2025届广东省汕头市某校高三(上)期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2025届广东省汕头市某校高三(上)期中考试数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，所以虚部为，
故选：C
2. 若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由的定义域为，
对称轴为,
当时，在单调递减，则，，
而函数的值域为，则，解得，故，
当时，在单调递减，在单调递增，
则，，
，故，解得，故，
综上所述，的取值范围为，
故选：A
3. 如图，在梯形中，在线段上，.若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可设，
则，
又因为，且，不共线，
可得，解得，即，
所以，即.
故选：D.
4. 函数与的图象的交点个数为（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】画出图象
，，，
可得与的图象的交点个数为3．
故选：C．
5. 设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，，
因为成等比数列，故，
即，解得，
故.
故选：B
6. 直线与圆相交于、两点，若，则等于（ ）
A. 0B. C. 或0D. 或0
【答案】D
【解析】由题意，
∵，
∴到圆心的距离为 ，
∴圆心 到直线 的距离为：
，即.
解得：或，
故选：D.
7. 在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过顶点P向平面ABCD作垂线，垂足为O，则PO为正四棱锥的高，设为h.
设底面边长为x，则，则，则.
所以正四棱锥的体积为：，
则.
当时，；当时，.
即 在上单调递增，在上单调递减，
则.
故选：B
8. 在中，，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设另一焦点为D，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，∴.
在中焦距，
则，
∴.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设离散型随机变量X的分布列如下表；
若离散型随机变量，且，则正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】BCD
【解析】由题意知，所以，
因为，所以，即，
综上，解得，，故A不正确，B正确；
因为，所以，故C正确；
，PX>3=PX=4+PX=5，所以PX≤3>PX>3，故D正确.
故选：BCD.
10. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】设等比数列的公比为.
对于A，则 ，故A是“保等比数列函数”；
对于B，则 常数，故B不是“保等比数列函数”；
对于C，则 ，故C是“保等比数列函数”；
对于D，则 常数，故D不是“保等比数列函数”.
故选：AC.
11. 已知函数H(x)，下列说法正确的有（ ）
A. 若m＝0，a＝1，则函数H(x)有最大值
B. 若m＝1，a≠0，则过原点恰好可以作一条直线与曲线y＝H(x)相切
C. 若a＝0，且对任意m∈R，H(x)＞0恒成立，则0≤x≤1
D. 若对任意m∈R，任意x＞0，H(x)≥0恒成立，则a的最小值是
【答案】BD
【解析】由m＝0，a＝1得H(x)e﹣x+x+1，H′(x)e﹣x+1＞0得x＞ln4，
∴函数H(x)在(∞,ln4)上单调递减，在(ln4,+∞)上单调递增，
∴当x＝ln4时函数H(x)取得最小值，无最大值，故A错；
由m＝1，a≠0，得H(x)eax，设y＝kx与其相切，切点(x0,y0)，
则k＝H′(x0)e且kx0e，得x0，k，解唯一．故B对；
由a＝0得H(x)＝(m+1)2+(m+1)x，看作关于m+1的二次函数，
由对任意m∈R，H(x)＞0恒成立得＝x21＜0，解得1＜x＜1，故C错；
由题设不等式恒成立及C中的分析方法，知：＝x2eax≤0恒成立，
∴a对任意x＞0恒成立．
记，0得x∈(0，e)，
∴在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
∴f(x)max＝f(e)，∴a，即a的最小值是，故D对．
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】设外接球的半径为，则,
所以正四棱柱的外接球的表面积.
13. 一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共______个．
【答案】
【解析】根据题意知在中，能组成有缘数的组合有；； ；；；
由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，“有缘数”共6个；
同理：由1，3，4组成的三位数为“有缘数”是6个；
由1，4，5组成的三位数为“有缘数”是6个；
由2，3，5组成的三位数为“有缘数”是6个；
所以三位数为“有缘数”的个数为：个．
14. 设函数，当a=1时，f(x)的最小值是________；若恒成立，则a的取值范围是_________.
【答案】1 [0，]
【解析】当a=1时，当时，，当时，，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.
当时，，即，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，即.
当时，，即恒成立，
因为，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以.
综上所述：a的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值.
解：（1）在等边中，因为为的中点，所以，
在正方形中，，
又因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以.
因为,平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接.
则，又正方形中，，所以,
在等边中，因为为的中点，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，所以.
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以是平面与平面所成二面角的平面角.
设，则，
所以.
16. 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
（1）求；
（2）若，，求和的长．
解：（1）根据题意，作图如下：

面积是面积的2倍，故可得；
在△中，由正弦定理可得：，
在△中，由正弦定理可得：，
又，故结合上述两式可得：.
（2）根据（1）中所求可得：；
在△中，由正弦定理可得：，
在△中，由正弦定理可得：，
又，故，
结合上述两式可得：，故设，则；
在△中，由余弦定理可得：，
在△中，由余弦定理可得：，
又，则，即，解得x=1（舍去负根），
也即.
17. 已知函数，.
(1)当时，求曲线y=fx在点处的切线方程；
(2)设函数，讨论的单调性.
解：(1)有题意得，所以.
又因为，其切线方程为，即.
(2)，
则，
令，得，，
①当时，恒成立，所以在上递增；
②当时，令，得或x>0.
即在，上递增，在递减，
③当a>0时，，上递增，在递减.
18. 已知动点M到定点的距离比点M到定直线的距离小1，直线交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限）
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若过且与垂直直线与曲线C交于C，D两点：（点C在第一象限）
（i）求四边形面积的最小值．
（i i）设，的中点分别为P，Q，求证：直线过定点．
解：（1）由题意知，动点M到定点的距离等于点M到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹是抛物线；
因为，所以抛物线的方程为，
即点M的轨迹C的方程为.
（2）（i）设点，，，，
由（1）知抛物线的准线为，，
根据抛物线的定义可知，，，，
所以，，
由题意知直线过且与直线交于点，
所以四边形的面积，
由，消去后得，
所以，
由韦达定理可知，所以，
由题意得直线：，
同理，联立，消去可得，
所以，
由韦达定理可知，所以，
所以四边形的面积，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形面积的最小值为32.
（i i）由（i）知，所以点的横坐标为，
代入直线可得，所以，
同理可得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
化简得，
所以直线过定点.
19. 已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数．
（1）若，求集合和；
（2）若，求；
（3）①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系；
②猜想和的大小关系，并证明你的结论．
解：（1）由集合新定义中元素为中任意两个元素的乘积，去除重复的元素，可得
，，
（2）由（1）可得，，，，
若，要得到，就要全部互质，
当中所有元素互质的时候，从集合中任取两个元素做乘积，
共有个，
每个元素自身取平方共有个，此时共有个，他们构成了，
，
即，解得，或（舍去），
所以若，.
（3）当时，，，；
当时：
若两个数互质，如，，，，
；
若两个数不互质，如，，，，
；
综上，
当时，设，中最多有，6个元素，此时，
若时，有5个元素，此时，所以，
证明：当时，由①可知成立；
若考虑互质，当时，从集合中任取两个元素做乘积，共有个，
每个元素自身取平方共有个，此时共有个，它们构成了，
所以作差可得，
由二次函数的性质可得当时，上式大于零，
若不考虑互质时，当且仅当时，
此时中有个元素，，
综上.X
1
2
3
4
5
P
m
0.1
0.3
n
0.3