陕西省宝鸡市宝鸡中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

这是一份陕西省宝鸡市宝鸡中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，设函数，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共四大题，19小题；考试时长120分钟，卷面满分150分。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。涂写在本试卷上无效。
3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，i为虚数单位，则z等于（ ）
A．B．C．D．
3．是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的一条渐近线方程为，则b=（ ）
A．B．C．D．3
6．下列函数的图象不可能与直线，相切的是（ ）
A．B．C．D．
7．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，折起后点D记为．若，则四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定义域为R的偶函数，当时，，若有且仅有3个零点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是某个简谐运动的函数解析式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．这个简谐运动的初相为或
C．在上单调递减
D．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数
10．设函数，则（ ）
A．当时，的极大值大于0
B．当时，无极值点
C．，使在R上是减函数
D．，曲线的对称中心的横坐标为定值
11．已知等比数列的首项，公比为，前n项和为，前n项积为，则（ ）
A．若数列是递增数列，则
B．若数列是递增数列，则
C．当时，存在实数M，使得恒成立
D．若，则使得成立的n的最大值为10
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则=______．
13．已知正项数列满足，则=______．
14．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P到达点所跳跃次数的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）若锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且．
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围．
16．（本小题15分）如图，三棱柱中，，，，，．
（1）求证：平面ABC；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
17．（本小题15分）已知椭圆C：经过点，下顶点A为抛物线的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点，均在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为，求证：直线PQ过定点；
18．（本小题17分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A，B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼．
（1）该校学生甲、乙、丙三人某周均从A，B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为，，，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；
（2）该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为．若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为．求丁周日选择B健身中心健身的概率；
（3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为0.02．现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n．若抽取次数的期望值不超过23，求n的最大值．
参考数据：，，．
19．（本小题17分）已知函数（，且）．
（1）当时，证明：为增函数；
（2）若存在两个极值点，．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）设的极大值为M，求M的取值范围．
宝鸡中学2022级高三月考三考试参考答案
一．选择题
二．填空题
12．13．14．10
三解答题
15．解：（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理得：，
显然，，所以，所以，
因为，所以．
（2）因为外接圆的半径为，所以由正弦定理得：，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，即．
令，，
根据对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，，
所以，即，
所以，即的取值范围为．
16．（1）证明：因为，，，由余弦定理得，
所以，所以，又因为，
又因为，所以平面ABC．
（2）解：由已知和（1）得，CA、CB、CA两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
，令，，
，令，，
直线与平面所成角的正弦值为，解得，
，，
所以二面角的余弦值为．
17．解：（1）因为抛物线的焦点为，
所以椭圆C的下顶点，可得，
因为椭圆C经过点，所以，解得，
则椭圆C的方程为．
（2）证明：当直线PQ的斜率不存在时，
不妨设，此时，
则，整理得，
由与解得不符题意，所以直线PQ的斜率存在，
因为直线AP，AQ斜率同号，所以直线PQ的斜率存在且不为0，
不妨设直线PQ的方程为，，，
联立，消去y并整理得，
此时，即，
由韦达定理得，，
所以
，
此时，
整理得，
即，解得或，
当时，直线PQ方程为，令，解得，
所以直线PQ恒过定点，不符合题意，
当时，直线PQ方程为，令，解得，
所以直线PQ恒过定点，符合题意，
综上所述，直线PQ恒过定点．
18．解：（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率
；
（2）记事件C：丁周六选择A健身中心，事件D：丁周日选择B健身中心，则，，，
由全概率公式得，
故丁周日选择B健身中心健身的概率为；
（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p，则，
设抽取次数为X，则X的分布列为：
故，
又，
两式相减得
所以，所以在时单调递增，
可知当时，，
当时，，
当时，，
若抽取次数的期望值不超过23，则n的最大值为30．
19．（1）证明：当时，，，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，所以，所以为增函数．
（2）解：（i）设，则，
则．
设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
当时，令，由，且在上单调递增，
故仅有一个零点，不符合题意；
当时，，
①当时，则，此时，，单调递增，不符合题意；
②当时，则，此时存在两个零点，
当时，，当时，，；
当时，，，存在两个极值点，符合题意．
综上可知，．
（ⅱ）由（i）可知，且，满足，
故，
设，则，
设，则，
故单调递减，且，则，
即．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
A
B
C
C
D
A
A
AD
BD
BCD
X
1
2
3
…
n
P
p
…