2025届湖北省宜昌市协作体高三(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2025届湖北省宜昌市协作体高三(上)期中考试数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】存在量词命题改写为否定形式的格式为存在量词改为全称量词，结论改为原结论的反面，故原命题的否定为.
故选：B.
2. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
3. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
所以，
所以.
故选：D.
4. 已知x，y为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当时，x，y同号，所以，所以“”是“”的充分条件；
若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，则，
解得，所以，
所以.
故选：.
6. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ）
（参考数据：，）
A. 60天B. 65天C. 70天D. 75天
【答案】C
【解析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，
设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天，
由题意得，即，
由于，故，
则（天），
故选：C.
7. 已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，令，解得，
当时，由，得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
由，即恒成立，令，则，
而，所以，即数列单调递减，故，
所以，所以的最小值为.
故选：D.
8. 在平行四边形ABCD中，，点为平行四边形ABCD所在平面内一点，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】以为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设，则，，所以，
所以，记，
所以，
所以，其中，，
又，
所以，即的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知a，b,m都是负数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】因为a，b都是负数，且，所以.
对于A：，则，故A错误；
对于B：，则，故B正确；
对于C：，则，故C错误；
对于D：，则，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象的一条对称轴方程为
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数在区间上单调递增
【答案】AC
【解析】
，
函数的最小正周期为，故A正确；
由，得，不可能取到，故B错误；
由的图象向左平移个单位长度，
得，故C正确；
因为，而函数在上不单调，
故在区间上不单调，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数是奇函数B.
C. 函数的图象关于点对称D.
【答案】BCD
【解析】对A，因为，所以，
所以函数是偶函数，故A错误；
对B，因为为偶函数，所以，即，
所以，即，令，得，
所以，故B正确；
对C，因为，所以，
即，又，所以，
所以，所以，即，
所以函数的图象关于点对称，故C正确；
对D，因为，令，得，
所以，又，所以，
，…，所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，已知，为线段的中点，若，则______．
【答案】
【解析】根据题意，在中，已知，则，
由于为线段的中点，
则，
又，、不共线，故，，
所以．
13. 已知函数在上有且仅有3个零点，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】由，得，
因为在区间上有且仅有3个零点，
即在区间上有且仅有3个解.
结合与的图象，知，
解得，即的最小值为.
14. 设函数，正实数满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
又在定义域上单调递增，且值域为，
在上单调递增，所以在定义域上单调递增，
因为正实数满足，所以，即，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知向量，且.
（1）求;
（2）求与的夹角.
解：（1）因为向量，所以，
由得，解得，所以.
又，所以.
（2）设向量与向量的夹角为，因为，
所以，
又，所以，
即向量与向量的夹角是.
16. 已知
（1）求值；
（2）若，求的值.
解：（1）因为，所以，
又，所以,
所以,
故值为.
（2）由（1），得，
又，所以，又，所以，
所以，
.
所以，
故的值为.
17. 已知函数是定义域为的偶函数.
（1）求a的值；
（2）若，求函数的最小值.
解：（1）
则，
因为是定义域为R的偶函数，
则，
即对任意x∈R恒成立，则；
（2）由（1）知，
则
，
令，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
则原函数化为：，，
①当即时，
在上单调递增，
则，
即，；
②当，即时，
在单调递减，在单调递增，
则；
即，
综上所述，.
18. 已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，．
（1）若，求的面积；
（2）若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围．
解：（1）因为，由正弦定理可得，故，
又，故，
因为，而为三角形内角，
故，
所以.
（2）在中，由；
在中，由；

而，
所以，
故，
而是锐角三角形，故，即，
故，
故即.
19. 设任意一个无穷数列的前项之积为，若，，则称是数列．
（1）若是首项为，公差为的等差数列，请判断是否为数列？并说明理由；
（2）证明：若的通项公式为，则不是数列；
（3）设是无穷等比数列，其首项，公比为，若是数列，求的值．
解：（1）是T数列，
理由：由题知，即，
所以，，
当时，，所以是T数列．
（2）假设是数列，则对任意正整数，总是中的某一项，
，
所以对任意正整数，存在正整数满足：，
显然时，存在，满足，
取，得，所以，
可以验证：当，2，3，4时，都不成立，
故不是T数列.
（3）已知是等比数列，其首项，公比，
所以，
所以，
由题意知对任意正整数n，总存在正整数m，使得，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得，
若，则，任意，这不可能成立；
若，
故对任意，总存使得该等式成立，
故必为整数，
取，则有正整数解，故，
若，则，此时方程对任意，
必有正整数解；
若，则，
此时方程对任意，
必有正整数解；
综上，或．