广东省汕头市潮阳区河溪中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷

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1．B
【难度】0.85
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算
【分析】根据题意利用补集和交集运算求解即可.
【详解】因为全集或，
则，所以.
故选：B.
2．D
【难度】0.85
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】根据给定条件，利用复数的除法计算，再利用共轭复数及虚部的意义判断得解.
【详解】依题意，，
所以的虚部为.
故选：D
3．B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知直线平行求参数
【分析】由题意先求出时的的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】由题设，可得，解得或.
当时，，此时，当时，，此时，
所以“”不能推出“”；“”能推出“”，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．A
【难度】0.85
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的运算、对数函数的概念判断与求值
【分析】应用分段函数求函数值即可.
【详解】.
故选：A.
5．C
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、求椭圆中的最值问题
【分析】运用椭圆定义对长度进行转化计算即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知，
所以.
当三点共线时，，
所以的最小值为.
故选：C.
6．A
【难度】0.65
【知识点】指数型函数图象过定点问题、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】根据函数图象的平移变换可得定点的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果.
【详解】因为函数的图象经过定点，
所以函数的图象经过定点，
因为点在角的终边上，所以.
故选：A.
7．C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式求最值逐一分析即可.
【详解】因为，则，
当且仅当，即时取等号，故A正确；
，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故C错误.
因为，则，
当且仅当，即时取等号，故D正确；
故选：.
8．D
【难度】0.65
【知识点】判断圆与圆的位置关系、两圆的公共弦长、圆的公切线条数
【分析】将两圆化成标准方程，分别求出其圆心和半径，根据两圆的位置关系依次判断各个选项即可.
【详解】由题圆化成标准方程为，
其圆心为，半径，
圆化成标准方程为，
其圆心为，半径，
所以两圆圆心距为，A正确；
因为，
所以两圆相交，则公切线有2条，故B，C正确；
对于D，两圆的公共弦所在直线方程为：
，化简得，
圆心到的距离，，
设公共弦长为，则，D错误；
故选：D.
9．ABD
【难度】0.65
【知识点】直线交点系方程及应用、求点到直线的距离、直线与圆中的定点定值问题
【分析】首先变形直线求定点，将代入圆的方程，求圆与轴的交点，即可判断B，结合定点，利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断CD.
【详解】A.直线，不管为何值，满足方程，即可直线恒过定点，故A正确；
B.当时，，解得：，，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确；
C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误；
D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确.
故选：ABD
10．BC
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】由图象求出函数解析式，然后由正弦函数的性质逐项判断即可；
【详解】由函数图象可得，周期，所以，
又，
所以，则，
因为，所以，故，
对于A，，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，该图象向右平移个单位长度可得，故C正确；
对于D，若，则，此时函数不单调，故D错误；
故选：BC.
11．ACD
【难度】0.65
【知识点】多面体与球体内切外接问题、空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用
【分析】选项A:利用空间向量的加法和减法求解即可，选项B：利用向量的模求解线段的长度即可，选项C:利用向量的数量积求解向量垂直即可，选项D：分析可以知道球面与平面的交线是以为圆心，为半径的圆，从而求解出交线的长度.
【详解】由题得，
，故A正确.
因为，
，，所以
，
所以，故B错误.
因为，
所以
，
所以，以，故C正确.
取的中点为，连接，易知平面，且.
由球的半径为，知球面与平面的交线是以为圆心，为半径的圆.
如图，在正方形内，以为圆心，2为半径作圆，所得的圆弧即为所求交线.
由题意可知，所以弧的长为，故D正确.
故选:ACD.
12．
【难度】0.85
【知识点】具体函数的定义域
【分析】由题意得到，求解即可.
【详解】解：要使函数有意义，则，
解得且，故函数的定义域为
故答案为： .
13．
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程
【分析】结合已知条件求出，然后利用得到一个与的关系式，并将代入所求椭圆方程得到第二个与的关系式，联立两个关系式即可求解.
【详解】不妨设所求椭圆方程为：，，且焦距为，
由已知条件可知， ①，
将代入可得， ②，
联立①②可得，，，
故所求椭圆方程为：.
故答案为：.
14．
【难度】0.65
【知识点】点到平面距离的向量求法、求点到直线的距离
【分析】有题意可得，则可求出，则可得，由则可求出点到直线的距离；由题意易求出平面的法向量，又，由即可求出点D到平面的距离.
【详解】由题意知：，
所以，
，
所以，
所以点到直线的距离为；
由题意知：，
所以，
记平面的法向量为，
则，取，则，，
此时，
又，
所以点D到平面的距离.
故答案为：，.
15．(1)
(2)3或
(3)
【难度】0.85
【知识点】三角形面积公式及其应用、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示
【分析】（1）计算出向量坐标，根据向量夹角公式，即可求解；（2）根据向量垂直可得数量积为0，解出的值即可；（3）根据三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）由已知得：，，…………………………………1分
，……………………………………3分
所以，向量与的夹角为60°．…………………………………………………………4分
（2），，…………………………………6分
∵ ，
∴，………………………………………………………………7分
∴，解得或，
∴实数k的值为3或．……………………………………………………………………9分
（3）由（1）得，，…………………………………………………10分
故的面积为.………………………………………………………………………13分
16．(1)
(2)(i) ，(ii)
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据正弦定理角边化及余弦定理即可求解；
（2）(i)利用（1）的结论及正弦定理的边角化即可求解；
(ii)利用二倍角公式，求出，再结合两角和的正弦公式即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理，可得，
， …………………………………………………………………2分
由余弦定理可得， ， ………………………………………………2分
.……………………………………………………………………………5分
（2）（i）及正弦定理，可得，
，即， ………………………………………………………7分
因为，且 可得为锐角，…………………………………………………8分
所以. ………………………………………………10分
（ii），
，……………………………………………………13分
由（1），知，
所以
………………………………………………………………15分
17．(1)圆的圆心坐标为，半径长为；
(2)或；
(3).
【难度】0.65
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切线长、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】（1）把圆的一般方程化为标准方程，求圆心坐标和半径；
（2）对切线分斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设直线点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径建立等量关系，当斜率不存在时，根据切线过点可求切线方程；
（3）根据圆心与切点的连线垂直于切线，结合勾股定理求解.
【详解】（1）圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为.…3分
（2）①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意． ……………………………………………………………………5分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即.…………7分
由圆心到直线的距离等于半径得，，解得， ………………10分
此时直线的方程为.
综上，直线的方程为或. ………………………………………………12分
（3）
∵圆的圆心坐标为，，
∴.……………………………………………………………13分
如图，由相切得，，，
∴.…………………………………………………………15分
18．(1)第75百分位数为82
(2)平均分为71
(3)
【难度】0.65
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计
【分析】（1）根据百分位数定义结合题意计算即可；
（2）根据频率直方图中的平均数计算方法求解即可；
（3）利用分层抽样、列举法及古典概型即可求解.
【详解】（1）由题意可得：，
解得：； ……………………………………………………3分
因为，
所以该样本的第百分位数在区间80,90， ………………………………………………4分
所以设该样本的第百分位数为，则可得方程：
， ………………………………………………7分
解得：，
即该样本的第百分位数为.………………………………………………………………8分
（2）因为， ……………10分
故估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为. ………………………………………11分
（3）采用分层抽样从40,50和50,60抽取名同学，
因为，
则应在成绩为40,50的学生中抽取人，记为，；
在成绩为50,60的学生中抽取人，记为，，；…………………………………13分
再从抽取的这名同学中随机抽取名同学有如下结果，
，，，，，
，，，，
共10种可能结果；…………………………………………………………………………15分
其中在40,50，50,60各一人的共种；
所以所求概率，
则这名同学分数在40,50，50,60各一人的概率为.………………………………17分
19．(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【难度】0.85
【知识点】证明线面垂直、已知线面角求其他量、面面角的向量求法
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）因为平面平面，
所以， …………………………………………………………1分
又因为，所以，……………………………………………2分
而平，
所以平面；…………………………………………………………………………4分
（2）因为平面平面，
所以，而， …………………………………………………5分
于是建立如图所示的空间直角坐标系，
，…………………………………………7分
由（1）可知：平面，
所以平面的法向量为， …………………………………………………8分
设平面的法向量为m=x,y,z，，……………………9分
则有， ………………………………………10分
设平面与平面夹角为，
；………………………………………………………12分
（3）设，设，……………………………………………13分
于是有，………………………………………14分
，由（2）可知平面的法向量为， ………………15分
假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去，
即. ……………………………………………………17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
B
A
C
A
C
D
题号
9
10
11






答案
ABD
BC
ACD