程有实数根，的取值范围是；
【小问3详解】
解：根据韦达定理有，
∵，
∴，解得，
经检验，是方程的解，
由（2）可知，，则4应舍去，
∴m的值为不存在．
22. 已知函数（m是常数）．
（1）若该函数是一次函数，求m的值；
（2）若该函数是二次函数，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义：
（1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可；
（2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可．
【小问1详解】
解：是一次函数，
且，
解得；
小问2详解】
解：是二次函数，
，
解得，
当时，，不符合题意，
．
23. 已知抛物线．
（1）若点在此抛物线上，求此抛物线的表达式；
（2）求出此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
(1)依据题意，由点在抛物线上，代入求出m即可得解；
(2)依据题意，由抛物线为，进而可以得解．
【小问1详解】
解∶由题意，点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解∶依据题意，抛物线为，
该抛物线的顶点为．
24. 玩具火箭从地面出发，依次沿线段和抛物线的路径运行落到地面．小铭测得玩具火箭距离地面高度y（单位：m）随运行时间x（单位：s）变化的数据，整理得下表：
小铭探究发现，玩具火箭运行时间不超过3s时，玩具火箭距离地面高度y与运行时间x成一次函数关系；超过3s后，玩具火箭距离地面高度y与运行时间x成二次函数关系．
（1）直接写出y关于x的函数关系式，并画出其图象；
（2）求玩具火箭运行8s时，距离地面的高度；
（3）玩具火箭在运行过程中，有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m，求该玩具火箭在这两个位置之间运行所用的时间．
【答案】（1），作图见解析
（2）距离地面高度为35m
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式，画函数图象，已知函数值求自变量的值和已知自变量的值求函数值，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）分类讨论，利用待定系数法求函数解析式即可，再描点作图即可；
（2）将代入，即可求解；
（3）可知顶点为且为最高点，则当有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m时，，将代入，即可求解．
【小问1详解】
解：时，由表格知，
∴设解析式为：y=kxk≠0，
当，
则，
∴，
∴；
当时，由表格知，，，，
可知对称轴为：直线
设二次函数解析式为：
则，
解得：，
∴二次函数解析式为：，
即：，
综上：y关于x的函数关系式为，
作出图象为：
【小问2详解】
解：玩具火箭运行8s时，
将代入，
得，
∴距离地面高度为35m；
【小问3详解】
解：∵二次函数解析式为：，
∴顶点为且为最高点，
∴当有两个位置的高度比玩具火箭运行的最高点低45m时，
，
将代入得：，
解得：，
将代入，
得：，
解得：或，
∵，故舍，
∴运行时间为：．
运行时间
0
1
2
3
4
6
9
距离地面高度
0
20
40
60
75
75
0