2025届辽宁省鞍山市普通高中高三(上)第一次质量检测数学试卷(解析版)

这是一份2025届辽宁省鞍山市普通高中高三(上)第一次质量检测数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了 已知集合，集合，则， 已知复数满足，则， 已知向量满足，则， 在二项式的展开式中，常数项为， 若为随机事件，且，则等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由解得或，所以；
由，得，即，
解得或，所以，
所以
故选：D
2. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由复数满足，可得.
故选：B.
3. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】由两边平方得，
化简得，
所以.
故选：D
4. 在二项式的展开式中，常数项为（ ）
A. 180B. 270C. 360D. 540
【答案】A
【解析】二项式的展开式的通项公式为
，
令，解得，所以常数项为.
故选：A
5. 已知函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A. -2B. 2C. -1D. 1
【答案】B
【解析】的定义域是，
由于是奇函数，所以，
即，
解得，当时，，
，符合题意，
所以的值为.
故选：B
6. 若为随机事件，且，则（ ）
A. 若为互斥事件，则
B. 若为互斥事件，
C. 若为相互独立事件，
D. 若，则
【答案】D
【解析】A选项，若为互斥事件，则，A选项错误.
B选项，若为互斥事件，，B选项错误.
C选项，若为相互独立事件，
，所以C选项错误.
D选项，，
即，解得，所以D选项正确.
故选：D
7. 已知双曲线在双曲线上，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，
，，
整理得①，则不同时为.
，，
则
，则，
依题意，
即，
则恒成立，
即恒成立，
由①得，则，
所以恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
8. 已知定义在上的函数，若，则取得最小值时的值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，，
令，
所以在1,+∞上单调递增，
所以在1,+∞上单调递增，
由于，所以，，
所以，
设，
，
令解得，则在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，也即取得最小值.故选：C.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，定义域均为，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数与有相同的最小正周期
B. 函数与的图象有相同的对称轴
C. 的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到
D. 函数的图象与的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】，
和的最小正周期都是，所以A选项正确.
由解得，所以的对称轴是；
由解得，所以的对称轴是，
所以B选项错误.
向右平移个单位得到，
所以C选项正确.
，
所以函数的图象与的图象关于直线对称，D选项正确.
故选：ACD
10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为5
B. 的最大值为
C. 直线与圆相切时，
D. 圆心到直线的距离最大为4
【答案】BC
【解析】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，Px0,y0是圆上的点，
所以的最大值为，A选项错误.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B选项正确.
直线，即，过定点，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，
即，解得，所以C选项正确.
圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误.
故选：BC
11. 已知函数满足对任意x∈R，都有，且为奇函数，，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的一个周期是8
B. 函数为偶函数
C
D.
【答案】ACD
【解析】由于为奇函数，图象关于原点对称，
所以图象关于点对称，
由于，所以的图象关于直线对称.
所以
，
所以是周期为的周期函数，A选项正确.
对于B选项，由上述分析可知，
，
所以B选项错误.
依题意，，则，
，，
，，
所以，
根据周期性可知，
所以C选项正确.
由上述分析可知，所以，
，，
依此类推，可得：
，所以D选项正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列的前项和为，且有，则__________.
【答案】12
【解析】依题意，，
令，得；
令，；
令，.
故答案为：
13. 已知，则__________.
【答案】
【解析】，
所以，
由于，
所以，所以.
故答案为：
14. 已知四棱锥中，底面为正方形，，则__________，该四棱锥的高为__________.
【答案】或 或
【解析】如图所示，连接，因为四边形为正方形且，可得，
设，在中，可得，
即，整理得，
解得或，即或，
因为，可得，
过点作平面，垂直为，由，
可得点为的外心，设外接圆的半径为，且，
设点到底面的距离为，
当时，可得，所以，
所以，
且，
所以，
由，即，解得，即四棱锥的高为；
当时，可得，所以，
所以，
且，
所以，
由，即，解得，即四棱锥的高为，
综上可得：四棱锥的高为或.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，且平面平面.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的余弦值.
解：（1）取中点，连接，因为平面平面，
平面平面，平面，在等边中，，
所以平面，
由题设，
所以四棱锥的体积为.
（2）取中点，连接，则，以为坐标原点，
分别以的方向为轴的正方向，
则，，
设n1=x1,y1,z1为平面的法向量，则有，
令，得，
取为平面的法向量，则
由图可知，二面角的大小为钝角，故二面角的余弦值为.
16. 2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回.某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表：
（1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？
（2）为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择：
方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；
方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级.
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个问题正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？
附：
解：（1）列联表如下：
，
能有的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关.
（2）记这4个问题为，记振华答对的事件分别记为，
分别记按方案一､二晋级的概率为，
则
，
，
因为，振华选择方案一晋级的可能性更大.
17. 已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为.

（1）直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值；
（2）求证：直线过定点.
（1）解：由题意，可得，
所以椭圆，且
设，则，即，
可得，
所以为定值.
（2）证明：解法一：设，则，
可得，
设直线，，
联立方程，消去x可得，
则，解得，
且，
则，
整理可得，
则，
因为，则，解得，
所以直线过定点
解法二：设，则，
直线，可知与椭圆必相交，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
同理，
直线的斜率存在时，，
则，
令，；
当的斜率不存在时，则，解得；
综上所述：直线过定点．
18. 已知函数，且定义域为.
（1）求函数的单调区间；
（2）若有2个零点，求实数的取值范围；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
解：（1），，
①时，f'x