2024~2025学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年甘肃省兰州市教育局第四片区高一(上)期中数学试卷(解析版)，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为( )
A. 4B. 2C. 3D. 5
【答案】C
【解析】为无理数，有理数与无理数统称为实数，所以，所以①正确；
为无理数，不属于整数，所以，所以②错误；
0不正整数，所以，所以③正确；
是正整数，属于自然数，所以，所以④错误；
π是无理数，所以，所以⑤正确；
是正数，所以，所以⑥错误，
综上，共由3个正确命题.
故选：C.
2. 若，，则与的关系是（ ）
A. B. C. D. 与的值有关
【答案】A
【解析】因为，
所以.
故选：A.
3. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对A：当时，由不能推出，所以A错误；
对B：当，时，由不能推出，所以B错误；
对C：当时，由不能推出，所以C错误；
对D：由，又，所以，所以D正确.
故选：D.
4. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B.
5. 命题，，的否定应该是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】命题，，的否定是，，.
故选：C.
6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，故，故.
故选：D.
7. 已知函数，若，且，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若，且，则，故开口向下，故BD错误；
又，故C错误，A正确.
故选：A.
8. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为不等式恒成立，
则，
因为，，由可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故，
所以，即，解得，
则实数的取值范围是．
故选：B．
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列四个命题中，真命题的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C.
D. 若，都有恒成立，则实数a的取值范围为
【答案】ABC
【解析】A：若，则，故A符合题意；
B：若，则，有，故B符合题意；
C：当x=2时，不成立，故C符合题意；
D：由得，又在上恒成立，所以，
故D不符合题意.
故选：ABC.
10. 命题的否定是真命题，则实数的值可能是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】AB
【解析】因为命题的否定是真命题，
所以命题：，是真命题，也即对，恒成立，
则有，解得：，
根据选项的值，可判断选项AB符合.
故选：AB.
11. 设，则的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A选项，若，那么一定有，所以是的必要条件.
当时，成立，但不成立，所以不是的充分条件，
所以是的必要不充分条件.
对于B选项，若，则一定成立，所以是的必要条件.
当时，成立，但不成立，所以不是的充分条件，
所以是的必要不充分条件.
对于C选项，若，则一定成立，所以是的充分条件，不符合要求.
对于D选项，若，当时，成立，但不成立，
所以不是的充分条件.
若，则一定成立，所以是的必要条件，
所以是的必要不充分条件.
故选：ABD.
三、填空题（每小题5分，满分15分.）
12. 命题“若，则”是___________命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】由题意得：
因为时，则，
又，故根据基本不等式可知，
故命题为真命题.
13. 已知集合，，那么集合的真子集的个数为________．
【答案】7
【解析】因为，，
所以，
所以集合的真子集的个数为.
14. 不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】当时，恒成立，满足题意；
当时，由题知，解得.
综上，实数的取值范围为.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 解关于不等式.
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）不等式，即，解得，
所以不等式的解集为.
（2）不等式，即，
解得或，
所以不等式的解集为.
（3）不等式，
当时，解集为或，
当时，解集为或，
当时，解集为.
16. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米.
（1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值.
解：（1）由题意得，，所用篱笆总长为.
因为，
当且仅当时，即，时等号成立.
所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小.
（2）由题意得，，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
17. 设全集，集合.
（1）当命题：，为真命题时，实数的取值集合为，求；
（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
解：（1）依题意，方程有解，
则恒成立，解得：，
所以集合，
又因为，所以，
所以.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以真包含于，
由（1）知，则集合，
又，则，解得：，
所以实数的取值范围为：.
18. 设全集为，集合或，.
（1）求，；
（2）已知，若，求实数的取值范围.
解：（1）或，，则，
，，.
（2）当时，，解得，满足；
当时，，且，解得；
综上所述：.
19. 已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性.
（1）判断集合和集合是否具有“包容”性；
（2）若集合具有“包容”性，求的值；
（3）若集合具有“包容”性，且集合中的元素共有6个，，试确定集合.
解：（1）集合中的，
所以集合不具有“包容”性.
集合中的任何两个相同或不同的元素相加或相减，
得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性.
（2）若集合具有“包容”性，记，则，
易得，从而必有，
不妨令，则且，
则，且，
①当时，若，得，此时具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
②当时，则，由且，可知无解，
故.
综上，.
（3）因为集合中共有6个元素，且，又，且中既有正数也有负数，
不妨设，
其中，
根据题意，
且，
所以，或.
①当时，，
并且由，得，
由，得，
由上可得，并且，
综上可知；
②当时，同理可得
综上，中有6个元素，且时，符合条件的集合有5个，
分别是，
或.