2024年浙江省丽水市莲都区中考二模考试数学试卷(解析版)

这是一份2024年浙江省丽水市莲都区中考二模考试数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是：．
故选：C．
2. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】从左面看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线．
故选：A．
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，错误，故不符合要求；
B、，错误，故不符合要求；
C、，错误，故不符合要求；
D、，正确，故符合要求；
故选：D．
4. 要反映2018年上半年青岛市各县（区）常住人口占本市总人口的比例，宜采用（ ）
A. 条形统计图B. 折线统计图
C. 扇形统计图D. 频数直方图
【答案】C
【解析】要反映2018年上半年青岛市各县（区）常住人口占本市总人口的比例，宜采用扇形统计图，故选C．
5. 在平面直角坐标系中，将点沿x轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点N，若点N的横、纵坐标相等，则a的值是（ ）
A. 9B. 5C. 3D.
【答案】B
【解析】将点沿轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点，即点的坐标是为，
点的横、纵坐标相等，，．
故选：B．
6. 如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高度为，个叠放在一起的纸杯的高度为，则个这样的纸杯按照同样方式叠放在一起，总高度（单位：）是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】增加一个杯子增加的高度为：，
故，个纸杯叠放在一起的高度．
故选：B．
7. 如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，连接，
由切线的性质可得，，
，
，
故选：．
8. 设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】D
【解析】，即，
，，
，
故选：D.
9. 向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，
那么从函数的图象上看，
C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；
A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．
故选：D．
10. 如图，在四边形中，，，，点为对角线的中点，射线交边于点，且，则为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】延长交延长线于点，连接，
设．
，∴，
∵是中点，∴，
在中，
∵，
∴，∴，
∵，∴四边形平行四边形，∴，
∵，∴，
∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，
故，，，
∴，，∴，，
∴，∴，
∵，∴，，
∵，∴，，
∵，∴，
∴，∴，
∴，即，∴，
∴，∴，
∵，，
∴．
故选：C．
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解： =__________．
【答案】（x+4）（x-4）
【解析】x2-16=(x+4)(x-4).
12. 中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法．某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是___________．
【答案】
【解析】∵某校开设京剧、武术、中医和书法共四门课程供学生任意选修一门，
小丽同学恰好选修了中医的概率是.
13. 如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为，硬币边缘镌刻正多边形，A，B为该正多边形相邻的两个顶点，则的长是______．

【答案】
【解析】正九边形的一个中心角的度数为，
圆面直径为，
圆面半径为，
的长是.
14. 如图，在菱形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点，则的值是______．
【答案】
【解析】设，
连接交于点，如图所示，
四边形是菱形，，，
，，，
，，
，，
，
，
，
的值是.
15. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，则的值为______．

【答案】
【解析】过点作轴的垂线，垂足为，

，
令，．
又，
点坐标可表示为．
又点和点都在的图象上，
，，即．
令与的交点为，
则，．，
点坐标为，
．
16. 如图，由张纸片拼成，相邻纸片之间互不重叠且无缝隙，其中两张全等的等腰，纸片的面积均为，另两张全等的直角三角形纸片的面积均为，中间纸片是正方形，直线分别交和于点，．设，，若，，则的长为______．

【答案】
【解析】设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，，，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴，
∵，，
∴，，
同理，
∴，
∴，
∵，
∴．
三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20每题8分，第21~23题每题10分，第24题12分，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17. （1）计算：；
（2）化简：
解：（1）．
（2）．
18. 课课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知，，求证：．”
小莲同学解答如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
解：小莲的证法是错误的．
证明过程如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19. A，B两家外卖送餐公司记录近10次送餐到某企业用时（单位：分）如下表：
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示．根据信息回答下列问题：
（1）写出A，B两家公司送餐时间的中位数；
（2）计算A，B两家公司送餐时间的平均数；
（3）选择合适的统计量，结合折线统计图，请你分别为A，B两家公司提出优化服务质量的建议．
解：（1）把公司10次送餐用时从小到大排列为：24、25、25、26、26、27、28、29、30、30，排在中间的两个数为26、27，故中位数为（分钟）；
把公司10次送餐用时从小到大排列为：14、15、15、16、18、20、21、32、34、35，排在中间的两个数为26、27，故中位数为（分钟）；
（2）公司送餐时间的平均数为：（分钟）；
公司送餐时间的平均数为：（分钟）；
（3）由（1）（2）的结果可知，A公司送餐时间的平均数和中位数都大于B公司，A公司应该提高送餐速度；B公司送餐时间差异很大，B公司应该提升每次送餐时间的稳定性；
20. 如图，一把人字梯立在地面上，，，梯子顶端离地面的高度是1.54米．
（1）求的长；
（2）移动梯子底端，当是等边三角形时，求顶点上升的高度（精确到0.1米）．
（参考依据：，，，
解：（1），
，
，
，
∵米，
（米，
的长约为2米；
（2）当是等边三角形时，，
∵米，
（米，
顶点上升的高度（米，
顶点上升的高度约为0.2米．
21. 如图是小明“探究拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数．
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
（2）若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围．
解：（1）设与之间的函数表达式为，
将点代入得：解得：
所以与之间的函数表达式为．
（2）当时，， 解得，
所以．
22. 已知，点D为内一点，
【复习】如图1，于点B，于点C，直接写出和的数量关系；
【运用】将图1中的绕顶点D旋转一定的角度，如图2，请判断和的数量关系并证明；
【拓展】改变图2中点D的位置，保持的大小不变，如图3，试用α，β的三角函数表示并说明理由．
解：【复习】，
∵于点B，于点C，
∴；
【运用】过点D作角两边的垂线，垂足分别为E、F，
由【复习】得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴≌，
∴；
【拓展】：，
过点D作角两边的垂线，垂足分别为M、N，
由运用得，，
∵，∴∽，
∴，，，∴．
23. 已知二次函数．
（1）当时，
①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若方程有两个相等实数根，求证：；
（2）若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围．
解：（1）①∵，对称轴为直线，∴，∴，
把点代入得，，
∴该函数的表达式为；
②∵方程有两个相等的实数根，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴；
（2）∵，∴，，
∴，∴抛物线的顶点为，
把代入得，，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为、，
当抛物线过点时，，
解得，
如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图像与线段有交点，
当抛物线过点时，，
解得，
如图，当时，二次函数的图像与线段有交点，
综上所述，当或时，二次函数的图像与线段有交点．
24. 点D是以为直径的⊙O上一点，点B在延长线上，连接交⊙O于点E．

（1）如图1，当点E是的中点时，连接，求证：；
（2）连接将沿所在的直线翻折，点B的对应点落在⊙O上的点F处，作交于点G．
①当E，G两点重合时（如图2），求与的面积之比；
②当时，求的长．
（1）证明：∵为⊙O的直径，
∴，
∵E是的中点，∴，∴，
∴，∴．
（2）解：由折叠可知，，，，
∵，∴，∴，
∴，∴四边形是菱形，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∵为⊙O的直径，∴，
设，则，，，
由折叠可知与的面积相等，
与的面积之比就等于；
②如图，当交点G在E的下方时，直线和直线交点为M，
由折叠可知，，，
∵，
∴，∴，∴，
∵为⊙O的直径，∴，
∵，∴，，
作于P，则，
∵，
∴∽，，，，
∴，，四边形是矩形，，
∴，，
设，则，，
，
∴，
解得，（舍去），
，，

如图，当交点G在E上方时，直线和直线交点为M，
同理可求，，，
作于P，则，
设，则，，
，∴，
解得，（舍去），
，，．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A公司送餐用时
26
26
30
25
27
29
24
28
30
25
B公司送餐用时
20
18
21
16
34
32
15
14
35
15