2024-2025学年浙江省杭州市萧山区高桥教育集团九年级（上）期中数学试卷 含详解

2024-2025学年浙江省杭州市萧山区高桥教育集团九年级（上）期中数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．（3分）在下列函数表达式中，属于二次函数的是（　　）A． B．y＝x+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+xy2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（　　）A．抛掷硬币时，正面朝上 B．明天太阳从东方升起 C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”3．（3分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）A．3 B．4 C．5 D．64．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（　　）A．45° B．38° C．36° D．30°5．（3分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（　　）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AO＝CO D．＝6．（3分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2%左右，则鱼塘中估计有鱼（　　）条．A．4000 B．5000 C．10000 D．20007．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　）A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤8．（3分）如图，△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，在平面直角坐标系中，三点坐标为A（1，0），B（3，0），C（1，4），则旋转中心P的坐标为（　　）A．（3，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，3）9．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣m）2+n经过点（﹣2，y1），（6，y2），若y1＜y2，则下列说法正确的为（　　）A．当a＜0时，m＜4 B．当a＞0时，m＜2 C．当a＞0时，m＜4 D．当a＜0时，m＜210．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠DCA＝44°，若将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，则∠BAC的度数为（　　）A．23° B．24° C．25° D．26°二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为1～6．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于2的概率是 　 　．12．（3分）二次函数y＝x2﹣8x﹣9的顶点坐标为 　 　．13．（3分）学校组织去宋城秋游，安排给九年级4辆车，小高和小乔都可以从这4辆车中任选一辆搭乘．则小高和小乔不坐同一辆车的概率为 　 　．14．（3分）如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝　 　度．15．（3分）已知关于x二次函数y＝ax2+2ax+3有最小值，则当y＞3时，x的取值范围是 　 　．16．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是 　 　．三、全面答一答（本题有8个小题，共72分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）已知二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）．（1）求出函数解析式．（2）请求出函数图象与坐标轴的交点．18．（6分）上城区要在语、数、英、科、社五科中，随机抽出两科进行期末抽测．（1）抽到数学学科的概率是 　 　；（2）用画树状图或列表法求抽到的学科恰好是数学和英语的概率．19．（8分）某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少买2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价；（2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？20．（8分）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为4m，跨径AB为16m．（1）用尺规作出该圆弧所在圆的圆心；（2）求这钢梁圆弧的半径长．21．（10分）如图，用长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m2）．（1）BC＝　 　（用含x的代数式表示）．（2）求出S关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围．（3）饲养室长x为何值时，占地面积S最大？并求出S的最大值．22．（10分）如图，已知AB为直径的半圆O上有点C，连结AC，BC，D为中点，连结OD，BD，分别交AC于点E，F．（1）求BC与OF的数量关系，并说明理由；（2）若CE＝2，且DE＝BE，求BC的长．23．（12分）关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数且a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：（1）若n＝﹣3，求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象与x轴没有交点，求a的取值范围；（3）若在m，n，p这三个实数中，有且只有一个是正数，直接写出a的取值范围．24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，交OB于点E，点G是弧AD上的一点，连结AG，DG，CG．（1）求∠CGD的度数；（2）求证：AG+DG＝CG；（3）若CG＝8，求四边形ACDG的面积．2024-2025学年浙江省杭州市萧山区高桥教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．【解答】解：A、y＝是反比例函数关系，故此选项不符合题意；B、y＝x+2是一次函数关系，故此选项不符合题意；C、y＝x2+1是二次函数关系，故此选项符合题意；D、y＝x2+xy不是二次函数关系，故此选项不符合题意；故选：C．2．【解答】解：A、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，不符合题意；B、明天太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；C、经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；D、玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意；故选：B．3．【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，∴OP＞5，故选：D．4．【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠B＝×（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣108°）＝36°．故选：C．5．【解答】解：如图所示，∵CD⊥AB，∴AE＝BE，弧AD＝弧BD，⊙O的半径都相等，那么AO＝CO，不能得出OE＝DE．故选：B．6．【解答】解：鱼塘中鱼的数量约为100÷2%＝5000（条），故选：B．7．【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；②∵抛物线的顶点为P（1，m），∴﹣＝1，b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②错误；③∵抛物线经过点A（2，1），∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③错误；④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；⑤∵a＜0，∴at2+bt﹣（a+b）＝at2﹣2at﹣a+2a＝at2﹣2at+a＝a（t2﹣2t+1）＝a（t﹣1）2≤0，∴at2+bt≤a+b，则⑤正确故选：D．8．【解答】解：如图，连接BE，分别作AD和BE的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心．由图可知P点坐标为（3，2），即旋转中心的坐标为（3，2）．故选：A．9．【解答】解：当a＞0时，y＝a（x﹣m）2+n开口向上，∵二次函数y＝a（x﹣m）2+n经过点（﹣2，y1），（6，y2），且y1＜y2，∴m﹣（﹣2）＜6﹣m，∴m＜2，故选项B符合题意，选项C不符合题意；当a＜0时，y＝a（x﹣m）2+n开口向下，∵二次函数y＝a（x﹣m）2+n经过点（﹣2，y1），（6，y2），且y1＜y2，∴m﹣（﹣2）＞6﹣m，∴m＞2，故选项A不符合题意，选项D不符合题意；故选：B．10．【解答】解：如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCA＝44°，∴∠BCD＝90°﹣44°＝46°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∵∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠B＝∠CDB＝67°，∴∠BAC＝90°﹣67°＝23°．故选：A．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．【解答】解：任意抛掷这枚骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于2的有3，4，5，6，共4种结果，∴朝上面的点数大于2的概率是＝．故答案为：．12．【解答】解：∵y＝x2﹣8x﹣9＝（x﹣4）2﹣25，∴顶点坐标为（4，﹣25），故答案为：（4，﹣25）．13．【解答】解：四辆车分别用1，2，3，4表示，画树状图：所有等可能的结果数为16种，小高和小乔不坐同一辆车的结果有12种，∴小高和小乔不坐同一辆车的概率为．故答案为：．14．【解答】解：∵，∴AB＝AC，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．15．【解答】解：二次函数y＝ax2+2ax+3的对称轴为直线x＝＝﹣1，∵当x＝0时，y＝3，∴x＝﹣2时，y＝3，∵关于x二次函数y＝ax2+2ax+3有最小值，∴x＞0或x＜﹣2时，y＞3．故答案为：x＞0或x＜﹣2．16．【解答】解：连接AC，取BC的中点T，连接AT，TH．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵点C在半圆的中点，∴＝，∴AC＝CB＝4，∵CT＝TB＝2，∴AT＝＝＝2，∵CH⊥BD，∴∠CHB＝90°，∴点H在以BC为直径的圆上运动，∵CT＝TB，∴HT＝BC＝2，∵AH≥AT﹣HT＝2﹣2，∴AH的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．三、全面答一答（本题有8个小题，共72分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），∴设函数解析式为y＝a（x+1）2﹣8，将（0，﹣6）代入得：﹣6＝a（0+1）2﹣8，解得a＝2；∴y＝2（x+1）2﹣8＝2x2+4x﹣6；∴解析式为y＝2x2+4x﹣6；（2）当y＝0时：2x2+4x﹣6＝0，解得：x＝﹣3或x＝1，∴图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．由条件知，图象与y轴交点坐标为（0，﹣6）．18．【解答】解：（1）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中抽到数学学科的结果有：（语，数），（数，语），（数，英），（数，科），（数，社），（英，数），（科，数），（社，数），共8种，∴抽到数学学科的概率是＝．故答案为：．（2）由树状图可得，抽到的学科恰好是数学和英语的结果有2种，∴抽到的学科恰好是数学和英语的概率为＝．19．【解答】解：（1）设每件衬衫的售价上涨x元，则（200﹣2x）（60﹣40+x）＝7000且60+x≤105（即x≤45），解得：x＝30或50（舍弃），故每件衬衫的售价60+30＝90（元）；（2）每件衬衫的售价上涨x元，月利润是w元，则w＝（200﹣2x）（60﹣40+x）＝﹣2（x﹣100）（x+20）＝﹣2（x﹣100）（x+20），则函数的对称轴为直线x＝（100﹣20）＝40，∵x≤45，故当x＝40时，利润最大为：﹣2（40﹣100）（40+20）＝7200元，则40+60＝100（元），即每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元．20．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）设OB＝OD＝r m，ZB的垂直平分线交AB于点C，交于点D．∵OD⊥AB，∴AC＝CB＝AB＝8m，在Rt△OBC中，则有r2＝82+（r﹣4）2，解得r＝10，∴这钢梁圆弧的半径长为10m．21．【解答】解：（1）由题意，∵AB＝x，∴BC＝24﹣3x．故答案为：24﹣3x．（2）根据题意，得S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵0＜24﹣3x≤10，∴≤x＜8．答：S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是≤x＜8．（3）由题意，S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48．∵≤x＜8，对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝时，S最大，最大值＝．答：当AB的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．22．【解答】解：（1）结论：BC＝2OF．理由：∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∵OA＝OB，∴BC＝2OF；（2）∵AB是直径，∴∠C＝90°，∵DE＝BE，∠DEF＝∠BEC，∠DFE＝∠C＝90°，∴△DFE≌△BCE（AAS），∴EF＝EC＝2，DF＝BC＝2OF，设OF＝x，则DF＝2x，OA＝OD＝3x，∵AF＝FC＝4，在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2，∴42+x2＝（3x）2，∴x＝（负根已经舍去），∴BC＝2x＝2．23．【解答】解：（1）由题意得，解得，∴二次函数的表达式是y＝2x2﹣4x﹣1；（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数且a≠0）的图象过（0，﹣1）和（2，﹣1），∴，∴，二次函数为y＝ax2﹣2ax﹣1，∵二次函数的图象与x轴没有交点，∴Δ＜0，即（﹣2a）2+4a＜0，∴﹣1＜a＜0；（3）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．24．【解答】（1）解：连接OC，OD，如图，∵OC＝OD，OE⊥CD，∴∠COE＝∠DOE＝COD．∵OE＝OB，OB＝OC．∴OE＝OC，∴∠OCE＝30°，∴COE＝60°，∴∠COD＝120°，∴∠CGD＝COD＝60°；（2）证明：在GC上截取GF＝GD，连接DF，如图，由（1）知：∠CGD＝60°，∴△GFD为等边三角形，∴∠GFD＝60°，∴∠CFD＝120°．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，∴AC＝AD，∵∠CAD＝CGD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝AD，∠ACD＝∠CAD＝60°．∵四边形ACDG为圆的内接四边形，∴∠AGD+∠ACD＝180°，∴∠AGD＝120°，∴∠CFD＝∠AGD．在△CFD和△AGD中，，∴△CFD≌△AGD（AAS），∴CF＝AG．∵CG＝AF+FG，∴AG+DG＝CG；（3）解：过点C作CM⊥AG于点M，CN⊥GD，交GD的延长线于点N，如图，由（2）知：△ACD为等边三角形，∴∠ADC＝60°，∴∠AGC＝ADC＝60°．∵CM⊥AG，∴CM＝CG•sin∠AGC＝8×sin60°＝8×＝4．∵CN⊥GD，∴CN＝CG•sin∠CGD＝8×sin60°＝8×＝4．∴四边形ACDG的面积＝S△AGC+S△DCG＝+＝+＝2（AG+DG）．由（2）知：AG+DG＝CG＝8，∴四边形ACDG的面积＝2×8＝16．x…﹣20123…y…m﹣1n﹣1p…