四川省攀枝花市大河中学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份四川省攀枝花市大河中学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷，共11页。
1．（5分）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（5分）设a，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知函数，若，则a的值等于（ ）
A．2B．C．±2D．±4
5．（5分）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
7．（5分）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）若两个正实数x，y满足，若不等式范围是恒成立，则实数m的取值（ ）
A．B．C．D．
二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18/分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．（6分）下列函数中值域为的是（ ）
A．B．C．D．
（多选）10．（6分）下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A．，且，
B．，使得
C．若，，
D．不等式在上有解，则实数a的取值范围是
（多选）11．（6分）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则或3
C．若，则
D．，使得
三、填空题.本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）不等式的解集是 ．
13．（5分）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
14．（5分）已知，且，则的最小值为 ．
四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知p：关于x的不等式（a＞0）的解集为A，q：不等式的解集为B．
（1）若，求；
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
16．（15分）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知函数，求函数f（x）的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式．
17．（15分）已知函数．
（1）若对任意，都有，求实数a的取值范围；
（2）若对任意满足的x，都有，求实数a的取值范围．
18．（17分）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2．预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为（x＞0）．将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）．
（1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
（2）设备占地面积x为多少时，y的值最小？
19．（17分）若至少由两个元素构成的有限集合A⊆N*，且对于任意的x，y∈A（x＞y），都有，则称A为“L﹣集合”．
（1）判断{1，2，4}是否为“L﹣集合”，说明理由；
（2）若双元素集M为“L﹣集合”，且4∈M，求所有满足条件的集合M；
（3）求所有满足条件的“L﹣集合”．
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2024-2025学年攀枝花市大河中学高一（上）月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题.本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解即得．
【解答】解：集合，B=（﹣1，2），
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
2．【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断．
【解答】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题．
所以“，”的否定是“，”．
故选：C．
【点评】本题主要考查存在量词命题的否定，属于基础题．
3．【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及函数的单调性，即可求解．
【解答】解：对于A，令，，满足，但，故A错误，
对于B，当时，，故B错误，
对于C，令，，满足，但，故C错误，
对于D，在R上单调递增，
∵，∴，即，故D正确．故选：D．
【点评】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题．
4．【分析】根据给定的函数，代入解方程即得．
【解答】解：函数，由，得，
则，解得，所以a的值等于±2．故选：C．
【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
5．【分析】根据给定条件，结合复合函数的定义域列式求解即得．
【解答】解：若函数的定义域是，
则，则，
所以的定义域是．
故选：A．
【点评】本题考查抽象函数定义域相关知识，属于中档题．
6．【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围．
【解答】解：由，得，，可得，
则，而，所以，
所以的取值范围是．故选：C．
【点评】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题．
7．【分析】先由存在量词命题为真求得a的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项．
【解答】解：由，，可得在R上能成立，
根据二次函数性质可知，，故a＞﹣2．
由题意知，是选项的范围的真子集即可，结合选项可知，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了存在量词命题真假关系的应用，属于中档题．
8．【分析】利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即得．
【解答】解：两个正实数x，y满足，若不等式范围是恒成立，
则，则，
当且仅当，即时取等号，
于是取得最小值，依题意，即，解得或，
所以实数m的取值是．故选：B．
【点评】本题考查基本不等式相关知识，属于中档题．
二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18/分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解．
【解答】解：对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确；
对于B，函数，值域为，B正确；
对于C，函数的定义域为，值域为，C错误；
对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查函数的值域相关知识，属于基础题．
（多选）10．【分析】通过举例说明，判断出A、B两项的正误；根据不等式的性质与基本不等式加以推理，可判断C项的正误；分离参数后，利用二次函数的性质求出不等式右边的最小值，由此判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，当时，，故A项错误；
对于B，存在，使成立，故B项正确；
对于C，因为、，所以不等式等价于，
而，
因为且，
所以，可得，
所以，即，当且仅当时，等号成立．
因此，不等式成立，故C项正确；
对于D，不等式在上有解，即存在，使成立．
因为时，，可得，当且仅当时取等号．
当时，在上有解，可知实数a的取值范围是，故D项正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查不等式的性质、基本不等式、二次函数的最值求法等知识，属于中档题．
（多选）11．【分析】结合韦达定理、一元二次方程的解法逐项判断．
【解答】解：由已知得，解得或，且，，
对于A，由题意，且，
即，，解得，综上符合题意，A正确；
对于B，因为且，解得，，此时，B错误；
，解得，C对；
因为，即，解得，由于，故不存在符合题意的m．
故选：AC．
【点评】本题考查一元二次方程根的分布问题，注意函数思想的应用，属于中档题．
三、填空题.本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．【分析】由不等式可得，由此求得x的范围．
【解答】解：由不等式，可得，求得，或，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．
13．（5分）【分析】由题意得出a与b、c的关系，再根据二次不等式的解法求解即可．
【解答】解：因为不等式的解集为，
所以和2是方程的两解，且；
由根与系数的关系得，解得，；
所以可化为，
因为，所以可化为，
即，解得或，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
14．（5分）【分析】由已知可得，代入变形可得，又，利用基本不等式，即可得到的最小值．
【解答】解：因为，且，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
四、解答题.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15． 【分析】（1）求出当a=1时集合A，解分式不等式求出集合B，然后利用交集运算求解即可；
（2）根据p是q的必要不充分条件求出集合A和集合B的关系，根据集合关系列不等式组求解即可．
【解答】解：（1）p：关于x的不等式（）的解集为A，q：不等式的解集为B．
当时，，解得，所以，
又，所以，解得，所以，
所以；
（2）若p是q的必要不充分条件，则B是A的真子集，
由（1）知，（a>0）
a>0时，集合A={x|a≤x≤3a}，
所以，则，又a=2时，A={x|2≤x≤6}，符合B是A的真子集，
时，，符合B是A的真子集，所以，
综上，实数a的取值范围为．
【点评】本题考查充分必要条件与集合间的关系，属于中档题．
16．【分析】（1）设f（x）=kx+b（k≠0），可用待定系数法求解析式．
（2）令，用换元法求解析式．
（3）将x换成，得，用解方程组法求解析式．
【解答】解：（1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））=9x+4，
设f（x）=kx+b（k≠0），则f（f（x））=k（kx+b）+b=k2x+kb+b=9x+4，
于是，解得或，
所以f（x）=3x+1或f（x）=-3x-2．
（2）已知函数，
令，则x=（t-2）2，t≥2，于是f（t）=（t-2）2=t2-4t+4，
所以f（x）=x2-4x+4，x≥2．
（3）已知函数y=f（x）满足，
由，得，
由消去解得：，
所以．
【点评】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
17．【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可；
（2）对不等式y≥-2进行参变量分离，结合基本不等式进行求解即可．
【解答】解：（1）依题意可得：Δ=（-a）2-4≤0，
解得-2≤a≤2，
所以实数a的取值范围为{a|-2≤a≤2}．
（2）对任意满足1≤x≤2的x，都有y≥-2，
x2+3≥ax在1≤x≤2时恒成立，
又1≤x≤2．所以对1≤x≤2恒成立，
由于，当且仅当时取等号，即当时等号成立．
所以，
即实数a的取值范围为．
【点评】本题主要考查了二次函数性质的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
18．【分析】（1）由题意解不等式，即可求得；
（2）利用基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，x>0，
要满足题意，则y≤7.2，
即，解得11≤x≤20．
即设备占地面积x的取值范围为[11，20]．
（2），
当且仅当x=15时，等号成立．
所以设备占地面积为15m2时，y的值最小．
【点评】本题考查函数模型的运用，基本（均值）不等式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
19．（17分）【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可；
（2）设M={4，m}（m∈N*，m≠4），进而研究或是否存在正整数解即可；
（3）讨论“L-集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解．
【解答】解：（1）若至少由两个元素构成的有限集合A⊆N*，且对于任意的x，y∈A（x>y），都有A，则称A为“L-集合”，
{1，2，4}不为“L-集合”，理由如下：
∵，∴{1，2，4}不是“L一集合”．
（2）设M={4，m}（m∈N*，m≠4）．
若m4，则或，
由，解得m=8，此时M={4，8}；
由化为m2-4m-16=0，而Δ=42+4×16=80，故方程无正整数解．
综上，双元素集M为“L-集合”，且4∈M，则所有满足条件的集合M为{4，8}，{2，4}．
（3）若“L-集合”为双元素集，
不妨设M={k，m}（k，m∈N*，m>k），则或，
由，则2k2=mk，而m>k，故m=2k，此时M={k，2k}；
由，则m2-mk-k2=0，而Δ=5k2，显然不存在正整数解；
所以，“L-集合”为{k，2k}，其中k∈N*．
若“L-集合”含有两个以上的元素，
设最小的元素为b，最大的元素为a，第二大的元素为n，
则，-集合”中的元素，
若，解得a≤2b，
若，则a≥2n>2b，矛盾，
若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解．
∴所有满足条件的“L-集合”为{k，2k}，其中k∈N*．
【点评】本题考查集合新定义给定公式等基础知识，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解是解题的关键，是中档题．