甘肃省兰州市榆中县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份甘肃省兰州市榆中县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝4B．xy+x＝3C．D．x2﹣2x+1＝0
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．50°B．48°C．55°D．25°
5．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣3m＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．3B．0C．3或0D．2
6．（3分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是正方形内的一点，且△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
8．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m≥C．m＞且m≠2D．m≥且m≠2
9．（3分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
10．（3分）如图，四边形ABCD和四边形AEFC都是矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则S1和S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．5S1＝4S2
11．（3分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）＝864B．x（x+12）＝864
C．2x+2（x+12）＝864D．2x+2（x﹣12）＝864
12．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为 ．
14．（3分）如图，菱形ABCD的面积为24，AC＝8，则菱形的边长为 ．
15．（3分）一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据如下表：
已知袋子里白球有10个，根据表格信息，可估计m的值为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，R和P分别是DC，BC上的点，E和F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，CR＝2时，线段EF的长是 ．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解方程：4x2﹣（3x+1）2＝0．
18．（4分）解方程：2x2﹣6x+3＝0．
19．（5分）如图所示在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且∠BAE：∠EAD＝1：2，若BC＝3，求AE的长．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．
21．（6分）某校为纪念历史，缅怀先烈，举行以“致敬抗美援朝，争做时代新人”为主题的故事会，校团委将抗美援朝中四位历史英雄人物头像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时先将四张卡片背面朝上洗匀放好，再从中随机抽取一张，记下卡片上的英雄人物，然后放回．学生根据所抽取的卡片来讲述他们波澜壮阔、可歌可泣的历史事迹．请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．
22．（6分）如图所示，在长和宽分别为a，b的矩形纸片的四个角上都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积．
（2）当a＝6，b＝4时，且剩余部分的面积是剪去部分面积的2倍时，求正方形的边长．
23．（6分）如图，点E是平行四边形ABCD中边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
24．（6分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？
25．（6分）劳动教育具有树德、增智、强体、美育的综合育人价值观，有利于学生树立正确的劳动价值观，某学校为了了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图，根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，a＝ ；（直接写出答案）
（2）该校学生有1200人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
26．（7分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝CD．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD＝7cm，DC＝2cm，∠EBD＝60°，BE＝3cm，求证：四边形BFCE是菱形．
27．（8分）晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．
直接开平方并整理，得．
我们称晓东这种解法为“平均数法”．
（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得
[（x+□）﹣〇][（x+□）+〇]＝5．
（x+□）2﹣〇2＝5，
（x+□）2＝5+〇2．
直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤．
上述过程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的数分别为 ， ， ， ．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）＝5．
28．（9分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．
2024-2025学年甘肃省兰州市榆中县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理对选项一一分析，判断出答案．
【解答】解：A、正方形是对角线互相垂直平分且相等的四边形，故选项错误；
B、根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，故选项正确；
C、根据菱形的判定，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项正确；
D、根据平行四边形的判定对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理．难度不大，熟练掌握其判定定理是解答此类问题的关键．
2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣1＝4B．xy+x＝3C．D．x2﹣2x+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可得到答案．
【解答】解：A、2x﹣1＝4，该方程不是一元一次方程，不符合题意；
B、xy+x＝3，该方程是二元二次方程，不符合题意；
C、x﹣＝5是分式方程，不符合题意；
D、x2﹣2x+1＝0，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念．解题关键是熟练掌握其概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【解答】解：∵x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x+4＝5+4，∴（x﹣2）2＝9．故选：D．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．50°B．48°C．55°D．25°
【分析】因为点D是AB的中点，则AD＝BD＝CD，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵∠B＝25°，
∴∠B＝∠BCD＝25°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝25°+25°＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣3m＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．3B．0C．3或0D．2
【分析】根据形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的方程叫做一元二次方程，其中c为常数项，得出m﹣3≠0且m2﹣3m＝0，进行计算即可得到答案，
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+5x+m2﹣3m＝0的常数项为0，
∴m﹣3≠0且m2﹣3m＝0，
解得：m＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的相关概念，熟练掌握一元二次方程的相关概念是解此题的关键．
6．（3分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，
∴小灯泡发光的概率为：＝．
故选：A．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是正方形内的一点，且△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF的长是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【分析】根据正方形和等边三角形的性质，得到△AFE为含30度角的直角三角形，AE＝AD＝4，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB，AD＝4，
∴∠FAD＝90°，∠EAD＝60°，∠AFE＝90°，AD＝AE＝4，
∴∠FAE＝30°，
∴；
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，掌握其性质定理是解决此题的关键．
8．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m≥C．m＞且m≠2D．m≥且m≠2
【分析】根据一元二次方程的定义以及方程有解，结合根的判别式即可得出关于m的一元二次不等式组，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有解，
∴，
解得：m≥且m≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据根的判别式以及二次项系数不为0得出关于m的不等式组是解题的关键．
9．（3分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意；
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小小明随机出的是“石头”的概率为，不符合题意；
D、袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
10．（3分）如图，四边形ABCD和四边形AEFC都是矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则S1和S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．5S1＝4S2
【分析】由于矩形ABCD的面积与矩形AEFC的面积都等于2个△ABC的面积，即可得两个矩形的面积关系．
【解答】解：∵S矩形ABCD＝2S△ABC，S矩形AEFC＝2S△ABC，
∴S矩形ABCD＝S矩形AEFC，
即S1＝S2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．
11．（3分）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）＝864B．x（x+12）＝864
C．2x+2（x+12）＝864D．2x+2（x﹣12）＝864
【分析】根据长与宽之间的关系，可得出宽为（x﹣12）步，结合矩形面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵宽比长少12步，且长为x步，
∴宽为（x﹣12）步．
根据题意得：x（x﹣12）＝864
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（3分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．B．2C．3D．4
【分析】根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为3解答即可．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3，
∴△ABD的面积＝a2＝3，
解得：a1＝2，a2＝﹣2（舍去），
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为 ﹣4 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2﹣3x+m＝0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣3x+m＝0得1+3+m＝0，
解得m＝﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．（3分）如图，菱形ABCD的面积为24，AC＝8，则菱形的边长为 5 ．
【分析】设AC与BD相交于点O，然后根据菱形的面积可求BD＝6，进而根据勾股定理可求解．
【解答】解：设AC与BD相交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，面积为24，且AC＝8，
∴，
在Rt△AOB中，；
故答案为：5．
【点评】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键．
15．（3分）一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据如下表：
已知袋子里白球有10个，根据表格信息，可估计m的值为 25 ．
【分析】根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.4；根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.4，然后利用概率公式计算即可．
【解答】解：根据表格信息，摸到白球的频率将会接近0.4，
故摸到白球的概率为0.4，所以可估计袋子中球的个数m＝10÷0.4＝25；
故答案为：25．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，R和P分别是DC，BC上的点，E和F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，CR＝2时，线段EF的长是 ．
【分析】连接AR，根据勾股定理可求出AR，再根据中位线定理即可得出答案．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，CR＝2，如图，连接AR，
∴CD＝3，AD＝5，∠D＝90°，
∴DR＝3﹣2＝1，
在直角三角形ADR中，由勾股定理得：
AR＝＝＝，
∵点E、F分别是AP，RP的中点，
∴EF＝AR＝，
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
三、解答题（共72分）
17．（4分）解方程：4x2﹣（3x+1）2＝0．
【分析】利用因式分解法求出x的值即可．
【解答】解：4x2﹣（3x+1）2＝0，
（2x﹣3x﹣1）（2x+3x+1）＝0，
（﹣x﹣1）（5x+1）＝0，
﹣x﹣1＝0或5x+1＝0，
x1＝﹣1，x2＝﹣．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
18．（4分）解方程：2x2﹣6x+3＝0．
【分析】此题可以采用公式法和配方法，公式法要注意化为一般形式，配方法注意解题步骤．
【解答】解：解法1：∵a＝2，b＝﹣6，c＝3
∴x＝
∴x1＝，x2＝；
解法2：x2﹣3x+3＝
x2﹣3x+＝+
（x）2＝
x＝
∴x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了学生的计算能力．应用公式法要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
19．（5分）如图所示在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且∠BAE：∠EAD＝1：2，若BC＝3，求AE的长．
【分析】由角的数量关系可求∠BAE＝30°，∠DAE＝60°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵∠BAE：∠EAD＝1：2，∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝30°，∠DAE＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝30°，
∴AE＝AD＝BC＝．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；
（2）根据（1）可知：m＝1，继而可得一元二次方程为x2﹣2x+1＝0，根据根与系数的关系，可得x1+x2＝2，x1x2＝1，再将x12+x22﹣x1x2变形为（x1+x2）2﹣3x1x2，则可求得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝8﹣4m＞0，
解得m＜2，
故整数m的最大值为1；
（2）∵m＝1，
∴此一元二次方程为：x2﹣2x+1＝0，
∴x1+x2＝2，x1x2＝1，
∴x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝8﹣3＝5．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
掌握根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
21．（6分）某校为纪念历史，缅怀先烈，举行以“致敬抗美援朝，争做时代新人”为主题的故事会，校团委将抗美援朝中四位历史英雄人物头像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时先将四张卡片背面朝上洗匀放好，再从中随机抽取一张，记下卡片上的英雄人物，然后放回．学生根据所抽取的卡片来讲述他们波澜壮阔、可歌可泣的历史事迹．请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．
【分析】根据列表法求出所有等可能结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
共有16种等可能的结果数，其中小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的结果有4种，
所以小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物概率为＝．
【点评】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意放回实验还是不放回实验是解题的关键．
22．（6分）如图所示，在长和宽分别为a，b的矩形纸片的四个角上都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积．
（2）当a＝6，b＝4时，且剩余部分的面积是剪去部分面积的2倍时，求正方形的边长．
【分析】（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．
（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积的2倍，列方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）由题意可知纸片剩余部分的面积：ab﹣4x2；
（2）由题意得：ab﹣4x2＝2×4x2，
将a＝6，b＝4，代入上式，得：
6×4﹣4x2＝2×4x2，
x2＝2，
解得x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去）．
答：正方形的边长．
【点评】此题考查了列代数式、代数式求值，找出题中的等量关系是解本题的关键．
23．（6分）如图，点E是平行四边形ABCD中边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
【分析】由AB∥DF，得∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，由BE＝CE得△AEB≌△FEC（AAS），得出AE＝FE，即证明四边形ABFC是平行四边形．由∠AEC＝2∠ABE结合三角形外角性质，得出∠ABE＝∠BAE，从而得出AE＝BE，进而得AF＝BC，即证明平行四边形ABFC是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE．
又∵BE＝CE
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AE＝FE，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵∠AEC＝2∠ABE，∠AEC＝∠ABE+∠BAE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AF＝BC，
∴平行四边形ABFC是矩形．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键．
24．（6分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？
【分析】利用销售利润＝售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．
【解答】解：设每个商品的定价是x元，
由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]＝2000，
整理，得x2﹣110x+3000＝0，
解得x1＝50，x2＝60．
当x＝50时，进货180﹣10（50﹣52）＝200个＞180个，不符合题意，舍去；
当x＝60时，进货180﹣10（60﹣52）＝100个＜180个，符合题意．
答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
25．（6分）劳动教育具有树德、增智、强体、美育的综合育人价值观，有利于学生树立正确的劳动价值观，某学校为了了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图，根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）m＝ 80 ，a＝ 20 ；（直接写出答案）
（2）该校学生有1200人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在2.5≤t≤3范围的学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用表格中劳动时间为0.5≤t＜1的频数除以扇形统计图中A的百分比可得m的值；用m的值分别减去表格中0.5≤t＜1，1.5≤t＜2，2≤t＜2.5，2.5≤t＜3的频数可得a的值．
（2）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中劳动时间为2≤t＜2.5，2.5≤t＜3的频数所占的百分比之和，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，m＝12÷15%＝80，a＝80﹣12﹣28﹣16﹣4＝20．
故答案为：80；20．
（2）1200×＝300（人）．
∴估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生约有300人．
（3）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
26．（7分）如图，点A，B，C，D在同一直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝CD．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD＝7cm，DC＝2cm，∠EBD＝60°，BE＝3cm，求证：四边形BFCE是菱形．
【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△ABE≌△DCF（SAS），进而求出BE＝FC，BE∥FC，即可得出答案；
（2）首先证得BC＝BE，利用∠EBD＝60°，得到△EBC是等边三角形，进而推导出BE＝CE，得到四边形BFCE是菱形．
【解答】证明：（1）在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥FC，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）∵AD＝7cm，DC＝2cm，AB＝DC，
∴AB＝2cm，
∴BC＝7﹣2﹣2＝3（cm），
∵BE＝3cm，
∴BC＝BE，
∵∠EBD＝60°，
∴∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE＝CE，
∵四边形BFCE是平行四边形（已证），
∴四边形BFCE是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．
27．（8分）晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+4）＝6．
解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．
直接开平方并整理，得．
我们称晓东这种解法为“平均数法”．
（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得
[（x+□）﹣〇][（x+□）+〇]＝5．
（x+□）2﹣〇2＝5，
（x+□）2＝5+〇2．
直接开平方并整理，得x1＝☆，x2＝¤．
上述过程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的数分别为 4 ， ±2 ， ﹣1 ， ﹣7 ．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）＝5．
【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的“□”，“〇”，“☆”，“¤”表示的数即可；
（2）利用“平均数法”解方程即可．
【解答】解：（1）4，±2，﹣1，﹣7（最后两空可交换顺序）；
故答案为：4，±2，﹣1，﹣7；
（2）（x﹣3）（x+1）＝5；
原方程可变形，得[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）+2]＝5，
整理得：（x﹣1）2﹣22＝5，
（x﹣1）2＝5+22，即（x﹣1）2＝9，
直接开平方并整理，得x1＝4，x2＝﹣2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．
28．（9分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE+GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求直角梯形ABCD的面积．
【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE＝CF；
（2）首先延长AD至F，使DF＝BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF＝∠BCD＝90°，又由∠GCE＝45°，可得∠GCF＝∠GCE＝45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE＝BE+GD；
（3）首先过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED＝BE+DG，即可求得DG的长，设AB＝x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2＝AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，继而求得直角梯形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FDC＝90°．
∴∠B＝∠FDC，
∵BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE＝CF．
（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF．
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，
即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵CE＝CF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴GE＝GF，
∴GE＝GF＝DF+GD＝BE+GD．
（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG＝BC，
∵∠DCE＝45°，
根据（1）（2）可知，ED＝BE+DG，
∴10＝4+DG，
即DG＝6．
设AB＝x，则AE＝x﹣4，AD＝x﹣6，
在Rt△AED中，
∵DE2＝AD2+AE2，即102＝（x﹣6）2+（x﹣4）2．
解这个方程，得：x＝12或x＝﹣2（舍去），
∴AB＝12．
∴S梯形ABCD＝（AD+BC）•AB＝×（6+12）×12＝108．
即梯形ABCD的面积为108．
【点评】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．摸球次数
300
600
900
1500
摸到白球的频数
123
247
365
606
摸到白球的频率
0.410
0.412
0.406
0.404
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t＜3
4
摸球次数
300
600
900
1500
摸到白球的频数
123
247
365
606
摸到白球的频率
0.410
0.412
0.406
0.404
劳动时间t（单位：小时）
频数
0.5≤t＜1
12
1≤t＜1.5
a
1.5≤t＜2
28
2≤t＜2.5
16
2.5≤t＜3
4
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）