河南省、江西省2025届高三上学期11月全国百万大联考数学试卷

这是一份河南省、江西省2025届高三上学期11月全国百万大联考数学试卷，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，，，则的大小关系是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合､常用逻辑用语､不等式､函数与导数､三角函数､平面向量､复数､数列､立体几何.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知命题，命题，则（ ）
A.和都是真命题 B.和都是真命题
C.和都是真命题 D.和都是真命题
3.若，则=（ ）
A. B.5 C. D.
4.已知是上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
5.若是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A. B. C. D.
6.设是等差数列的前n项和，若，，则=（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
7.已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
8.在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知集合，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根：，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则
C.
D.
11.已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A.的图象关于点对称 B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________.
13.如图，在中，，，，是边上的两点，且，则=__________.
14.在正方体中，，为棱的中点，一束光线从点射出，经侧面反射，反射光线又经侧面反射后经过点，则这束光线在正方体内的总长度为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，内角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
16.（15分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性.
17.（15分）
在四棱锥中，已知PC⊥平面ABCD，，，，是线段上的点，.
（1）证明：平面.
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18.（17分）
已知数列满足，公差不为0的等差数列满足，，成等比数列，
（1）证明：数列是等比数列.
（2）求和的通项公式.
（3）在与之间从的第一项起依次插入中的k项，构成新数列，，，，，，，，，，….求中前60项的和.
19.（17分）
若存在正实数，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”.
（1）已知函数在上是一个“函数”，求a的取值范围.
（2）（i）已知当时，，证明：函数在上是一个“函数”.
（ii）设，证明：.
高三数学考试参考答案
1.C 【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.
因为，所以复数对应的点为，位于第三象限.
2.B 【解析】本题考查全称量词命题和存在量词命题，考查逻辑推理的核心素养.
对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题；
对于而言，因为，所以是真命题，是假命题.
综上，和都是真命题.
3.B 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.
4.C 【解析】本题考查函数的单调性，考查逻辑推理的核心素养.
由题可知，由，可得，
因为是上的减函数，所以，解得，即解集为.
5.D 【解析】本题考查函数的极值，考查数学运算的核心素养.
由题可得，所以在，
上单调递增，在上单调递减，则，即.故的极大值为.
6.A 【解析】本题考查等差数列，考查数学运算的核心素养.
由题可知成等差数列，所以，则.
7.A 【解析】本题考查对数，考查逻辑推理的核心素养.
，因为，所以，即.
8.B 【解析】本题考查平面向量的数量积以及基本定理，考查直观想象和逻辑推理的核心素养.
设为的中点，连接（图略）.由可知在和上的投影向量的模相等，又因为，所以点在线段上.当点位于点时，取得最小值1，当点位于点时，取得最大值，，此时
，所以的取值范围为.
9.BCD 【解析】本题考查集合的运算，考查逻辑推理的核心素养.
由题可知，，集合表示曲线上的所有点组合的集合，故.故选BCD.
10.BCD 【解析】本题考查三角函数的图象，考查逻辑推理的核心素养.
，因为的最小正周期为，所以，即，所以.把图彖上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得曲线，再把所得曲线向右平移个单位长度，可得的图象.因为0，所以，则是的两个解，且，则，所以.故选BCD.
11.BD 【解析】本题考查抽象函数以及函数的性质，考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
由，可得，又，所以，故的图象关于点对称，A错误.
因为为偶函数，所以是周期为6的函数.因为，所以，B正确.
，C错误.
因为，所以，故12.因为，所以，所以，D正确.
12. 【解析】本题考查充分必要条件，考查逻辑推理的核心素养.
由题意可知集合是的真子集，
由，可得，所以，即的取值范围是.
13. 【解析】本题考查解三角形，考查逻辑推理的核心素养.
由题可知，因为，所以.
14. 【解析】本题考查正方体的结构特征，考查逻辑推理和直观想象的核心素养.
如图，分别在正方体的左､右两侧作正方体与正方体.设一束光线从点射出后与侧面交于点，其反射光线与侧面交于点，取的中点，连接.根据光线反射的对称性易得，且四点共线，则.
15.【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养.
解：（1）因为，所以设.
由余弦定理得，所以.
（2）由正弦定理得，则，
由，得，
即，即，
所以.
故的面积为.
评分细则：
第（2）问另解：
因为，由余弦定理可得
化简可得，解得，
所以.
故的面积为.
16.【解析】本题考查导数的几何意义以及函数的单调性，考查逻辑推理的核心素养.
解：（1）当时，，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）因为，所以.
当时，，所以在区间上单调递增.
当时，令，即，且，解得；
令，即，且，解得.
综上，当时，的单调增区间为，无单调减区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
17.【解析】本题考查立体几何以及空间向量，考查直观想象和数学运算的核心素养.
（1）证明：连接交于点，连接.
因为，所以.
因为，所以，
所以，
因为平面平面，所以平面.
（2）解：过点作一直线垂直于平面，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则.
设平面的法向量为，
则令，则，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则令，则，
所以平面的一个法向量为.
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18.【解析】本题考查数列的综合应用，考查逻辑推理的核心素养.
（1）证明：由题可知，
所以数列是等比数列.
（2）解：由（1）可知等比数列的首项为2，公比为4，所以.
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，所以，解得，所以.
（3）解：新数列中，（含）前面共有!由，得，
所以新数列中含有数列的前10项，含有数列的前50项，.
故
.
19.【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养.
（1）解：因为函数在上是一个“函数”，所以对任意均成立，即.
令，则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，
解得，故的取值范围为.
（2）证明：（i）当时，，所以当时，.
令，
则，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即.
令，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即，
即，所以在上是一个“函数”.
（ii）由（i）知，当时，
当时，，
所以，即.
令，
可得，
所以，
原不等式得证.